ﺘﻠﻴﻣﺎﻫ و ﻚﻴﻧﻮﻧﺎﻛ تﻼﻳﺪﺒﺗ شور نﺎﻜﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺮﺛﺆﻣ مﺮﺟ ﺎﺑ ﺮﻳﺬﭘ ﻞﺣ ﺎﻘﻴﻗد يﺎﻫ ﻦﻴﻧﻮ
ﻲﺸﺨﺑ
،
،اﺮﻫز ﻲﻫﺎﻨﭘ
، ﻦﻴﺴﺣ
ﻚﻳﺰﻴﻓهوﺮﮔ ﻥﻼﻴﮔهﺎﮕﺸﻧﺍد -
هﺪﻴﻜﭼ
شوريﺮﻴﮔرﺎﻜﺑﺎﺑ ﻥﺍﻮﺗﻲﻣ،ﻚﻴﻧﻮﻧﺎﻛتﻼﻳﺪﺒﺗ
ﻲﻌﻴﺳويﻪﺘﺳد ﭘزﺍ
ﻞﺣيﺎﻫﻞﻴﺴﻧﺎﺘ ﭘ
ﺆﻣمﺮﺟﺎﺑﺮﻳﺬ ﻥﺎﻜﻣﻪﺑﻪﺘﺴﺑﺍوﺮﺛ
PDEM) ﻔﺘﺳﺍﺎﺑ (
زﺍهدﺎ ﻪﻛﻲﻠﺧﺍدﻊﺑﺍﻮﺗ
ﻂﺳﻮﺗ ﻲﻳﺍﻮﻟ (Levai) ﭘيﺍﺮﺑ ﻞﺣيﺎﻫﻞﻴﺴﻧﺎﺘ ﭘﺬ
ﺖﺑﺎﺛمﺮﺟﺎﺑﺮﻳ دﺮﻛﻪﺒﺳﺎﺤﻣ،ﺪﻧﺍهﺪﺷﻒﻳﺮﻌﺗ
ﻥﺍﻮﺗﻲﻣﻦﻴﺘﭽﻤﻫ . ﺗ
يﺎﻫﻞﻴﺴﻧﺎﺘﭘزﺍيدﺍﺪﻌﺗيﺍﺮﺑﺍرﻲﺤﻳﺮﺻتﺍﺮﻴﺒﻌ
دﺍدﻥﺎﺸﻧودروآﺖﺳﺪﺑﺮﻳﺬﭘﻞﺣ دﺪﻧﺍﻮﺗﻲﻣﺎﻬﻧآﻊﺑﺍﻮﺗهﮋﻳوﻪﻛ
صﺎﺧﻊﺑﺍﻮﺗزﺍﻲﺗﻼﻤﺟر ﻤﺟﺪﻨﭼﺪﻨﻧﺎﻣ
ﻪﺘﻓﺎﻳﻢﻴﻤﻌﺗﺮﮔﻻ،ﻲﺑﻮﻛﺍژيﺎﻬﻳﺍﻪﻠ و
دﻮﺷﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ...
.
Point canonical transformations method and exactly solvable Hamiltonians with position-dependent effective mass
ِ
Bakhshi, Zahra; Panahi, Hossein Department of Physics, University of Guilan, Rasht
Abstract
Using the point canonical transformation method, we show that a class of solvable potentials with position- dependent mass( PDEM ) can be obtained by using the internal functions which are introduced by Levai for solvable potentials with constant mass. We also obtain the explicit expressions for some of these solvable potentials and show that the eigenfunctions of them can be obtained in terms of the known special functions such as Jacobi, generalized Laguerre polynomials and… .
PACS No: 03
ﻣ ﻪﻣﺪﻘ
ﻲﻣﻮﺘﻧﺍﻮﻛ يﺎﻫ ﻢﺘﺴﻴﺳ ،ﺮﻴﺧﺍ يﺎﻫ لﺎﺳ رد ﻪﺘﺴﺑﺍو ﺮﺛﻮﻣ مﺮﺟ ﺎﺑ
ﻥﺎﻜﻣﻪﺑ PDEM)
هدﺎﻣﻚﻳﺰﻴﻓردﻥﺎﺷﻥﺍوﺍﺮﻓيﺎﻫدﺮﺑرﺎﻛﻞﻴﻟدﻪﺑ،(
و ﺎﻫﺎﻧﺎﺳر ﻪﻤﻴﻧ يرﻮﺌﺗ ،يﺍ ﻪﺘﺴﻫ ﻚﻳﺰﻴﻓ ،لﺎﮕﭼ ...
