MAKALAH MATEMATIKA EKONOMI PENERAPAN EKONOMI INTEGRAL

MAKALAH MATEMATIKA EKOONMI Penerapan Ekonomi Dengan Menggunakan Integral

Dosen Pengampu : DISUSUN OLEH:

1. Shuci Maha Rani (230621161) 2. Desi Dwi Cahyani ()

3. Lynda () 4. Bunga Vilia Sira ()

5. Luky Fadillah 6. Marsha 7. Vebry yanti

PROGRAM STUDI FAKULTAS MANJAMEN DAN BISNIS

SEKOLAH TINGGI ILMU EKONOMI APRIN TAHUN AJARAN 2023/2024

DAFTAR ISI

Latar Belakang

Puji Syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan Rahmat dan hidayah- Nya sehingga kami dapat menyelesaikan tugas makalah yang berjudul “ PENERAPAN

EKONOMI DENGAN MENGGUNAKAN INTEGRAL” ini tepaT pada waktunya.

Saya mengucapkan terima kasih kepada Aidina Syafaroh R., S.SI, SE, MM selaku dosen

Matematika Ekonomi yang telah memberikan tugas ini sehingga dapat menambah pengetahuan dan wawasan sesuai dengan bidang studi yang saya tekuni. Saya juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membagi Sebagian pengetahuannya sehingga kami dapat

menyelesaikan makalah ini.

Makalah ini bertujuan untuk menyelesaikan tugas “ MATEMATIKA EKONOMI “. Selain itu makalah ini juga bertujuan untuk menambah wawasan tentang MATEMATIKA EKONOMI khususnya tentang penerapan matematika ekonomi mengenai integral bagi para pembaca dan juga penulis.

Makalah yang kami tulis ini sangat jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu kritik dan saran yang membangun akan saya nantikan demi kesempurnaan makalah ini. Terima kasih.

BAB I PENDAHULUAN I.1 Latar Belakang

BAB II PEMBAHASAN II. 1 Integral

Dalam kalkulus integral dikenal 2 macam cara pengertian integral, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral). Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penentuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui. Sedangkan itegral tetentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas atau limit dari area tersebu sudah tertentu.

Integral juga bermakna penjumlahan. Karena itu, integrasi dapat digunakan untuk maksud yang berbalikan dengan derivasi. Yaitu menemukan fungsi total jika diketahui fungsi marginalnya.

Contoh :

1) 1. Carilah TC(Q) jika MC(Q) = 3 + 8Q + l5Q² dan FC = 100 TC(Q) = = I3 + 8Q +l5Q²dQ = 3Q + 4Q² + 5Q ³ + c FC = TC(0) = 0 + 0 + 0 + c = 100

c = 100. sehingga 2) Carilah TC(Q) jika MC(Q) = 2e² dan FC = 10

TC(Q) = = 2e^Q + c FC = TC(0) = 2e^Q+c = 10 c = 10 - 2 = 3, sehingga

TC(Q) = 2e^Q + 8

Dari dua contoh di atas dapat di simpulkan bahwa konstanta selalu sama dengan intial condition. Pada contoh terakhir c=8 tetapi TC(0) = FC = 10.

Dengan penalaran sama fungsi produk total, penerimaan total, dan

konsumsi/agregat dapat di cari jika berturut turut di ketahui diketahui fungsi marginal product, fevenue dan marginal propensity to consume.

1. Integral tak menentu

Mengintegralkan suatu fungsi turunan berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu . Bentuk umum integral dari adalah:

∫

^f(x)dx=fx+k

Dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan diatas tanda adalah tanda integral, adalah diferensial :dari

sendirian disebut diferensial, adalah integral partikular: k adalah konstanta pengintegralan, dan merupakan

fungsi atau asal. Proses mengintegralkan disebut juga integrasi.

Dalam diferensial kita menemukan, bahwa jika misalnya suatu fungsi asal dilambangkan dengan dan fungsi turunannya dilambangkan dengan , maka :

Untuk fungsi : Fungsi turunannya :

Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan diintegralkan, maka:

Karena derifatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan setiap fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k.

Artinya nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan tertentu (misalnya dalam contoh tadi), kecuali jika dalam soal memang sudah ditentukan nilai konstantanya. Karena ke tidak tentuan nilai

konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamaka integral tak tentu.

