PECAHAN
A. Pengertian Pecahan
Sebuah jeruk mula-mula dibagi menjadi dua bagian yang sama. Satu bagian jeruk dari dua bagian yang sama disebut “satu per dua” atau “seperdua” ditulis ” ”.Kedua bagian tersebut masing-masing dibagi dua lagi sehingga menjadi empat bagian yang sama. Satu bagian yang sama itu
Pada pecahan , 1 disebut pembilang dan 2 disebut
penyebut.
Pada pecahan , 1 disebut pembilang dan 2 disebut
penyebut.
Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk “ ”,
dengan a,b adalah bilangan bulat, b≠
0
dan
b
bukan
faktor dari
a
disebut bilangan pecahan. Bilangan “
a
”
disebut pembilang, dan “
b
” disebut penyebut.
Dengan kata lain pecahan adalah bilangan yang
menggambarkan bagian dari keseluruhan
.
2 1
4 1
B. Pecahan Sederhana
Pecahan , , , dan merupakan pecahan- pecahan yang senilai. Dari empat pecahan tersebut, merupakan pecahan dengan bentuk paling sederhana. Suatu
pecahan mempunyai bentuk paling sederhana (pecahan sederhana) jika faktor persekutuan terbesar (FPB) dari pembilang dan penyebutnya adalah 1.
Menulis bentuk paling sederhana dari suatu pecahan itu dengan FPB dari pembilang dan penyebut tersebut.
Contoh :
Tulislah dalam bentuk paling sederhana.
FPB dari 20 dan 28 adalah 4.
Bagilah pembilang dan penyebut dengan 4. Jadi, bentuk paling sederhana dari pecahan adalah
÷4
÷4
28
20
C. Mengubah Pecahan Campuran Menjadi Pecahan Biasa
Bilangan-bilangan dan disebut
pecahan
campuran
atau
bilangan campuran
. Pecahan
campuran menunjukkan jumlah dari suatu
bilangan cacah dan suatu pecahan.
Contohnya:
Pecahan campuran juga dapat ditulis sebagai
pecahan biasa.
D. Mengubah Pecahan Dengan Pembilang Lebih Dari Penyebutnya Menjadi Pecahan Campuran
Jika diketahui terdapat 28 liter minyak. Isilah 8 kaleng dengan minyak itu dengan volume yang sama . Berapa liter harus
diisikan pada tiap kaleng?
Jawab: tulis dalam bentuk pecahan
3 sisa 4
8
Bagilah 28 dengan 8
Lalu menyatakan sisa pembagian sebagai suatu pecahan dan menyederhanakannya.
Jadi, setiap kaleng harus diisi dengan liter minyak.
E. Membandingkan Pecahan
1.
Membandingkan Pecahan yang Penyebutnya Sama.Perhatikan kedua model pecahan berikut!
5/6 Dari model- model tersebut, dapatkah disimpulkan bahwa Seperenam dapat dipandang sebagai 4/6 satuan baru.
Manakah yang lebih besar antara 5
seperenam dengan 4 seperenam?
Dari uraian di atas jelas bahwa
Jadi, untuk membandingkan beberapa
pecahan yang penyebutnya sama, cukup
2. Membandingkan Pecahan yang Penyebutnya Berbeda.
senilai dengan dan senilai dengan .
=1/2
=1/3
=3/6
Pecahan mana yang lebih besar?
Tampak bahwa dan , sebab dan .
Jadi, suatu cara membandingkan pecahan adalah
dengan menyatakan pecahan-pecahan itu sebagai
pecahan-pecahan yang penyebutnya sama
kemudian membandingkan
pembilang-pembilangnya. Dalam proses ini digunakan
Contoh 1:
Mana yang lebih besar antara dan ?
Tahap I: Menentukan KPK dari penyebutnya
yaitu KPK dari 3 dan 7.
Kelipatan dari 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,...
Kelipatan dari 7: 7, 14, 21, 28,..
KPK dari 3 dan 7 adalah 21, sebab 21 adalah
bilangan terkecil yang habis dibagi 3 dan 7.
Tahap II: Menentukan pecahan yang senilai
dengan dan pecahan yang senilai dengan
Sehingga 1/3=7/21
x7
1/3
x3
x3
2/7
Tahap III: Membandingkan pecahan yang penyebutnya sama pada tahap II.
Membandingkan pembilang dari dan .
Karena 7 > 6 maka
Sehingga dapat disimpulkan bahwa
F. Mengurutkan Pecahan-Pecahan
Mengurutkan pecahan sama halnya dengan membandingkan tiga pecahan atau lebih.
