Oleh: Murdanu, M.Pd.
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
1. Diberikan titik A(4,3,2) dan B( 2,3,2). Carilah persamaan vektor suatu garis yang: (a) melalui O dan A; (b) melalui B dan sejajar dengan OA ; (c) melalui A dan sejajar dengan OB ; (d) melalui A dan B.
2. Diberikan titik A(0,1,2), B(3,0,0), C( 1, 2, 1): (a) Carilah persamaan vektor garis-garis yang memuat sisi-sisi ABC; (b) Carilah persamaan vektor garis yang melalui A dan sejajar dengan BC ;
(c) Carilah persamaan vektor garis yang melalui B dan sejajar dengan CA ; (d) Carilah persamaan
vektor garis yang melalui C dan sejajar dengan AB .
3. Diberikan titik-titik A( 1,0,0), B(5, 1,9), dan C(9, 5,15) dan garis g dengan persamaan:
3 1
2
6 2 3
z y x
g . Selidikilah: apakah A, B, C g ?
4. Gambar berikut merupakan visualisasi dari sebuah limas beraturan T.ABCD. AB = OT = 4 sp.
5. Carilah persamaan vektor dari bidang-bidang yang melalui titik-titik: (a) O(0,0,0), A(2, 3,4), B( 5, 2,1); (b) D(3,0,0), E(0,2,0), F(0,05); (c) G(0,0,4), H(1, 2,4), I(3,1,4). Apakah keistimewaan bidang-GHT ?
6. Carilah persamaan vektor dari bidang yang melalui A(3, 4,2), dan memuat vektor-vektor:
0 2 1 b dan 1
3 2
a .
7. Carilah persamaan vektor dari bidang yang: (a) melalui garis-garis
1 2 1
3 2 0
z y x
g dan
1 2 1
2 1 4
z y x
h ; (b) melalui titik (3, 2,1) dan memuat garis
1 5 2
3 1 2
z y x
k .
z
y
x T
A
B C
D O
(a) Jika P merupakan titik tengah TB , carilah
persamaan vektor garis OP ; (b) Carilah persamaan vektor garis yang
memuat TD !
(c) Kemukakan pendapatmu tentang OP dan
TD !
(d) Jika Q, R, dan S berturut-turut titik-titik tengah dari AB,AD, dan DT , carilah
persamaan vektor dari PQ dan RS !
(e) Kemukakan pendapatmu tentang
8. Lukiskan sebuah kubus ABCD.EFGH yang memiliki ukuran rusuk 4 sp., sedemikian, sehingga D=O (pusat sistem koordinat siku-siku), sumbu-x memuat DA , sumbu-y memuat DC , dan sumbu-z
memuat DH . Carilah persamaan vektor dari: (a) bidang-sisi- ABFE dan bidang-sisi-EFGH; (b)
bidang-diagonal-ABGH dan bidang-diagonal-ACGE; (c) bidang-AFH dan bidang BEG.
9. Selidikilah! Apakah titik-titik A(4, 2, 2) dan B( 7,4,4) terletak pada bidang:
0
10. Selidikilah! Apakah titik-titik A( 1,3, 1), B(0,0, 2), C(2,0,1), dan D(5, 3,5) terletak pada satu bidang?
11. Selidikilah! Apakah garis-garis:
4
k , sejajar dengan bidang
1
12. Tunjukkanlah bahwa garis
1
g terletak pada bidang
2
13. Selidikilah! Apakah garis-garis
3
bidang
4
? Apabila kedua garis tersebut menembus bidang
tersebut, carilah koordinat-koordinat titik tembusnya!
14. Carilah koordinat-koordinat titik tembus sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z dengan bidang
0
15. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH. Titik-titik P, Q, R, S, berturut-turut merupakan titik tengah dari
EH
AB . Ukuran rusuk kubus tersebut 2a sp. Pilihlah suatu sistem koordinat siku-siku
untuk kondisi tersebut. (a) Carilah persamaan vektor dari bidang- yang melalui P, Q, R, dan S; (b)
Carilah koordinat-koordinat titik potong bidang- dengan AE dan CG . (c) K AE BE .