A. Kaidah – Kaidah Integral Tidak menentu

Karena integrasi taktentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari diferensiasi, maka kaidah-kaidahn integrasi taktentu akan dpat dipahami berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferensial.

a. Kaidah 1

Contoh:

Bukti :

b. Kaidah 2 formula logaritmis

Contoh:

Bukti:

c. Kaidah formula eksnonsial

Contoh : �^�𝑑� = �^{� − 1}

� + 1+ �

Bukti:

d. Kaidah 4 Formula penjumlahan

Contoh:

Bukti:

e. Kaidah 5 formula perkalian

Contoh:

Bukti :

f. Kaidah 6 formula substitusi

Dimana : , dan merupakan substitusi bagi . Contoh:

Selesaikanlah

Dengan cara penyelesaian biasa atau langsung:

Dengan cara substitusi, misalnya

Sehingga:

B. Penerapan Ekonomi

Pendekatan integral tak tentu diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total variabel apabila persamaan fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total maka dengan proses sebaliknya – yakni integrasi- dapatlah dicari fungsi dari turunan tersebut atau fungsi totalnya.

a. Fungsi biaya Biaya total

Biaya marjinal

Biaya total tak lain adalah integral dari biaya marjinal:

b. Fungsi penerimaan Penerimaan total Penerimaan marjinal :

Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marginal :

c. Fungsi utilitas Utilitas total : Utilitas marjinal :

Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal :

d. Fungsi produksi

Produk total : dimana,

Produk marjinal :

Produk total tak lain adalah integral dari produksi marjinal

e. Fungsi konsumsi dan fungsi tabungan

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C’) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).

Karena , maka

Berdasarkan kaidah integrsi, konsumsi dan tabungan masing- masing adalah integral dari marjinal propensity to consume dan marjinal

propensity to save.

Konstanta k pada fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masingmasing adalah autonomous consumption dan autonomouse saving.

2. Integral Tertentu.

Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu. Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area yang terletak di antara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal –x, dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh

x = a dan x = b.

Dalam integral tak tentu kita temukan bahwa:

Jika kita ingin mengetahui hasil integral tersebut untuk suatu rentangan wilayah tertentu, katakanlah antara x = a dan x = b di mana a < b , maka x dapat disubtitusi dengan nilai-nilai a dan b sehingga ruas kanan persamaan di atas menjadi:

� � 𝑑� = � � + �

F (b) – F (a) adalah hasil integral tertentu dari f(x) antara a dan b. Secara lengkap persamaan pertama tadi dapat di tuliskan menjadi:

Notasi dibaca integral f(x) untuk rentang wilayah x dari a ke b.

Selanjutnya – mengingat a < b a dinamakan batas-bawah integrasi, sedangkan disebut batas-atas integrasi.¹

Pemahaman tentang integral tertentu ini akan lebih gamblang dengan bantuan penjelasan grafis. Andaikan kita memiliki Y = f(x), dan hendak dihitung luas area diantara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal x untuk rentangan dari x =a ke x=b.

Langkah pertama yang harus dilakukan ialah menetapkan a dan b pada sumbu horizontal x, sehingga diperoleh suatu rentangan atau interval wilayah a dan b.

Kemudian rentangan ini dibagi-bagi menjadi sebanyak n sub-rentangan Δxi. Yang sama lebar. Nilai masing-masing sub-rentangan tak lain adalah Δxi., Δ(b−�)/�: dan karena masing-masing sub-rentangan sama lebarnya, maka Δxi = Δx2 = Δx3

= ...= Δ xn. Langkah berikut nya ialah menetapkan sebarang nama untuk titik- titik yang membatasi tiap-tiap sub rentangan, katakanlah xi .

y

1

� b + � − � − 1 a + � = � � − � ( � )

� � 𝑑� = � � ba = f b − F( a)

�

� 0 �11

Nilai atau harga masing-masing titik yang membatasi tiap subrentangan adalah :

x0 = a x1 = a + ( x) x2 = a + 2( x) x3 = a + 3( x)

...

xn = a + n(( x) = b luas seluruh area di bawah kurva untuk rentangan dari a ke b, dengan perkataan lain dari x0 ke xn adalah:

f i

Dalam hal ini sedemikian kecil-kecilnya atau mendekati nol, sementara n sedemikian banyaknya atau mendekati tak terhingga, maka berlaku

Selain untuk menghitung luas suatu area antara sebuah kurva dan salah satu sumbu, integral tertentu dapat pula digunakan untuk menghitung luas suatu area yang terletak di antara dua kurva.