Tetapi, jika akan mengurutkan pecahan yang
penyebutnya berbeda, terlebih dahulu tentukanlah pecahan senilai dari tiap pecahan semula yang
penyebutnya adalah KPK dari penyebutnya pecahan semula.
Contoh:
Urutkanlah pecahan , , dan dari yang terkecil ke yang terbesar
3
Tentukan KPK dari 7, 4, dan 20 dengan cara menuliskan semua faktor prima tiap bilangan, kemudian tandailah semua faktor berbeda yang paling sering muncul
Kalikan faktor-faktor yang telah ditulis lebih besar
3
2
6
x
2
2
2
2
4
x
5
22
5
2
2
50 > 15 > 9
Bandingkan
pembilangnya dan urutkan.
> > maka > >
Jadi, jika yang diurutkan dari yang terkecil ke
yang terbesar diperoleh , ,
G. Pecahan yang Nilainya di Antara Dua Pecahan
Misalkan kita mempunyai 5/8 Dan 3/4
Adakah pecahan yang berada di antara bilangan-bilangan tersebut ?
1. Penyebut dua pecahan disamakan terlebih dahulu, kemudian kita tentukan pecahan
yang nilainya terletak di antara kedua pecahan yang diketahui.
Terlihat bahwa dan tidak
memungkinkan adanya nilai di antara keduanya, maka kita harus
melakukan tahap berikutnya.
2. Jika belum diperoleh pecahan yang dimaksud, ubah lagi penyebutnya menjadi dua kali lebih besar
Jadi, di antara dua pecahan yang berbeda, selalu dapat ditemukan pecahan yang nilainya di antara dua bilangan itu.
H. Pecahan Desimal
Pecahan biasa atau pecahan campuran dapat pula dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal. Demikian pula sebaliknya, pecahan desimal dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa atau pecahan campuran.
Di antara 10/16 dan 12/16
Contoh:
Tulislah 0,253 sebagai suatu pecahan dalam bentuk pecahan sederhana.
0,25 = Tulislah dalam bentuk pecahan
Sederhankanlah dengan cara membagi
pembilang dan penyebutnya dengan FPBnya. FPB dari 125 dan 200 adalah 25.
Jika suatu bilangan desimal lebih dari 1 maka bilangan desimal tersebut dapat ditulis sebagai pecahan campuran.
Contoh:
Bilangan cacah tetap ditulis terpisah dari pecahan.
Sederhanakanlah pecahan tersebut. FPB dari 100 dan 45 adalah 5.
Jadi,
Selanjutnya, untuk menulis suatu pecahan dalam bentuk desimal, dapat menulisnya dengan cara membagi pembilang oleh penyebut. Ingat bahwa simbol pecahan tersebut juga berarti pembagian.
4
,
0
Pada pecahan, jika kamu membagi pembilang oleh penyebut dan sisanya nol, maka hasil baginya
merupakan bilangan desimal tak berulang. Tetapi, jka hasil baginya mengulang sebuah angka atau
sekelompok angka tertentu tanpa berakhir, maka bilangan desimal itu disebut bilangan desimal berulang.
0,22222 . . . = Garis datar yang ada di atas angak 2 menandakan bahwa angka 2 berulang
Contoh lain:
=
Angka 63 berulang.
H. Persen
Jika membandingkan sebuah bilangan dengan 100 maka akan menemukan prosen. Prosen artinya “perseratus”. ,
I. Permil
Permil artinya per seribu. Jadi, pecahan permil adalah suatu pecahan yang penyebutnya seribu atau per seribu. Permil dilambangkan oleh .
=
Sebagai ilustrasi
OPERASI PADA PECAHAN
Operasi dalam pecahan meliputi:
1)Penjumlahan pecahan 2)Pengurangan pecahan 3)Perkalian pecahan 4) Pembagian pecahan
Contoh :
Tentukan jumlah dari 3/5 dan 4/5 Penyelesaian :
Menjumlahkan Pecahan yang Penyebutnya Sama
Untuk Menjumlahkan Pecahan – Pecahan dengan penyebut yang sama, jumlahkanlah pembilang –
pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap.
Untuk Menjumlahkan Pecahan – Pecahan dengan penyebut yang sama, jumlahkanlah pembilang –
3/5 4/5
7/5
5 4 3
5 4 5
3
5 7
5 2 1
B. Pengurangan Pecahan yang Penyebutnya Sama
Mengurangkan Pecahan yang Penyebutnya Sama
Untuk Mengurangkan
Pecahan – Pecahan dengan penyebut yang sama,
kurangkanlah pembilang – pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap.