ﻪﺟﻮﺗ درﻮﻣ
ﺪﻧﺍ هﺪﺷ ﻊﻗﺍو يدﺎﻳز ]
و1 و2 و3 4 [ ﭘ رد. يﺎﻫ ﺶﻫوﮋ شور يﺮﻈﻧ
ﺣيﺍﺮﺑﻲﺗوﺎﻔﺘﻣيﺎﻫ ﺎﻌﻣ ﻞ
ﻪﺑﻪﺘﺴﺑﺍوﺮﺛﺆﻣ مﺮﺟﺎﺑﺮﮕﻨﻳدوﺮﺷيﻪﻟد
شورﻪﺑﻥﺍﻮﺗﻲﻣﺎﻫشورﻦﻳﺍﻪﻠﻤﺟزﺍ،ﺪﻧﺍهﺪﺷﻪﺘﻓﺮﮔرﺎﻜﺑﻥﺎﻜﻣ و ﻚﻴﻧﻮﻧﺎﻛتﻼﻳﺪﺒﺗشور،يزﺎﺳﻪﻳﺰﺠﺗشور،ﻲﻟﺮﺒﺟ ...
هرﺎﺷﺍ
دﺮﻛ ] و5 و6 و7 و8 9 [ ﻦﻴﻨﭼ ﻞﺣ يﺍﺮﺑ ﺐﻟﺎﺟ يﺎﻫ شور زﺍ ﻲﻜﻳ .
ﻳدوﺮﺷيﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﺣزﺍﻞﺻﺎﺣ ﺞﻳﺎﺘﻧزﺍهدﺎﻔﺘﺳﺍ ﻲﺗﻻدﺎﻌﻣ يﺍﺮﺑﺮﮕﻨ
ﺪﺷﺎﺑﻲﻣ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ
،ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟﺎﺑﻲﻳﺎﻫ ﻢﺘﺴﻴﺳ يﺍﺮﺑ . ﻲﻳﺍﻮﻟ
] 5 ﺑ [ ﺎ
ﻪﺑ ﺮﮕﻨﻳدوﺮﺷ ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻞﻳﺪﺒﺗ و ﻚﻴﻧﻮﻧﺎﻛ تﻼﻳﺪﺒﺗ شور ﻚﻤﻛ ﻊﺑﺍﻮﺗ سﺎﺳﺍﺮﺑ ﻲﻳﺎﻫ ﻞﺣ ﺎﺑ ﻲﻄﺧ مود ﻪﺟرد ﻞﻴﺴﻧﺍﺮﻔﻳد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺮﻳﺬﭘ ﻞﺣ ﺎﻘﻴﻗد يﺎﻫ ﻞﻴﺴﻧﺎﺘﭘ و ﻒﻴﻃ هﮋﻳو ي ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻪﺑ ،صﺎﺧ ﺖﺳﺍﻪﺘﺧﺍدﺮﭘ .
ر يﺮﻴﮔرﺎﻜﺑ ﺎﺑ
ﻲﻳﺍﻮﻟ شو يﺎﻫ ﻢﻨﺴﻴﺳ رد
PDEM) ﺮﺑ هوﻼﻋ ،(
ﻲﻠﺧﺍد ﻊﺑﺍﻮﺗ ﻪﻛ ﻲﺗﺎﺼﺘﺨﻣ ﻞﻳﺪﺒﺗ ﻊﺑﺍﻮﺗ ﻦﺘﻓﺎﻳ ﻲﻣ هﺪﻴﻣﺎﻧ g(x)
زﺍ ﻥﺍﻮﺘﺑ ﻪﻛ دﺮﻛ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ يﺍ ﻪﻧﻮﮕﺑ ﺰﻴﻧ ﺍر مﺮﺟﺖﻴﻌﺑﺎﺗ ﺪﻳﺎﺑ ،ﺪﻧﻮﺷ هﺮﻬﺑ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ ﺎﺑ ﺮﮕﻨﻳدوﺮﺷ تﻻدﺎﻌﻣ تﺎﺒﺳﺎﺤﻣ زﺍ ﻞﺻﺎﺣ ﺞﻳﺎﺘﻧ ﺖﺴﺟ . ﺎﻫﻞﻴﺴﻧﺎﺘﭘيﻪﺒﺳﺎﺤﻣيﺍﺮﺑﻦﻴﻘﻘﺤﻣ زﺍﻲﻀﻌﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑﺮﻳﺬﭘﻞﺣ ي
ﻊﺑﺎﺗ ﺎﺑمﺮﺟﻊﺑﺎﺗ طﺎﺒﺗرﺍ ﻪﻛﺍرﻲﺻﺎﺧ يﺎﻫدﺎﻬﻨﺸﻴﭘ ﻪﻠﺌﺴﻣﻂﻳﺍﺮﺷﻪﺑ ﺪﻫد ﻲﻣ ﻥﺎﺸﻧ ﺍر ﻲﻠﺧﺍد ﺪﻧﺍ هدﺍد ﻪﺋﺍرﺍ ،
ﻪﻠﻤﺟ زﺍ .
