Soal dan Penyelesaian Teori Peluang

(1)

LEMBAR JAWABAN UTS TEORI PELUANG

Nama : Novita Sari br Siagian

NIM : 4213111045

Kelas : PSPM 21C

Dosen : Prof. Dr. P. Siagian, M.Pd M. Kuliah : Teori Peluang

Soal dan Penyelesaian

1. Di dalam kotak pertama terdapat 2 bola merah dan 3 bola putih. Di dalam kotak kedua terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih. Dari dalam kotak di ambil satu bola. Jika bola yang terambil berwarna merah, tentukan nilai kemungkinan bahwa bola tersebut berasal dari kotak pertama.

Penyelesaian:

Kotak pertama terdapat 2 bola merah dan 3 bola putih

2M: 3P

Peluang terambil1merah dari kotak1=C₍_2,1₎ C₍_5,1₎=2

5 Kotak kedua terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih

3M: 4P

Peluang terambil1merah dari kotak2=C₍₃_,1₎ C₍₇_,1₎=3

7 Peluang berasal dari kotak 1, teorema bayes

(2)

¿(Peluang K.1× Peluang merah kotak1):{(Peluang K.1× Peluang merah kotak1) +(Peluang K.2× Peluang merah kotak2)}

¿

(

¹²^×²⁵

)

^:

{ ⁽

¹²^×²⁵

⁾

⁺

⁽

¹²^×⁷³

⁾ }

¿ 2

10:

(

¹⁰² ⁺¹⁴³

)

¿ 2 10: 58

140

¿14 29

Jadi nilai kemungkinan bahwa bola tersebut berasal dari kotak pertama adalah 14/29 2. Berapa pasang terbentuk dari nomor STNK mobil yang terdiri dari 3 huruf seri ganda

dibelakang nomor angka yang dapat dibuat di Provinsi Sumatera Utara? Misalnya satu contoh BK 1689 ABC.

Penyelesaian:

Dik : Susunan BK terdiri dari 4 angka dan 2 huruf Tidak ada syarat dalam penyusunan

Dit : Banyak susunan yang dapat dibentuk Jawab :

Susunan Angka × Susunan Huruf

10 10 10 10 26 26 26

Banyak susunan=10×10×10×10×26×26×26 Banyak susunan=175.760 .000

Jadi, banyak nomor STNK yang dapat dibuat di Provinsi Sumatera Utara adalah 175.760.000

3. Bila dalam perpisahan Kelas XII A salah satu SMAN di Medan yang mempunyai anggota sebanyak 38 siswa, kemudian mereka berbaris dengan wali kelas bapak Drs. Amandus Manurung, dan Kepala Sekolah Dra. Elisa Purba, MPd bersalaman satu persatu mulai dari

(3)

belakang menyalam kepala sekolah dan wali kelas secara bergantian. Berapa kali bersalamankah yang terjadi?

Penyelesaian:

Dik : Jumlah siswa = 38 siswa Jumlah guru = 2 guru Dit : Jumlah salaman yang terjadi Jawab:

 Jumlah salaman guru dan siswa ¿2×38=76

 Jumlah salaman antar siswa¿C₍_38,2₎= 38!

36!.2!=38.37 .36!

36!.2 =1046 2 =703

 Jumlah salaman seluruhnya = salaman guru dan siswa + salaman antar siswa Jumlah salaman seluruhnya=76+703=779

Jadi, jumlah salaman yang terjadi adalah sebanyak 779 salaman 4. Ada tiga kotak yaitu: Kotak I, Kotak II, dan Kotak III dimana setiap kotak :

Kotak I berisi 10 bola lampu, 5 di antaranya mati.

Kotak II berisi 6 bola lampu, 2 di antaranya mati.

Kotak III berisi 8 bola lampu, 3 di antaranya mati.

Diambil suatu kotak secara random, kemudian dari kotak yang terambil, diambil satu bola secara random. Berapakah probabilitas bahwa bola yang terambil bola lampu mati.

Penyelesaian:

Pada percobaan pertama :

Hasil yang mungkin adalah terambil kotak I atau kotak II atau kotak III Sehingga ruang sampelnya adalah S={I , II , III}

Misalkan :

A adalah kejadian yang terambil kotak I, B adalah kejadian yang terambil kotak II, dan C adalah kejadian yang terambil adalah kotak III, maka

P(A)=P(B)=P(C)=1 3 Pada Percobaan kedua :

(4)

Hasil yang mungkin adalah terambil bola lampu mati (m) atau terambil bola lampu yang masih hidup (b). Ruang sampelnya adalah S={^{m , b}}. Jika yang terambil pada percobaan pertama adalah kotak I, maka probabilitas terambilnya bola lampu mati adalah 5/10, sebab kotak I berisi 10 bola lampu dan 5 diantaranya mati.

Jika terambil pertama kotak II maka probabilitas terambil bola lampu mati adalah 2/6, sebab kotak II berisi 6 bola lampu dan 2 diantaranya mati. Jika yang terambil pertama kotak III maka probabilitas terambil bola lampu mati adalah 3/8, sebab kotak III berisi 8 bola lampu dan 3 diantaranya mati.