0 a �₁ �₂ �_� �_� �_� �_� b x

y=f(x)

∆�_�

∆�3

∆�1

∆�2

Andaikan kita memiliki dua buah kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x), di mana f(x) <

g(x). Maka luas area antara kedua kurva ini untuk rentang wilayah dan a ke b (a <

b) adalah:

0 a b

x

��= � (� )

�2=g(x)

∆�

C. Kaidah-Kaidah Integral Tertentu Untuk a < c < b, berlaku:

1. ) – F(a)

Contoh : ⁴ dx = [ 32) = 618,6

2.

Contoh: = 0

3.

Contoh:

4.

Contoh:

5.

Contoh:

6.

Contoh:

D. Penerapan Integral Dalam Ekonomi 1) Surplus Konsumen

Surplus Konsumen (consumers’ surplus) menceminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang.⁵

Fungsi permintaan P = f(Q) menunjukkan jumlah suatu barang yang akan dibeli oleh konsumen pada tingkat harga tertentu. Jika tingkat harga pasar adalah P, maka bagi konsumen tertentu yang sebetulnya mampu dan bersedia membayar dengan harga yang lebih tinggi dari Pe hal ini akan merupakan keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar barang tadi dengan harga pe. Keuntungan seperti inlah yang oleh Afred Marshall disebut surplus

konsumen. Secara geometri, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh luas area dibawah kurva permintaan tetapi diatas tingkat harga pasar. Ga barang naik surplus konsumen akan terkikis. Disamping itu, surplus konsumen juga dipengaruhi oleh kemiringan atau elastisitas permintaan, semakin alastis permintaanya, surplus konsumen semakin kecil.

0 Qe Gambar 1.1

Surplus konsumen atau CS (singkatan dari Consumers’ Surplus) tak lain adalah segitiga PeDEe, dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh

Q = 0 sebagai batas-bawah dan Q = Qe sebagai batas-atas.

Besarnya surplus konsumen adalah :

Cs

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f(Q) atau CS =

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk Q = f(Q): Ṕ adalah nilai P untuk Q = 0 atau penggal kurva permintaan pada sumbu harga.

Dengan demikian CS

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f(Q) Atau

p

D(0. Ṕ)

Surplus konsumen (CS)

Pe E = (Qe, Pe)

P= f(Q)

F(Q.0) Q

Dalam hal fungsi permintaan berbentuk adalah nilai P untuk atau pangkal kurva permintaan pada sumbu harga.²

Kasusunya barang ditunjukan oleh persamaan

Fungsi peermintaan akan suatu .nhitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar adalah 30.

P

40 30

2

Cs

E

Q

�_� = � � 𝑑� − �_��_� =

�

�_�

��

0

� � 𝑑�

0 21 48 Gambar 1.2

Q = 48-0,03

Jika P = 0, Q = 48 Jika Q +=0, P=40≡

Jika P ≡ = 30, Q ≡ = 21 CS

= {48(40) – 0,01(40)³} – {48(30) – 0,01(30)³}

= (1920 – 640) – (1440 – 270) = 110 Kasus 1

Hitunglah surplus konsumen dengan dua macam cara untuk fungsi permintaan Q

= 40 – 2 P yang tingkat harga pasarnya 10.

Q = 40 – 2 P → p̂ = 20 – 0,50 Q

Jika P = 0. Q = 40 Jika Q = 0, P = 20 ≡ p̂

Gambar 1.3

Cara Pertama :

CS

= [20 Q – 0,25 Q

= {20(20) – 0,25(20)²} – {20(0) – 0,25(0)²} – 200

= 400 – 100 – 200 = 100 Cara kedua:

Cs = f(p) dp = 2 p) dP

= [ 40 P – P Jika P = 10, Q 20=

P

40 Cs

20 E

0 10 20 Q

= {40(20) – (20)² } – { 40 (10) – (10)² }= 400- 300 = 100 2.) Surplus Produsen.

Surplus produsen ( producers’ surplus) mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkannya.

Fungsi penawaran P = f (Q) menunjukan jumlah sesuatu barang yang akan dijual oleh produsen pada tingkat tertentu.³ Jika tingkat harga pasar adalah Pe’ maka bagi produsen tertentu yang sebetulnya bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari Pe hal ini akan merupakan keuntungan baginya, sebab ia kini dapat menjual barangnya dengan harga Pe (lebih tinggi dari harga jual semula yang direncanakan).

Keuntungan lebih semacam ini disebut surplus produsen.