) 2
(x g
M =λ ′
، g x M( )=λ ′ g و
x M = λ′
) ﻪﻛ (
ﻚﻳ λ
ﺪﺷﺎﺑ ﻲﻣ ﺖﺑﺎﺛ ﺮﺘﻣﺍرﺎﭘ ]
و10 و11 و12 13 ي ﻪﺋﺍرﺍ ﺎﺑ ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦﻳﺍ رد [
ي ﻪﺘﺳد ﻢﻳﺍ ﻪﺘﺴﻧﺍﻮﺗ مﺮﺟ ﺖﻴﻌﺑﺎﺗ و ﻲﻠﺧﺍد ﻊﺑﺍﻮﺗ ﻦﻴﺑ ﻲﻄﺑﺍور ﺮﻳﺬﭘ ﻞﺣ يﺎﻫ ﻞﻴﺴﻧﺎﺘﭘ زﺍ ﻲﻌﻴﺳو درﻮﻣ ﺮﻫ رد و هدﺮﻛ ﻪﺒﺴﻠﺤﻣ ﺍر
هﮋﻳو ويژﺮﻧﺍﻒﻴﻃ ﻢﻳﺍهدروآﺖﺳﺪﺑﺍرﻥآﻪﺑطﻮﺑﺰﻣجﻮﻣﻊﺑﺎﺗ
.
ﻞﻴﺴﻧاﺮﻔﻳد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻲﻳﺎﻫ
ﺎﺑ و نﺎﻜﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو مﺮﺟ
ﻧﻮﻧﺎﻛ تﻼﻳﺪﺒﺗ ﻚﻴ
:
1۰۷۹ 1۳۸۸ ﻥﺍﺮﻳﺍ ﻚﻳﺰﻴﻓ ﺲﻧﺍﺮﻔﻨﻛ ﻪﻣﺎﻧ ﻪﻟﺎﻘﻣ
ﻲﺘﻴﻣﺮﻫ ﻲﻧﻮﺘﻠﻴﻣﺎﻫ ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﺎﺑ PDEM)
ﻪﺳ لﺪﻣ رد (
ﭘ زورﻥﺍويﺮﺘﻣﺍرﺎ ]
[2
، ﺮﻳزترﻮﺼﺑ :
) 1 (
), ( ) ( ) ( )) ( )
( )
(
) ( )
( )
( 2( 1
x E x x V x dxM x d dxM x d M
x dxM x d dxM x d M
ψ ψ
α β
γ
γ β
α
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+ +
−
يﺮﺘﻣﺍرﺎﭘ ﺖﺒﺴﻧ ﺎﺠﻨﻳﺍرد
−1
= + +β γ و ﺪﺷﺎﺑ ﻲﻣ رﺍﺮﻗﺮﺑ α
1 2 0 =
= m ﺖﺳﺍ هﺪﺷ ضﺮﻓ h
M(x) . ﻊﺑﺎﺗ ﺪﻌﺑ ﻥوﺪﺑ ﻞﻜﺷ
m(x)=m0M(x) ﺑﻲﻣ
ﺪﺷﺎ ﺮﻳزترﻮﺼﺑﻥﺍﻮﺗﻲﻣﺍرﺮﻳزيﻪﻟدﺎﻌﻣ .
دﺮﻛﻲﺴﻳﻮﻧزﺎﺑ .