Untuk Mengurangkan
Pecahan – Pecahan dengan
penyebut yang sama,
Contoh 1 :
Tini menemukan kue tar di meja makan. Dia makan
kue tar. Berapa kue tar yang belum dimakan?
Contoh 2 :
Pak Slamet mempunyai minyak tanah sebanyak kaleng minyak. Tetangga Pak Slamet membeli minyak tanah itu sehinggga minyak tanah Pak Slamet sekarang sebanyak kaleng minyak. Berapa banyak minyak tanah dalam
satuan kaleng yang telah dibeli oleh tetangga Pak Slamet itu ?
atau
Penyelesaian :
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara berikut :
pikirkan : berapa ditambah untuk
memperoleh ?
C. Penjumlahan dan pengurangan Pecahan yang Penyebutnya Berbeda
Ani membaca sebuah buku cerita. Dua hari yang lalu, Ani membaca dari isi buku itu. Hari ini Ani
melanjutkan membaca buku cerita itu. Dia membaca
dari isi buku itu. Berapa bagian dari isi buku cerita yang telah dibaca oleh Ani ?
•Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita perlu
menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda. Kita dapat menggunakan model pecahan untuk penjumlahan berikut.
Pertanyaan 1 :
Berapa bagian dari isi buku yang telah dibaca oleh Ani? Penyelesaian :
menyatakan jumlah
Gunakan model pecahn untuk 1/4 Gunakan model pecahn untuk 2/3
tentukan model pecahan untuk
contoh 1:
Modelkan pengurangan
Dari pertanyaan 1 dan contoh 1 di atas, tampak bahwa untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, pertama- tama menyamakan
penyebutnya dahulu, yaitu dengan menggunakan KPK.
Gunakan model pecahan 3/6 atau 1/2 Gunakan model pecahan 2/6 atau 1/3
Contoh 2 :
Tentukan hasil dari
Tentukan KPK dari 4 dan 7 KPK dari 4 dan 7 adalah 28
.
Tentukan KPK dari 4 dan 7
KPK adalah 28. Tulis pecahan dengan penyebut sama.
D. Penjumlahan Pecahan Campuran
Satu cara untuk menjumlahkan pecahan campuran adalah menghitung bagian bilangan cacah dan
pecahannya secara terpisah.kadang- kadang jumlah dari bagian pecahan adalah suatu pecahan yang
pembilangnya lebih dari penyebutnya. Jika demikian, ubahlah dahulu pecahan tersebut sebagai pecahan campuran.
Contoh 1 :
KPK adalah 4. Tulislah pecahan – pecahan itu dengan penyevut yang sama
Jumlahkan bagian bilangan cacah dan pecahannya
Ubahlah bentuk pecahannya
Jumlahkan bilangan cacahnya
+
E. Pengurangan Pecahan Campuran
Untuk menyelesaikan masalah pengurangan pecahan campuran, rubahlah dahulu menjadi pecahan biasa.
Contoh:
selesaikanlah
tulislah dalam pecahan senama
ubahlah bentuk pecahannya
kurangilah bilangan cacah dan kemudian pecahanya. 2 1 4 3 1 6 6 3 4 6 2 6 2 1 4 3 1
6
F.
Perkalian dan Pembagian Pecahan
Sebelum melangkah dalam pembahasan perkalian dan pembagian
pecahan, berikut adalah sifat-sifat operasi perkalian dan pembagian dalam bilangan bulat:
Jadi
Untuk a, b, dan c anggota bilangan bulat, berlaku:
a. a x b = b x a (komutatif)
b. (a x b) x c = a x (b x c) (asosiatif)
c. a x 1 = 1 x a = a (1 adalah unsur identitas perkalian)
d. a x (-b) = -(a x b); (-a) x b = -(a x b); (-a) x (-b) = a x b e. a : b : c sama artinya dengan a = b x c
6 5 1 2 1 4 3 1
Sifat-sifat tersebut juga berlaku dalam bilangan pecahan.
1. Mengalikan Pecahan dengan Pecahan
Kita dapat menggunakan model luas untuk mengalihkan pecahan dengan pecahan. Kata dari bila digunakan
dalam matematika, dapat berarti perkalian.