0 Q1 Q

3

P P = t(Q)

Pe E (Qe” Pe’)

Surplus produsen (Ps) D (0.� )

GAMBAR 1.4

Surplus produsen atau Pe (singkatan dari producers’ surplus) tak lain adalah segitiga P,DE, dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh Q

= 0 sebagai batas bawah dan Q = Q sebagai batas-batas.

Besarnya surplus produsen adalah :

Dalam hal fungsi penawaran berbentuk Atau

.

Dalam hal fungsi penawaran berbentuk adalah nilai Puntuk Q = 0, atau penggal kurva penawaran pada sumbu harga.

Dengan demikian :

Kasus 1

Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran

. Berapa surplus produsen itu bila tingkat harga keseimbangan di pasar adalah 10 ? Lakukan perhitungan dengan dua cara.

�_� = �_��_� − � � 𝑑� =

�_� 0

� � 𝑑�

�_�

�

0 14 Q

Gambar 1.5

Cara pertama :

Ps = Qe Pe - f (Q) d Q = (14) (10) - (0,15 Q + 3) dQ

= 140 – [0,25 Q

= 140 – { 0,25 (14)² + 3 (14 )} – {0,25 (0)² + 3(0) }

= 140 – 9 – 0 = 49

Cara kedua:

Ps = f (p) dp = 6 + 2 P ) dp

= [ -6 P + P 6 (10) + 10² } – {-6(3) + 3²}

= 40 – (-90) = 49 P

10

Pe

3 Pe

Kasus 2

Penawaran dan permintaan akan suatu barang di pasar masing- masing ditunjukan oleh Q = - 30 + 5 P dan Q = 60 – 4P. Hitunglah masing-

masingsurplus yang diperoleh konsumen dan produsen.

Penawaran:

Q = - 30 + 5 P

P = 6 + 0,20 Q Permintaan:

Q = 60- 4 P P = 15 – 0,25 Q Keseimbangan Pasar:

Q = Qd

- 30 + 5 P = 6 + 0,20 Q 9 P = 90

P = 10 Pe

Q = 60 – 4P = 60 – 4 (10) = 20 Qe

15 p

Cs Q s

10 E (20, 10)

6 Ps Q_d

0 20 60 Q Gambar 1.6

Surplus Konsumen : C1 = f^Qf0 f(Q) – Q, P,

=f 020 (15 -0,25 Q) Dq – (20)(10) ={15Q – 0,125 Q²}²⁰0 – 200 = 250 – 200 =50

Surplus Produsen : Ps = Q0PS – f ^Qf0 f(Q) dQ

= (20)(10) – f^Qf0 (6 + 0,20 Q) dQ =200 –{ 6Q + 0,10 Q² }²⁰0

= 200 – 160 = 40 3) Nilai sekarang arus kas

pada diskusi discounting ditunjukkan bahwa nilai sekarang M0, dari sejumlah tertentu uang yang telah digandakan secara kontinu, M, selama selang waktu tertentu, t, pada tingkat bunga tertentu, r, atau ringkasnya suatu fungsi kontinu untuk nilai sekarang dari sejumlah uang yang diterima di masa depan adalah:⁴

4

M0 = M e^-rt

Dengan demikian nilai sekarang arus kas, P, mulai periode 0 dan berakhir pada periode t, di mana M= f(t) dapat dicari dengan integral,

yaitu:

P =

jika penerimaan merupakan fungsi konstan, nilai sekarang arus kas menjadi :

P M(t)e^-

-rt)

jika arus kas itu berlangsung tanpa henti (perpetual), berarti t maka:

p

Modifikasi penentuan nilai sekarang arus kas dapat dipakai untuk beragam maksud, salah satu contohnya adalah seperti berikut. Misalkan seseorang

membeli tamh seharga C yang dibayar saat ini. Misalkan harga jual tanah tahun t di masa depan Idahh V dan ia berhubungan dengan waktu, V : V(t), sehingga nilai sekarangnya “ialah V(t) e'“. Selama menunggu hari penjualan pemilik harus membayar pajak bumi, T, misalkan besarnya pajak bumi merupakan fungsi konstan, sehingga nilai “karang arus pajak selama menunggu penjualan adalah:

P =

jadi nilai sekarang netto, N(t), yang akan dimaksimumkan adalah:

N(t) = V(t)e^- -C = V(t)+ C

Ini merupakan fungsi tujuan dengan variabel pilihan tunggal, yaitu t.

Agar nilai sekarang neto maksimum, harus dicari t sehingga N(t) = 0.

N'(t) = V'(t)e^-rt -r V(t) ...(aplikasi aturan perkalian derivasi) :

=[V'(t) - r V(t) - T] e^-rt

N(t) akan sama dengan nol jika dan hanya jika V'(t) = r V(t) + T.