) 2 (
), (
) ( )]
) ( ( [ 1
) (
x E
x x dx V
d x M dx x d
H eff
ψ
ψ ψ
=
+
−
≡
ﻥآردﺮﺛﺆﻣﻞﻴﺴﻧﺎﺘﭘﻪﻛ :
) 3 (
. ] 1 ) 1 (
[
) 1 2( ) 1 ( ) (
3 2 2
M M M x M
V x Veff
+ ′ + + +
′′ − + +
=
β β
α α
β
درﺍدﻲﮕﺘﺴﺑﻥآمودولوﺍتﺎﻘﺘﺸﻣومﺮﺟﻊﺑﺎﺗﻪﺑ ﻈﻧردﺎﺑ .
ﻦﺘﻓﺮﮔﺮ
ترﻮﺼﺑجﻮﻣﻊﺑﺎﺗ :
) 4 (
)),
( ( ) ( )
(x = f x F g x ψ
ﻥآ رد ﻪﻛ F(g(x))
ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد ﻪﻛ ﺖﺳﺍ صﺎﺧ ﻊﺑﺍﻮﺗ زﺍ
ﺪﻨﻛﻲﻣقﺪﺻﺮﻳزﻲﻄﺧموديﻪﺟردﻞﻴﺴﻧﺍﺮﻔﻳد :
) 5 ( ,
0 ) ( ) ( )
2 (
2
= +
+ R g F g
dg g dF dg Q
F d
ﺑ ﻪﺑﻪﺟﻮﺗ ﺎ Q(x)
و x) ﻥﺍﻮﺗﻲﻣ صﺎﺧﻊﺑﺍﻮﺗردR(
ﻲﻳﺎﻫﺖﺒﺴﻧ
ﺑ ﺍر سﺎﺳﺍ ﺮ E-Veff (x)
،
،M(x)
،f(x) g(x) ﻥﺎﺷ تﺎﻘﺘﺸﻣ و
دروآﺖﺳﺪﺑ ﻊﺑﺎﺗ .
دﻮﺷﻪﺒﺳﺎﺤﻣﺮﻳزترﻮﺼﺑﺪﻧﺍﻮﺗﻲﻣf(x) :
) 6 ( ),
) 2 (
exp(1 ) ( )
( ( )
0 2
1
∫
∝ ′ g x Q u du g
x M f
ﺪﻴﻘﻣ يﺎﻫ ﺖﻟﺎﺣ جﻮﻣ ﻊﺑﺍﻮﺗ يﺍﺮﺑ يروﺬﺠﻣ يﺮﻳﺬﭘ لﺍﺮﮕﺘﻧﺍ طﺮﺷ ترﻮﺼﺑ 0
) (
) ( 2
→ x M ψ x ﺘﻧﺍوﻲﻳﺍﺪﺘﺑﺍطﺎﻘﻧرد ﻒﻳﺮﻌﺗيهزﺎﺑﻲﻳﺎﻬ
يﺍﺮﺑهﺪﺷ V(x)
ﻲﻧﻮﺘﻠﻴﻣﺎﻫﻥدﻮﺑﻲﺘﻴﻣﺮﻫﺎﺗدﻮﺷﻲﻣﻪﺘﻓﺮﮔﺮﻈﻧرد،
دﻮﺷﻞﺻﺎﺣﺰﻴﻧ .
تﺍﺮﻴﺒﻌﺗ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ
وQ(x) ﻳدي ﻪﻟدﺎﻌﻣرد R(x)
ﻔ ﻞﻴﺴﻧﺍﺮ ﻪﺟرد
يﺍﺮﺑﻲﻄﺧمودي ترﺎﺒﻋ
E-Veff (x) ﺖﺷﺍدﻢﻴﻫﺍﻮﺧ
:
) 7 (
4 , 3 ) 2
4 1 2 ( 1
) 4 (
3 ) 2
(
3 2 2 2 2
2
M M M Q M Q M R
g
g g M g M x g V E eff
+ ′
− ′′
′−
′ −
′ +
− ′′
′
= ′′′
−
ﺑ ﻪ ي ﻪﻠﻤﺟ دﻮﺟو ﺮﻃﺎﺧ ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﭗﭼ فﺮﻃ رد E
) 7 ﺪﻳﺎﺑ (
دﻮﺷدﺎﺠﻳﺍﻪﻟدﺎﻌﻣ ﺖﺳﺍرفﺮﻃ ردﻲﺘﺑﺎﺛ ترﺎﺒﻋ ﻥﺍﻮﺗ ﻲﻣﻦﻳﺍﺮﺑﺎﻨﺑ .