Contoh:
Pak arif mempunyai sebidang tanah untuk lahan
perkebunan. Dia merencanakan menanami separuh lahanya dengan tanaman apotik hidup. Dia ingin
Lahan yang ditanami tanaman apotik hidup = ½ dari lahan
perkebunan
Bagilah lahan perkebunan
untuk tanaman apoti hidup ke dalam tiga bagian yang sama. Arsirlah 1/3 dari bagian yang telah diwarnai itu.
panjang x lebar, yaitu ½ x 1/3. jadi, bagian yang ditanami temulawak menyatakan ½ x 1/3 = 1/6. Dari contoh tersebut tampak berlaku pernyataan sebagai berikut:
Perkalian Pecahan
Untuk mengalihkan pecahan dengan pecahan, kalikanlah pembilang-pembilangnya.
Contoh :
Tentukanlah 2/3 dari ½
2/3 dari ½ = kalikan pecahan-pecahan
tersebut
kalikan pecahan-pecahan tersebut
sederhanakanlah
Jika pembilang dari pecahan yang pertama dan penyebut dari pecahan yang lain
Contoh:
Tentukan hasil dari
Sederhanakanlah sebelum mengalikan.
bagilah pembilang dan penyebut dengan 4 karena 4 merupakan FPB dari 4 dan 8
2. Perkalian Bilangan Cacah dengan Pecahan
Masih ingatkah kamu arti dari 4x2 ? arti 4x2 adalah 2+2+2+2. hal ini berlaku pula untuk perkalian
bilangan pecahan oleh bilangan cacah.
1 x 1 x 1 x 1 x
1 1 1 1
2/3 2/3 2/3 2/3
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
4x
Pada perkalian bilangan cacah dengan bilangan pecahan, kita dapat mengubah bilangan cacah ke
dalam bentuk pecahan dengan penyebut 1 kemudian melakukan perkalian pecahan. Misalnya
3. Perkalian Pecahan Campuran
Dony mempunyai album foto besar. Sebanyak 8 1/3 halam dari album itu masih kosong. Dony bermaksud mengisi separuh dari halam kosong itu dengan foto-foto artis secara berurutan. Berapa halaman dari album itu yang akan diisi dengan foto-foto artis?
3 2 2 3 8 3 1 2 4 3 2 1 4 3 2
4
x x x
Untuk menjawab pertanyaan di atas, kamu perlu menentukan ½ dari 8 1/3 atau ½ X 8 1/3.Untuk
mengalikan pecahan campuran, nyatakanlah terlebih dahulu pecahan campuran itu sebagai
pecahan yang pembilangnya lebih dari penyebutnya.
Kemudian kalikanlah pecahan pecahan tersebut.
½ x 25/3 = 25/6 kalikan pembilang-pembilangnya dan kalikan penyebut-penyebutnya
= 4 1/6 sederhanakan.
Kita juga dapat menunjukan permasalahan di atas dengan menggunakan model seperi berikut.
dari 8 adalah 4, dan dari adalah . Sehingga,
Kita juga dapat menggunakan model luasan untuk
mengalikan pecahan campuran seperti berikut. Misal, luas dari suatu segiempat dengan panjang cm dan lebar cm ditunjukan pada gambar di bawah ini.
Tentukan hasil perkalian 2 2
=
=
=
tulislah setiap pecahan campuran sebagai pecahan tak murni.
menyederhanakan dengan cara membagi angka 8 dan 4 dengan keduanya oleh FPB-nya yaitu 4
kalikan
4. Pembagian Pecahan
Untuk memahami arti dari pembagian pecahan, kita lakukan kegiatan berikut seolah-olah kita membagi
permen kepada beberapa teman.
i. Kita mempunyai 6 biji permen yang akan dibagi kepada beberapa teman. Masing-masing teman
memperoleh 2 biji permen. Berapakah orang yang akan menerima permen?
Jawab : 3
ii. Jika 6 biji permen itu dibagi sehingga masing-masing temanmu menerima 1 biji permen,
berapakah orang yang menerima permen?
iii. Jika 6 biji permen itu dibagai sehingga masing-masing temanmu menerima ½ biji permen,
berapakah orang yang menerima permen?
Jawab: 6
Jawab : 12 Ditulis 6 : Perhatikan:
6 :
Bagaimana hubungan dengan bentuk 6 x
5. Pembagian Pecahan Campuran
Untuk membagi pecahan campuran, terlebih dahulu tulislah setiap pecahan campuran sebagai yang
pembilangnya lebih dari penyebutnya, kemudian kalikan.
Contoh 1:
Tentukan hasil dari
disebut kebalikan 2.
ubahlah pecahan campuran
= bagilah pembilang dan penyebut dengan FPB dari 9 dan 18 yaitu 9
= tentukan hasil kalinya
Contoh 2:
Tentukan
=
=
=
kalikan dengan kebalikan dari 3 yaitu 1/3
kalikan pembilang dan kalikan penyebutnya
tulislah hasil kalinya