Jadi tanah akan dijual ketika pertumbuhan nilai tanah sama dengan opportunity costnya yang terdiri biaya bunga dan pengeluaran pajak bumi.

4) Pembentuk kapital

Pembentukan kapital adalah proses penambahan terhadap kapital yang ada melalui penanaman modal atau investasi. Tidak semua yang diinvestasikan akan menambah kapital. karena ada bagian investaai yang digunakan untuk mengganti kapital m rusak Inka seluruh nilai yang diinvestasikan dinamakan gross

investment. mlh tambahan kapital hanya sebesar net investment. di mana:

Net Investment = Tambahan Kapital = gross Investment-Depresiasi

Misalkan besarnya kapital berhubungan dengan waktu, K(t), begitu juga net investment, I(t), maka hubungan keduanya adalah :

I(t)dt =

Ini berarti nilai kapital yang terbentuk selama selang waktu 1969 sampai 1994 W dicari jika fungsi investasinya diketahui. yaitu:

K(t) = K(l994)-K(1969) | Contoh:

Mislakan I(t) = 40 t^3/5 dan K (0) =75 Maka (t) = 40t^3/5dt = 25t^8/5 + C K(0) = 25.0 + C =75

C =75

Sehingga K(t) =75 + 25t^8/5

5) Model Domar Tentang Pertumbuhan Kapital

Pada diskusi pembentukan kapital sebelumnya sasarannya adalah menemukan time path kapital jika diketahui tingkat perubahannya. Sementara model

Domar(1946i bertujuan mencari lime path investasi yang diperlukan agar perekonomian selalu ber-ada dalam keseimbangan.

Dasar pemikiran model Domar ini dapat dijelaskan seperti berikut. Kegiatan investasi dapat dilihat dari dua sisi. di satu pihak mendorong permintaan agregat.

di lain pihak turut memperluas kapasitas produksi. Perubahan investasi, melalui proses multiplier. dapat melipatkan perubahan pendapatan nasional sebanyak l/s kali di mana | adalah marginal propersity to save atau

dimana Y(t) adalah pendapat nasional.

Misalkan lagi. k adalah rasio antara kapasitas perekonomian (pendapatan nasional) potensial, Yp(t). dengan kapital, K(t). maka:

= k I(t).

Perekonomian dikatakan seimbang jika pendapatan nasional potensial sama dengan pendapatan nasional. iika perekonomian berawal dari keseimbangan.…

tingkat perubahan keduanya merupakan syarat terpeliharanya keseimbangan. atau

Melalui substitusi dua persamaan sebelumnya ke dalam persamaan terakhir diperoleh:

k I(t)

= ks

jika kedua sisi persamaan terakhir diintegrasikan, didapat:

dt =

In I 9t) + c1 = kst + c2

In I(t) = kst + c

Jika diambil antilog In I (t), diperoleh I(t) = e^kst + s^C = a e^kst

Jadi time path investasi yang diperlukan adalah :

I(t) -= I(10)e^kst dimana I(0) adalah investasi pada keseimbangan awal, ini berarti untuk menjaga keseimbangan investasi harus tumbuh pada

tingkat kas.

Bagaimana jika investasi tumbuh pada tingkat r, dimna r ≠ ks sehingga :

I(t) 1 (0) e^rt dan r I(0)e^rt.karena itu I(0) e^rt

=k I(t) = k I(0) e^rt

Rasio dari kedua derevatif adalah

Jika r >ks maka d Y(t)/dt > d Yp(t)/dt artinya jika tingkat pertumbuhan investasinya melebihi ks maka pertumbuhan permintaan akan melebihi perrtumbuhan kapasitas perekonomian potensial sehingga menyebabkan kelangkaan kapasitas. Sebaliknya jika r<ks akan terjadi surplus kapasitas.

Kelangkaan kapasitas dapat memicu tingkat investasi sehingga r melebihi ks begitu juga dnegan surplus kapasitas yang dapat

mengendorkan minat investsi sehingga r semakin tetinggal dibandingan ks. Ini artina jika perbedaan antara r dan ks, perbedaannya justru akan semakin besar karena itu untuk meghindari kelangkaan maupun surplus kapasitas satu satuny acara adalah mengarahkan pertumbuhan investasi pada tingkat kas.