ﻊﺑﺎﺗ ﻦﻴﺑيﺍ ﻪﻄﺑﺍريﻪﺋﺍرﺍﺎﺑ و M(x)
g(x) ﺍرﺖﺒﻠﺛ يﻪﻠﻤﺟﻦﻳﺍ
دروآﺖﺳﺪﺑﻪﻟدﺎﻌﻣﺖﺳﺍرفﺮﻃرد زﺍهدﺎﻔﺘﺳﺍ ﺎﻣفﺪﻫﻪﻛﺎﺠﻧآزﺍ .
ﺖﺳﺍ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ ﺎﺑ ﺮﮕﻨﻳدوﺮﺷ ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ زﺍ ﻞﺻﺎﺣ ﺞﻳﺎﺘﻧ لﺎﺒﻧﺪﺑ ،
ﻢﻴﺘﺴﻫ ﻲﻳﺎﻫ ﺖﺒﺴﻧ ﻪﭽﻧآ ﻪﺑﺎﺸﻣ ﻲﻳﺎﻫ ﻞﻴﺴﻧﺍﺮﻔﻳد ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻢﻴﻧﺍﻮﺘﺑﻪﻛ
ﻢﻳروآ ﺖﺳﺪﺑ ،ﻢﻳﺍﻪﺘﺷﺍد ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟﺎﺑ ﺮﮕﻨﻳدوﺮﺷ يﻪﻟدﺎﻌﻣ رد ﻪﺑ .
ﺮﻳﺬﭘ ﻞﺣ يﺎﻫ ﻞﻴﺴﻧﺎﺘﭘ زﺍ ﻲﻌﻴﺳو ي ﻪﺘﺳد ﻥﺍﻮﺗ ﻲﻣ ﺐﻴﺗﺮﺗ ﻦﻳﺍ يﻪﻟدﺎﻌﻣ PDEM)
دﺮﻛﻪﺒﺳﺎﺤﻣﻲﻠﺧﺍد ﻊﺑﺍﻮﺗزﺍهدﺎﻔﺘﺳﺍﺎﺑﺍر( رد .
ﻦﻳﺍ ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦﻳﺍ يﺎﻬﻳﺍ ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ﻞﻣﺎﺷ صﺎﺧ ﻊﺑﺍﻮﺗ يﺍﺮﺑ شور
ﺖﺳﺍﻪﺘﻓررﺎﻜﻳﺖﻴﻣﺮﻫوﻪﺘﻓﺎﻳﻢﻴﻤﻌﺗﺮﮔﻻ،ﻲﺑﻮﻛﺍژ .
ﻲﺑﻮﻛاژ يﺎﻬﻳاﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ :
ترﺎﺒﻋ و Q(x)
ﻞﻴﺴﻧﺍﺮﻔﻳد ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد R(x) )
5 رد ﺎﺑ (
دﻮﺑﺪﻫﺍﻮﺧﺮﻳزترﻮﺼﺑﻲﺑﻮﻛﺍژيﺎﻬﻳﺍﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼﻦﺘﻓﺮﮔﺮﻈﻧ :
) 8 (
1 ,
) 1
) ( (
1 , ) 2
( ) 1
(
2
2 2
g n g n
R
g g g g
Q
− + +
= +
− +
− +
− +
=−
β α
β α β
α
ﻥآ رد ﻪﻛ 1
> - β
، و ﺪﻨﺘﺴﻫ ﺮﺘﻣﺍرﺎﭘ α n=0, 1, 2,…
ﺎﺑ
ﻪﻄﺑﺍريرﺍﺬﮕﻳﺎﺟ )
8 ﻪﻄﺑﺍررد ( )
7 ﺖﺷﺍدﻢﻴﻫﺍﻮﺧ ( :
) 9 (
)], 2 )(
4( [1 ) 1 (
)]
)(
2( [1 ) 1 (
] ) 2( ) 1 2 2(
[1 ) 1 (
)]
1 (
)[ 1 ) ( 4 1 2 ( 1
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
+ +
− +
′
− +
− −
′