16. Vektor-vektor
a adalah vektor arah sebuah bidang- , dan
vektor-vektor
3
c adalah vektor-vektor arah sebuah bidang- . Rumuskanlah ciri
kesejajaran antara bidang- dan bidang- dengan menggunakan determinan.
17. Selidikilah! Apakah pasangan-pasangan bidang berikut sejajar ataukah berpotongan:
18. Tunjukkanlah bahwa bidang-bidang berikut berimpit:
4
19. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. . Titik-titik P, Q, R, S, berturut-turut merupakan titik tengah dari AB, EH , AD, BC . Tunjukkanlah bahwa: (a) BH bidang PDE ;
(b) PQ bidang RSH ; (c) bidang-DGQ bidang-ASF.
20. Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakan perpotongan antara bidang-bidang
2
21. Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakang perpotongan antara bidang
1
dengan bidang-bidang koordinat XOY, XOZ, dan YOZ.
23. Diketahui bidang- melalui garis-garis:
bidang- melalui titik-titik O(0,0,0), A(6,0,3), dan B(0,3,2). Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang- !
24. Bidang- memuat garis
2
k dan garis-garis yang sejejar dengan sumbu-z.
Carilah persamaan vektor bidang- dan persamaan vektor garis potong yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang XOY.
25. Hitunglah cosinus dari sudut antara pasangan-pasangan garis berikut:
(a)
26. Garis k melalui titik-titik A( 5,8,5) dan B(5, 7,0); garis j melalui titik-titik C( 9, 7,0) dan D(6,2,3). (a) Apakah kedua garis tersebut berpotongan? (b) Apabila kedua garis tersebut: (1) Tentukanlah m (j,k); (2) Carilah koordinat dari E = j k.
27. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 2 sp. P adalah titik tengah AB dan
CF BG
Q . Pilihlah sebuah sistem koordinat siku-siku untuk kondisi tersebut. (a) Hitunglah
cosinus dari: (1) m (DF,DP); (2) m (DF,DG); (3) m (DF,EC); (b) Buktikan bahwa DF
menyilang tegaklurus, masing-masing dengan BE, BG , EG .
28. Carilah persamaan vektor garis-garis yang melalui titik (3,2,0), sejajar dengan bidang-XOZ, dan
membentuk sudut berukuran 41 dengan garis
1
29. Diketahui sebuah garis
1 persamaan vektor dari garis h!; (c) Jelaskan hubungan antara g dan h !
30. Diketahui bidang- bidang- dan garis g. Buktikanlah: g g .
31. Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui A(3,1,0) dan tegaklurus dengan garis
32. (a) Carilah persamaan vektor garis m yang melalui titik B(0,3,7) dan memotong tegaklurus garis
33. Buktikanlah, bahwa dalam kubus ABCD.EFGH:
(a) AG bidang BDE ; (b) AG bidang CFH .
34. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P adalah titik tengah EF . Pilih D
berimpit dengan pusat sistem koordinat siku-siku. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui P dan tegaklurus dengan DF ; (b) Carilah persamaan vektor garis yang merupakan
perpotongan antara bidang- dan bidang BCGF.
35. Lukislah sebuah limas beraturan T.ABCD dengan ukuran rusuk bidang alas 4 sp., dan ukuran garis tingginya mOT 4sp. Pilihlah suatu sistem koordinat siku-siku dengan OT berimpit dengan sumbu-z. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui D dan tegaklurus dengan TB ! ;
(b) Tentukan koordinat titik potong bidang- dengan TB !; (c) Carilah persamaan vektor garis-potong
antara bidang- dan bidang-ABT !