Kesimpulan model Domar seperti itu adalah karena pada model ini kapital merupakan penentu tunggal atas pendapatan nasional (output). Dengan

mengendorkan asumsi itu, RM Solow (1956) dapat memberikan kesimpulan yang lebih fleksibeL Solow memperkenalkan variabel lain yang memengaruhi output. yaitu tenaga kerja. Analisis matematik dan grafik model ini

membutuhkan peralatan yang belum dibicarakan, yaitu dig'erential equation dan phase diagram. Karena itu silahkan simak saja kesimpulannya seperti berikut.

Apa pun keadaan awalnya, perekonomian akan menuju keseimbangan. Ketika keseimbangan tercapai kapital akan tumbuh pada tingkat yang sama dengan pertumbuhan tenaga kerja Pada saat itu output juga tumbuh pada tingkat yang sarna. Keadaan di mana semua variabel yang sedang diamati tumbuh pada

tingkat yang sama dinamakan steady state atau steady growth yang merupakan bentuk umum dari stationary state, yaitu ketika semua variabel tidak berubah atau tingkat pertumbuhannya nol.

Menurut model Solow keseimbangan yang telah dicapai dapat berubah, misalnya karena perbaikan teknologi. jika ini terjadi. rasio kapital dengan tenaga kerja pada keseimbangan baru akan bertambah, yang berarti kenaikan produktivitas.

Dengan membandingkan model Domar dan Solow ditunjukkan bahwa perbedaan asumsi menyebabkan perbedaan kesimpulan. Ingat bahwa kebaikan suatu model bukan ditentukan oleh realistik atau tidaknya asumsi, melainkan oleh kemampuannya menjelaskan kenyataan.

6) Model Dommar Tentang Utang

Dalam model ini Domar (1944) ingin menunjukkan rasio antara utang total.

D(t). dengan pendapatan nasional. Y(t), dalam jangka panjang. Misalkan pendapatan nasional tumbuh secara kontinu pada tingkat yang konstan, yaitu r, sehingga Y(t) : ae^rt Untuk mencapai tingkat pertumbuhan itu diperlukan utang, Hm, yang merupakan porsi tertentu yang tetap dari pendapatan nasional, katakan H(t) = hY(t). Sehingga utang total pada tahun t adalah:

D hY(t)dt + D(0) di mana D(0) utang total saat awal

te^rt dt +

jika kedua sisi dibagi dengan Y(t). diperoleh:

Dalam jangka panjang dimana t

Jadi dalam jangka panjang rasio utang dengan pendapatan nasional akan mendekati h/r. Ingat bahwa model ini belummemperhitungkan bunga pijaman dan cicilan.

7) Probabilitas Suatu Interval

Pada variabel kontinu. probabilitas terjadinya suatu interval nilai variabel itu dapat dicari dengan menghitung luas wilayah di bawah kurva frekuensi

probabilitasnya path interval itu. Fungsi frelmensi probabilitas atau dikenal sebagai density function, seperti diperagakan Gambar 8.3, adalah suatu fungsi kontinu f(x) yang berciri:

1) f(x) ≥ 0 atau probabilitas tidak dapat bernilai negatif.

2) dx=l atau probabilitas terjadinya seluruh nilai variabel (seluruh perish) adalah l.

3) P(a < x (x) dx atau probabilitas terjadinya nilai variabel pada interval a sampai b adalah nilai definite inteqralnya dengan batas bawah a dan batas atas b ini berarti P (x = a) = f(x) dx=0 atau probabilitas terjadinya suatu nilai variabel adalah nol.

a b x

Diketahui suatu density function f(x) = 2e^-2x F(x)

Berapa probabilitas terjadinya nilai x antara 0 sampai 0,25?

P(O < x < 0.25) = ^e dx= -

= 0,607 + 1 = 0.393.

Dalam ilmu ekonomi distribusi probabilitas suatu variabel sering diasumsikan mengikuti pola normal. Jika ini kasusnya, usaha menemukan probabilitas suatu variabel pada interval tertentu dapat dibantu dengan memanfaatkan kurva normal yang telah distandarisasi.

BAB III PENUTUP

1.1 KESIMPULAN

integral dikenal 2 macam cara pengertian integral, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral). Integral taktentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penentuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui. Sedangkan itegral tetentu merupaka suatu konsep yang

berhubungan dengan proses pncarian luas suatu area yang batas atau limit dari area tersebu sudah tertentu.

Integral juga bermakna penjumlahan. Karena itu, integrasi dapat digunakan untuk maksud yang berbalikan dengan derivasi. Yaitu menemukan fungsi total jika diketahui fungsi

marginalnya.