+
−
− +
− +
′
+ + +
− +
= ′
′−
′ −
β α β α
α β α β
α β β
α β α
g M
g g
g M
g g
g M
g
n g n M Q g Q M R
g
ﻫ ي ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد،ﺪﺷ ﺮﻛذﻦﻳﺍ زﺍﺶﻴﭘ ﻪﻛ رﻮﻃ ﻥﺎﻤ )
9 رﻮﻈﻨﻣ ﻪﺑ (
1۰۸۰ 1۳۸۸ ﻥﺍﺮﻳﺍ ﻚﻳﺰﻴﻓ ﺲﻧﺍﺮﻔﻨﻛ ﻪﻣﺎﻧ ﻪﻟﺎﻘﻣ
ﻦﻴﺑ ﺍرﻲﺘﺒﺴﻧ ﻥﺍﻮﺗ ﻲﻣﺖﺳﺍر فﺮﻃ رد ﺖﺑﺎﺛ يﻪﻠﻤﺟ ﻚﻳﻦﺘﺷﺍد وM(x) دروآﺖﺳﺪﺑg(x)
ضﺮﻓﺎﺑ . ) ( 1 ) 1
( 2
x x g
M = −
ﻦﻴﻟوﺍ،
يﻪﻟدﺎﻌﻣﺖﺳﺍرفﺮﻃردﻪﻠﻤﺟ )
9 ﻊﺑﺎﺗﺮﮔﺍ،ﺪﺷﺎﺑ ﺖﺑﺎﺛﺪﻧﺍﻮﺗﻲﻣ (
ﺪﻨﻛقﺪﺻﺮﻳزﻞﻴﺴﻧﺍﺮﻔﻳدﻪﻟدﺎﻌﻣردg(x) :
) 10 (
,
1 2
2
g c
g =
− ′
ﻪﻛ ﺪﺷﺎﺑ ﻲﻣ ﺖﺑﺎﺛ ﻚﻳ C ﻪﻟدﺎﻌﻣ .
ﻞﻴﺴﻧﺍﺮﻔﻳد )
10 ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻥﺎﻤﻫ (
ﻴﺴﻧﺍﺮﻔﻳد ﻞ ﻂﺳﻮﺗﻪﻛﺖﺳﺍPI ﻲﻳﺍﻮﻟ
] 5 ﺮﻳﺬﭘﻞﺣيﺎﻫلﺪﻣيﺍﺮﺑ [
ررﺎﻜﺑ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ ﺎﺑ ﻪﺘﻓ
ﺖﺳﺍ بﺎﺨﺘﻧﺍ ﺎﺑﺎﺟ ﻦﻳﺍ رد . a2
C=− رد
يﻪﻟدﺎﻌﻣ )
10 ﺖﺷﺍدﻢﻴﻫﺍﻮﺧ ( :
) 11 ( g(x)=isinh(ax), −∞〈x〈+∞
ﻴﻘﺣ ﺖﺒﺜﻣ ﺮﺘﻣﺍرﺎﭘ ﻚﻳ a ﺖﺳﺍ ﻲﻘ
ﻪﺑ ﻪﻛ مﺮﺟ ﻊﺑﺎﺗ سﺎﺳﺍ ﻦﻳﺍ ﺮﺑ .
)ترﻮﺻ ( 1 ) 1
( 2
x x g
M = −
ترﻮﺼﺑ،ﺖﺳﺍهﺪﺷﻪﺘﻓﺮﮔﺮﻈﻧرد :
) 12 (
), ( sec )
(x h2 ax
M =
دﻮﺷ ﻲﻣ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ يرﺍﺬﮕﻳﺎﺟ ﺎﺑ .
و g(x) ﻪﻄﺑﺍر رد M(x)
) 9 (
ﺖﺷﺍدﻢﻴﻫﺍﻮﺧ :
) 13 (
), sinh(
)]
)(
2( [1
) ( sinh )]
2 )(
4( 1
) 1 4 (
[3 )]
1 (
) 4( ) 1 2 2(
1 2 [3 ) (
2
2 2
2 2
ax ia
ax n n a n
n a x V E eff
α β α β
β α β α
β α β
α
α β β
α
+
−
− +
+ +
− + + +
− + + + +
−
−
− + +
−
=
−
ﻪﺑ رد ﺐﻴﺗﺮﺗ ﻦﻳﺍ )
13 زﺍﻞﻘﺘﺴﻣ يﺍ ﻪﻠﻤﺟ ( ﻞﻣﺎﺷ ﻪﻛ x
ﻲﻣ ﺰﻴﻧ n
ﺖﺷﺍد ﻢﻴﻫﺍﻮﺧ ،ﺪﺷﺎﺑ يژﺮﻧﺍ رﺍﺪﻘﻣ هﮋﻳو ﻥﺎﻤﻫ ﻊﻗﺍو رد ﻪﻠﻤﺟ ﻦﻳﺍ .