36. Tentukanlah ukuran sudut antara garis g dan bidang- yang memiliki persamaan-persamaan vektor
berikut: (a)
37. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P adalah titik tengah FG dan
DE AH
Q .
(a) Tentukan m (DF,bidang BDG );
(b) Tentukan m (BQ,bidang ACGE ).
38. Lukislah sebuah limas beraturan T.ABCD, dengan ukuran rusuk bidang alas dan tingginya 4 sp.
BD AC
O dan P adalah titik tengah CT .
(a) Tentukanlah m (BP,bidang BDT );
(b) Tentukanlah m (BT,bidang BDP ).
39. Hitunglah cos m ( , ) yang persamaan-persamaan vektornya diberikan berikut:
(b)
0 1 0
2 0 1
z y x dan
4 1 3
1 0 0
5 1 2
z y x
;
(c)
0 1 1
1 2 1
2 0 0
z y x dan
2 1 0
3 1 5
z y x
.
40. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P, Q, R berturut-turut merupakan titik-titik tengah dari AB, AE, BC . Tentukanlah: (a) m DPE, bidang-DPF); (b) cos m
(bidang-HQR, bidang-ABC) ; (c) m (bidang-(bidang-HQR, bidang-ADH); (d) m (bidang-(bidang-HQR, bidang-DCG).
41. Lukislah limas beraturan T.ABCD dengan ukuran rusuk bidang alas dan tingginya 4 sp. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui B dan tegaklurus DT ; (b) Hitunglah cos m (bidang- ,
bidang-DPF); (c) Tentukanlah koordinat titik potong antara DT dan bidang- ; (d) Carilah persamaan
vektor garis potong antara bidang- dan bidang-BCT.
42. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. (a) EF terletak pada bidang- yang
A. PERMUKAAN PUTAR
1. Sebuah kurva pada bidang-XOZ diwakili oleh persamaan
0
. Buktikan bahwa jika z > 0 sebuah persamaan permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva tersebut
mengelilingi sumbu-x adalah f x, y2 z2 0.
2. Buktikan, bahwa f x2 y2,z 0 adalah sebuah persamaan permukaan yang diperoleh
dengan memutar kurva yang persamaannya
0
mengelilingi sumbu-z, dan jika diandaikan bahwa x > 0.
3. Tentukanlah persamaan permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva yang mengelilingi sumbu yang ditunjukkan, kemudian lukiskan permukaan tersebut!
a)
B.
PERMUKAAN SILINDER DAN KERUCUT
Lukislah permukaan silinder, kerucut, atau sebuah permukaan putar yang dituliskan persamaannya berikut (pilihlah sumbu putarnya)
23.x2– y2 + x – y – 6 = 0 24.xy = yz
25.y2 + z2 = 16
28.x2– 4yz = 0 29.x – 3y + 3 = 0 30.9z2 + 9y2 = x2
33.xy = 5 34.z2– y2 = 0 35.xz + yz = 0
38.4y2 + 9z2 = 36 39.x2 = 4y
40.y2– z2 = 16x2
C. BOLA
1. Tentukan persamaan bola dengan pusat dan jari-jarinya diberikan berikut: a) Bola A( 1,2,3), 4)
b) Bola(O(0,0,0), 6)
c) Bola(B(3,1, 2), 1) d) Bola(C( 1, 1,0), 3)
e) Bola(D(2,0, 3), 5) f) Bola(E(0, 4,1), 10) 2. Tentukan pusat dan jari-jari bola-bola berikut !
a) Bola x2 + y2 + z2– 2x + 4y – 6z – 11 = 0 b) Bola 2x2 + 2y2 + 2z2– 4x + 6z – 3 = 0 c) Bola x2 + y2 + z2 + 2y – 4z – 4 = 0
d) Bola 3x2 + 3y2 + 3z2– x + 7y + 3z – 3 = 0 e) Bola x2 + y2 + z2– 6x + 4z – 36 = 0
3. Diameter sebuah bola adalah ruasgaris dengan ujung-ujung (5,2, 1) dan ( 3,4,7) Tentukan persamaan bola tersebut !
4. Sebuah bola melalui titik-titik (2,1,3), (1, 1,2), dan ( 1,3, 1). Pusat bola tersebut terletak pada bidang 3x + y – z – 2 = 0. Tentukan persamaan bola tersebut!