Kejadian terambil bola lampu mati dari kotak I ialah: M ∩ A Kejadian terambil bola lampu mati dari kotak II adalah: M ∩ B Kejadian terambil bola lampu mati dari kotak III adalah: M ∩ C Jika M adalah kejadian terambil bola lampu mati, maka

M=(M ∩ A)U(M ∩ B)U(M ∩C).

Dengan demikian, maka:

P(M)=P(M ∩ A)+P(M ∩ B)+P(M ∩C)

P(M)=P(A). P

(

^M^A

)

⁺^P⁽^B⁾^{. P}

(

^M^B

)

⁺^P^(C⁾^{. P}

(

^M^C

)

P(M)=1 3. 5

10+1 3.2

6+1 3.3

8=1 3.1

2+1 3.1

3+1 3.3

8=1 6+1

9+1

8=12+8+9 72 =29

72 Jadi , probabilitas bahwa bola yang terambil bola lampu mati adalah29

72

5. Ada dua buah kotak yaitu kotak A dan kotak B. Kotak A memuat 8 kartu bernomor 1 sampai 8, kotak B memuat 6 kartu bernomor 1 sampai 6. Sebuah kotak dipilih secara random, dan sebuah kartu diambil. Jika yang terambil kartu bernomor ganjil maka satu kartu diambil lagi dari kotak lain. Dan jika kartu yang terambil kartu bernomor genap maka kartu diambil lagi dari kotak yang sama. Hitunglah probabilitas bahwa kedua kartu yang terambil bernomor genap.

Penyelesaian:

Misalkan A = kejadian yang terambil kotak A, sedangkan B = kejadian yang terambil kotak B, maka P(A)=P(B)=1/2.

Misalkan dari kotak terambil bernomor ganjil (j), bernomor genap (g),

(5)

D adalah kejadian bahwa kedua kartu yang terambil bernomor genap D={(A , g , g),(B , g , g)}.

Kemudian probablitas dari kejadian ini adalah:

Dengan demikian, probablitas bahwa kedua kartu yang terambil bernomor genap adalah:

P(D)=1 2.4

8.3 7+1

2.3 6.2

5=1 2.1

2.3 7+1

2.1 2.2

5= 3 28+ 1

10= 30 280+ 28

280= 58 280= 29

140

Jadi, probabilitas bahwa kedua kartu yang terambil bernomor genap adalah 29/140 6. Tiga mata uang seimbang dilambungkan bersama. X menyatakan “banyaknya sisi M yang

muncul pada pelambungan tiga mata uang bersama”. Tentukan : a. Ruang sampel percobaan

b. Nilai-nilai fungsi probabilitas variabel random x c. Persamaan fungsi distribusi variabel random x Penyelesaian:

Tiga mata uang seimbang dilambungkan bersama, karena mata uang seiimbang berarti:

P(M)=P(B)=1 2 a. Ruang Sampel

Kotak

1/2

A

4/8

j ^3/6

j

3/6 g

4/8

g ^4/7

j

3/7 g

1/2

B ^3/6

j ^4/8

j

4/8 g

3/6

g ^3/5 j

2/5 g

(6)

S={MMM , MMB , MBM , BMM , BBM , BMB , MBB , BBB} b. X(s)=0,1,2,3

c. f(0)=P(BBB)=1 8

f(1)=P(BBM , BMB , MBB)=3 8

f(2)=P(X=2)=P(BMM , MBM , MMB=3 8 f(3)=P(X=3)=P(MMM)=1

8

X(S)=X f(x) F(X)

0 1

8

1 8

1 3

8

4 8

2 3

8

7 8

3 1

8 1

Penyajian untuk fungsi distribusi adalah

F(X)=

{

¹⁸⁴⁸⁷⁸¹⁰^,untuk^,untuk^,untuk^{,untuk x ≥}^{,untuk x}⁰²¹^{≤ x}^{≤ x}^{≤ x}^<⁰³^<^<^<2¹³

7. Dua orang pasien diperiksa golongan darahnya, sehingga dapat ditentukan golongannya ialah A, B, AB atau O. X menyatakan “banyaknya pasien yang mempunyai golongan darah O”.

Kemudian tentukanlah a. Ruang sampel

b. Nilai-nilai variable random x

(7)

c. Nilai-nilai fungsi probabilitas variable random x, dan d. F(x)

Penyelesaian:

Diperhatikan golongan darah dua orang pasien, dan X menyatakan banyaknya pasien yang mempunyai golongan darah “o”,

a. Ruang Sampel

S={(A , A),(A , B),(A , AB),(A ,O),(B , A),(B , B),(B , AB),(B ,O),(AB , A),(AB , B), (AB , AB),(AB ,O),(O , A),(O , B),(O , AB),(O ,O)}

b. X(s)=0,1,2

c. f(0)=P

{

(A , A),(A , B),(A , AB),(B , A),(B , B),(B , AB),(AB , A),(AB , B),(AB , AB)

}

⁼₁₆⁹

f(1)=P{(A ,O),(B ,O),(AB ,O),(O , A),(O , B),(O , AB)= 6 16 f(2)=P(O ,O)= 1

16 d. F(x)

X f(X) F(X)

0 9

16

9 16

1 6

16

15 16

2 1

16

1 Penyajian untuk F(X) ialah:

F(X)

{

³⁶¹⁵³⁶⁹¹⁰^,untuk^,untuk^{,untuk x}^{,untuk x ≥}⁰¹^{≤ x}^{≤ x}^<⁰²^<^<²¹