ﻞﻣﺎﺷتﺍرﺎﺒﻋﺮﻳﺎﺳ ودﻮﺑﺪﻫﺍﻮﺧﻪﻠﺌﺴﻣﻦﻳﺍرد ﻞﻴﺴﻧﺎﺘﭘﺶﺨﺑﺰﻴﻧx
دﺍدﺪﻨﻫﺍﻮﺧﻞﻴﻜﺸﺗﺍرﺮﺛﺆﻣ .
) 14 ( ) ,
) (
( 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
s s a n a
s n a s a
E λ λ
−
− − +
−
=
) 15 (
), sinh(
2 ) ( sinh
] 2)
[( 1 2)
( 1 ) (
2 2
2 2 2 2
2 2 2
ax a
ax
a a s s
a a s x Veff
λ λ +
×
− +
+
−
−
=
ﻥآ رد ﻪﻛ a
i n s a i n
s− + = − −
= β
α ,
nو a s
= −λ ﻲﻣ
ﺪﺷﺎﺑ يرﺍﺬﮕﻳﺎﺟ ﺎﺑ .
،g(x) M(x) و ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑﺍو Q(x)
د ﻲﺑﻮﻛﺍژ يﺎﻬﻳﺍ ر
) 6 ترﺎﺒﻋ ( f(x) و دروآ ﺖﺳﺪﺑ ﻥﺍﻮﺗ ﻲﻣ ﺍر
ﻪﻄﺑﺍر يﺮﻴﮔرﺎﻜﺑ ﺎﺑ ﺲﭙﺳ )
4 جﻮﻣ ﻊﺑﺎﺗ هﮋﻳو ( ﻞﺣ ﻞﻴﺴﻧﺎﺘﭘ يﺍﺮﺑ
ﺮﻳﺬﭘ ) 15 ﺖﺳﺪﺑ ﺮﻳز ترﻮﺼﺑ ﻲﺑﻮﻛﺍژ يﺎﻬﻳﺍ ﻪﻠﻤﺟﺪﻨﭼ سﺎﺳﺍﺮﺑ (
ﺪﻳآﻲﻣ :
) 16 ( )].
sinh(
[
))]
sinh(
( tanh exp[
) ( cosh ) ( ) 1 (
) , (
2 1 1
4 1 2
ax i P
ax i a i ax a
x
a i n s a i n s n
n s
−
− +
−
− −
−
×
−
− ψ ∝
ﻊﺑﺎﺗهﮋﻳوﻪﻛدﻮﺷﻲﻣﻪﻈﺣﻼﻣ )
16 ﻒﻳﺮﻌﺗيهزﺎﺑ يزﺮﻣطﺎﻘﻧرد( هﺪﺷ
،
ﺴﻧﺎﺘﭘ يﺍﺮﺑ ﺪﺷﺎﺑﻲﻣ يروﺬﺠﻣ ﺮﻳﺬﭘ لﺍﺮﮕﺘﻧﺍﺮﺛﺆﻣ ﻞﻴ
طﺮﺷ ﻪﻛ ﺎﺠﻧآزﺍو
ﻲﻧﻮﺘﻠﻴﻣﺎﻫﻥدﻮﺑﻲﺘﻴﻣﺮﻫ يﺍﺮﺑ
S< 0 ﺪﻴﻘﻣتﻻﺎﺣﻦﻳﺍﺮﺑﺎﻨﺑ،ﺖﺳﺍ رﺍﺮﻗﺮﺑ
ﺎﻬﻨﺗﺍر يﺍﺮﺑ S<0 ﺖﺷﺍدﻢﻴﻫﺍﻮﺧ .