5. Sebuah bola melalui titik-titik (2, 1,1), dan (1,3,2). Pusat bola tersebut terletak pada garis 3x + 6 = 2y – 3 = 3z. Tentukan persamaan bola tersebut!
6. Sebuah bola berpusat di titik ( 2,3,1) dan menyinggung bidang 2x – y + 2z – 7 = 0. Tentukan persamaan bola tersebut!
7. Sebuah bola berpusat di titik (1,1, 3) dan menyinggung bidang x – 2y – 2z – 7 = 0 pada titik (3, 1, 1). Tentukan persamaan bola tersebut!
8. Sebuah bola melalui titik-titik (1, 1,2), dan (2,1,1). Pusat bola tersebut terletak pada garis x = y + 3 = z + 1. Tentukan persamaan bola tersebut!
9. Sebuah bola menyinggung bidang 2x – y + 2z + 3 = 0 dan berpusat di titik (3,1,5). Tentukan persamaan bola tersebut!
D. ELLIPSOIDA
1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut!
a) x2 + 4y2 + 16z2 = 144 b) 9x2 + y2 + 4z2 = 36 c) 16x2 + 9y2 + 4z2 = 144
2. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut!
a)
E. PARABOLOIDA ELLIPTIK
1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut!
a) 4x2 + 9y2 = 4z
2. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut!
f) 0 x
0 y 15 z
6 2 ; sumbu putarnya sumbu-z
g) 0 z
0 x 24 y
9 2 ; sumbu putarnya sumbu-y
h) 0 z
0 x 12 y 5 2
; sumbu putarnya sumbu-z
F. HIPERBOLOIDA
1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut!
a) 4x2 + 9y2 9z2 = 36 b) 36y2 16x2 + 9z2 = 144 c) 4x2 + 9y2 z2 = 36 d) 9x2 + 4z2 16y2 = 144 e) 16y2 + 9z2 4x2 = 36 f) 4z2– x2 + 4y2– 16 = 0
g) 4z2 + 9y2 x2 = 64 h) 4x2 y2 16z2 = 16 i) y2 2z2 + 4x2 + 16 = 0 j) 9z2– 16x2 y2 + 25 = 0 k) 5x2– 15z2 + y2 + 25 = 0 l) y2 + 3x2 9z2 + 27 = 0
2. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut!
a)
0 z
4 y 3 x
2 2 2 ; sumbu putarnya sumbu-y
b)
0 y
9 z
x2 2 ; sumbu putarnya sumbu-x
c) 0 x
36 z 9 y
4 2 2
; sumbu putarnya sumbu-y
d)
0 y
25 x 25 z
16 2 2 ; sumbu putarnya sumbu-z
e) 0 x
15 y 5 z
3 2 2
; sumbu putarnya sumbu-y
f) 0 x
15 y 5 z
3 2 2
; sumbu putarnya sumbu-z
g) 0 z
1 x
G. PARABOLOIDA HIPERBOLIK
Lukislah tiap-tiap persamaan berikut!
a) 9x2 y2 = 4z
b) 4x2 16z2 + 25y = 0 c) y2 z2 = x
d) 16y2 9z2 = –144x e) 2z2 5x2 = 10y f) 25 y2 x2 = 100z
H. PERMUKAAN YANG DIBENTUK OLEH GARIS-GARIS LURUS
Selidikilah tiap-tiap permukaan yang dibentuk oleh garis-garis lurus berikut! 1. z = xy
