Persamaan
dan
Perhatikan ilustrasi berikut !
Sebuah kelompok sirkus mempunyai enam ekor singa; tiga jantan dan tiga betina. Jika setiap hari pemiliknya
memberikan 45 kg daging untuk makanan singa-singa tersebut dan setiap singa mendapatkan bagian yang sama, berapakah berat daging yang dimakan oleh setiap singa dalam sehari?
Jika tiap singa memakan daging n kg sehari, dan daging yang dimakan oleh keenam singa itu 45 kg, tulis kalimat terbuka yang berkaitan dengan berat daging yang dimakan oleh keenam singa tersebut.
Jika dimisalkan setiap Singa makan daging m kg, maka diperoleh hubungan :
6 x m = 45.
Nilai m belum diketahui, oleh karena itu m merupakan variabel atau
peubah. Kalimat terbuka 6m = 45 menggunakan tanda “=”.
Jika dimisalkan setiap Singa makan daging m kg, maka diperoleh hubungan :
6 x m = 45.
Nilai m belum diketahui, oleh karena itu m merupakan variabel atau
Persamaan
adalah kalimat terbuka
yang menggunakan tanda “=”.
Jika pangkat tertinggi dari variabel pada suatu
persamaan adalah satu, maka persamaan itu
disebut persamaan linear. Persamaan linear yang
hanya memuat satu variabel disebut persamaan
linear dengan satu variabel atau persamaan linear
satu variabel. Jadi, 6m = 45 merupakan salah satu
contoh dari persamaan linear dengan satu peubah.
Jika pangkat tertinggi dari variabel pada suatu
persamaan adalah satu, maka persamaan itu
Contoh lain dari persamaan
linearsatu variabel :
a. 2x + 4 = 7
b. 3 – p = 5
Cara menyelesaikan
persamaan linier satu
peubah
Dalam menyelesaikan persamaan linear dengan satu peubah, langkah- langkah yang harus dilakukan adalah :
1. Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama.
2. Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
3. Membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan yang sama dan bukan nol.
Cara menyelesaikan
persamaan linier satu
peubah
Dalam menyelesaikan persamaan linear dengan satu peubah, langkah- langkah yang harus dilakukan adalah :
1. Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama.
2. Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
Ganang dan Donny adalah kakak beradik. Mereka bersepeda dari lapangan bola ke rumahnya
melewati jalan yang sama. Ganang bersepeda
dengan kecepatan 12 km/jam, sedangkan Donny 8 km/jam. Ganang tiba di rumahnya 15 menit
sebelum Donny tiba. Berapa lama Ganang bersepeda dari lapangan bola ke rumahnya ?
Penyelesaian :
Diketahui: -kecepatan Ganang bersepeda dari rumah ke lapangan bola = 12 km/jam
kecepatan Donny bersepeda dari rumah ke lapangan bola = 8 km/jam -waktu tiba Ganang di rumah = 15 menit sebelum donny
Ditanya: Lama Ganang bersepeda dari lapangan bola ke rumah = ....? Jawab:
Misalkan lama Ganang bersepeda adalah t jam, maka lama Donny bersepeda adalah
Jarak yang ditempuh Ganang sama dengan jarak yang ditempuh Donny, sehingga
Jadi, lamanya Ganang bersepeda adalah jam atau 30 menit.
Banyak siswa di kelas 2010 E kurang dari 40 orang. Kalimat
“Banyak siswa di kelas 2010 E kurang dari 40 orang” jika dipisahkan kata-katanya adalah sebagai berikut :
Kata – kata
Simbol matematika
Keterangan : n = banyak siswa kelas 2010 E
n < 40
n < 40
40
40
Kurang dari
Kurang dari
Banyak
siswa kelas 2010 E
Banyak
Pertidaksamaan
adalah kalimat
terbuka yang menggunakan tanda “>”, “≥”,
“<”, atau “≤”.
Pertidaksamaan yang memuat satu peubah dan
pangkat variabelnya adalah satu disebut
pertidaksamaan linear ( dalam ) satu variabel
.Pertidaksamaan
adalah kalimat
terbuka yang menggunakan tanda “>”, “≥”,
“<”, atau “≤”.
Pertidaksamaan yang memuat satu peubah dan
pangkat variabelnya adalah satu disebut
Setiap pertidaksamaan memuat variabel. Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat itu benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan itu. Himpunan dari semua penyelesaian disebut Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan itu.
-5 adalah penyelesaian dari
pertidaksamaan 2x – 5 < -x + 2, karena 2(5) – 5 < -(-5) + 2 adalah pernyataan yang benar.
4 bukan penyelesaian dari
pertidaksamaan 4t – 12 ≥ 2t + 1, karena 4(4) – 12 ≥ 2(4) + 1adalah pernyataan yang salah.
Setiap pertidaksamaan memuat variabel. Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat itu benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan itu. Himpunan dari semua penyelesaian disebut Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan itu.
-5 adalah penyelesaian dari
pertidaksamaan 2x – 5 < -x + 2, karena 2(5) – 5 < -(-5) + 2 adalah pernyataan yang benar.
4 bukan penyelesaian dari
Menyelesaikan
pertidaksamaan
dengan menambah
Perhatikan pernyataan -4 < 1. Pernyataan itu benar.
Gambar garis bilangan di bawah ini menunjukkan apa yang terjadi jika kedua ruas ditambah dengan 2.
Gambar di atas menunjukkan bahwa -4 < 1
Jika kedua ruas ditambah 2, maka diperoleh pernyataan -2 < 3. Pernyataan itu juga benar.
Pada contoh di atas, menambahkan dengan 2 pada kedua ruas tidak merubah kebenaran dari pernyataan.
3 2
1 0
-1 -2
-3
Sifat menambah atau mengurangi pada pertidaksamaan.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : a) y + 2 > 6
b) x – 3 ≤ 2, x A = {-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7} Penyelesaiannya :
y + 2 > 6
y + 2 – 2 > 6 – 2 (kedua ruas dikurangi 2) y > 4
HP = {y y > 4, y R}
b) x – 3 ≤ 2
x – 3 + 3 2 + 3 (kedua ruas ditambah 3) x ≤ 5
Karena x harus anggota {-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}, maka HP = {-2,-1,0,1,2,3,4,5}
Cara lain:
Karena anggota A sedikit, mancari penyelesaian dapat pula mencoba satu persatu.
x = -2 (-2) – 3 ≤ 2
-5 ≤ 2 (benar)
x = -1 (-1) – 3 ≤ 2
-4 ≤ 2 (benar)
x = 0 (0) – 3 ≤ 2
-3 ≤ 2 (benar)
x = 2 (2) – 3 ≤ 2
-1 ≤ 2 (benar)
x = 3 (3) – 3 ≤ 2
0 ≤ 2 (benar)
x = 4 (4) – 3 ≤ 2
1 ≤ 2 (benar)
x = 5 (5) – 3 ≤ 2 2 ≤ 2 (benar)
x = 6 (6) – 3 ≤ 2 3 ≤ 2 (salah)
x = 7 (7) – 3 ≤ 2 4 ≤ 2 (salah)
Jadi, HP = {-2,-1,0,1,2,3,4,5}
x = 2 (2) – 3 ≤ 2
-1 ≤ 2 (benar) x = 3 (3) – 3 ≤ 2
0 ≤ 2 (benar)
x = 4 (4) – 3 ≤ 2
1 ≤ 2 (benar) x = 5 (5) – 3 ≤ 2
2 ≤ 2 (benar) x = 6 (6) – 3 ≤ 2
3 ≤ 2 (salah) x = 7 (7) – 3 ≤ 2
4 ≤ 2 (salah)
Menyelesaikan
Pada pertidaksamaan :
•Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan
bilangan positif yang sama dan bukan nol, maka tanda pertidaksamaannya
tidak berubah.
•Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan
bilangan negatif yang sama dan bukan nol, maka tanda pertidaksamaannya berubah
menjadi sebaliknya. Pada pertidaksamaan :
•Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan
bilangan positif yang sama dan bukan nol, maka tanda pertidaksamaannya
tidak berubah.
•Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan
bilangan negatif yang sama dan bukan nol, maka tanda pertidaksamaannya berubah
menjadi sebaliknya.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dan gambar grafik penyelesaiannya pada garis bilangan.
a)
b)
Penyelesaian: a)
Kedua ruas dikali 2, tanda tidak berubah
1 2
Kesamaan
dan
Kesamaan (equality)
adalah
kalimat matematika tertutup yang
menyatakan hubungan “sama dengan”, dan
berlaku untuk setiap nilai pengganti
variabelnya. Kesamaan merupakan kalimat
matematika tertutup yang nilai
kebenarannya selalu benar.
contoh
•
(a). (2x - 1)
2= 4x
2- 4x + 1
•
(b). 4x
2- 9 = (2x + 3)(2x - 3)
Ketidaksamaan
adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya.ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup.
Ketidaksamaan
adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya.ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup.
Contoh :
(1). (x - 1)2 ≥ 0
(2). x + 2 > x + 1 (3). -3x2 - 7x - 6 < 0
(4). -(x - 1)2 ≤ 0
(5). ||-5| + x| = |5 + x|
Contoh :
(1). (x - 1)2 ≥ 0
(2). x + 2 > x + 1 (3). -3x2 - 7x - 6 < 0
(4). -(x - 1)2 ≤ 0
(5). ||-5| + x| = |5 + x|
Harga mutlak
atau
nilai mutlak
adalah
suatu konsep dalam
matematika yang
menyatakan selalu positif.
Secara matematis
Untuk lebih jelasnya, konsep harga mutlak dirancang dari suatu bilangan real x, hubungannya dengan konsep jarak secara geometri dari x ke 0.
Jarak dari titik P = 3 ke titik C = 0 adalah 3 - 0 = 3 Jarak dari titik Q = -3 ke titik C = 0 adalah 0 - (-3) = 3
Untuk a > 0, jarak dari titik A = a ke titik C = 0 adalah a - 0 = a Untuk b < 0, jarak dari titik B = a ke titik C = 0 adalah a - b = -b Untuk a > 0, jarak dari titik C = 0 ke titik C = 0 adalah 0.
Definisi Harga Mutlak
Untuk setiap bilanga real x, harga mutlak dari x
ditulis |x| dan x
|x|
Gambaran lebih jelasnya dapat kita perhatikan
diagram seperti yang ditunjukkan oleh garis
bilangan berikut ini:
x , x ≥ 0
-x , x ≤ 0
x ≤ 0 0 x ≥ 0
Contoh :
1. |-4|= 4
Sifat-Sifat Harga Mutlak
Untuk setiap bilangan real x dan y , dan c > 0 berlaku :
1. |xy| = |x||y|
2. |x| < c -c < x < c
Daftar Pustaka
Kusrini dkk. 2008.Contextual Teaching And Learning. Jakarta: Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional.
www.google.com/file.upi.edu/Direktori/FPM