ﻪﺘﻓﺎﻳ ﻢﻴﻤﻌﺗ ﺮﮔﻻ يﺎﻬﻳاﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ :
ﻊﺑﺎﺗﺮﮔﺍ F(g(x)) ﺪﻨﭼ ﻚﻳﻲﻄﺧ مودﻪﺟردﻞﻴﺴﻧﺍﺮﻔﻳدﻪﻟدﺎﻌﻣرد
ﺟ
،ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﻓﺎﻳ ﻢﻴﻤﻌﺗ ﺮﮔﻻ يﺍ ﻪﻠﻤ و Q(g)
ﺪﻨﭼ ﻦﻳﺍ يﺍﺮﺑ R(g)
دﻮﺑﺪﻫﺍﻮﺧﺮﻳزترﻮﺼﺑيﺍﻪﻠﻤﺟ :
) 17 ( ,
) (
) ( ) 1
( g x
x g g
Q = − +α
), , 3 , 2 , 1 ,
2 , 1 , 0 ( , )
( = n= K α ≠− − − K
g g n R
ﻥآردﻪﻛ 1
>- ﻪﻄﺑﺍريرﺍﺬﮕﻳﺎﺟﺎﺑﻞﺒﻗﺖﻤﺴﻗﺎﺑﻪﺑﺎﺸﻣ،ﺪﺷﺎﺑﻲﻣα
) 17 ﻪﻄﺑﺍررد ( )
7 ﻫﺍﻮﺧ ( ﺖﺷﺍدﻢﻴ :
) 18 ( 4 ,
4 ) 1 )(
1 (
2 ) 1 2
) ( 4 1 2 ( 1
2 2 2 2 2
2
M g g g M
g g M Q n
Q M R
g
− ′
− ′ +
′ − +
= +
′−
′ −
α α
α
1۰۸1 1۳۸۸ ﻥﺍﺮﻳﺍ ﻚﻳﺰﻴﻓ ﺲﻧﺍﺮﻔﻨﻛ ﻪﻣﺎﻧ ﻪﻟﺎﻘﻣ
ﻦﺘﺷﺍدرﻮﻈﻨﻣﻪﺑ يﻪﻟدﺎﻌﻣﺖﺳﺍرفﺮﻃردﺖﺑﺎﺛيﻪﻠﻤﺟﻚﻳ
) 18 (
ضﺮﻓ ﺎﺑ و M(x)=g(x)
، ﻊﺑﺎﺗ ﺮﻳز ي ﻪﻄﺑﺍر رد ﺪﻧﺍﻮﺗ ﻲﻣ g(x)
ﺪﻨﻛﻲﻣقﺪﺻ :
) 19 (
2 ,
2
g c g′ =
ﺮﮔﺍصﺎﺧلﺎﺜﻣﻚﻳﻥﺍﻮﻨﻌﺑ C=a2
وﺪﺷﺎﺑ a>0 ﺖﺷﺍدﻢﻴﻫﺍﻮﺧ :
) 20 (
), exp(
)
(x ax
g = −
ﻦﺘﻓﺮﮔﺮﻈﻧ رد ﺎﺑ ضﺮﻓ
M(x)=g(x) ﺮﻳز ترﻮﺼﺑ مﺮﺟ ﻊﺑﺎﺗ
دﻮﺑﺪﻫﺍﻮﺧ :
) 21 (
),
exp(
)
(x ax
M = −
يرﺍﺬﮕﻳﺎﺟ ﺎﺑ )
20 و ( ) 21 رد ( ) 18 يﺮﻴﮔرﺎﻜﺑ و ( ي ﻪﻄﺑﺍر
) 7 (
يﻪﻄﺑﺍر دﻮﺷﻲﻣﻞﺻﺎﺣﺮﻳز :
) 22 (
4 , ) exp(
) exp(
4
) 1 )(
1 (
2 ) 1 2
) ( (
2 2
2
ax a
ax a
n x a
V E eff
− −
−
− +
+ −
= +
−
α α
α
بﺎﺨﺘﻧﺍ ﺎﺑ 2
−1
=α ﻢﺘﺴﻴﺳ ﻞﻴﺴﻧﺎﺘﭘ و يژﺮﻧﺍ ﺮﻳدﺎﻘﻣ هﮋﻳو l
PDEM) (
ﻮﺼﺑ دﻮﺑﺪﻫﺍﻮﺧﺮﻳزتر :
) 23 (
2, na E=
) 24 ( 4 ,
) exp(
) exp(
4
2) )( 1 2 ( 3
) 2 2 ( 3 ) (
2 2 2
ax a
ax l l a a
l x Veff
− −
−
−
− + +
− =
يﻪﺒﺳﺎﺤﻣﺎﺑﻥﺍﻮﺗﻲﻣﺲﭙﺳ ﺖﺷﻮﻧﺮﻳزﻞﻜﺷﻪﺑﺍرجﻮﻣﻊﺑﺎﺗf(x)
:
) 25 ( )].
[exp(
2 ] exp[ 1
2 ] 2) ( 3 ) exp[(
) ( ) 1 (
2) ( 1 2
1
ax L
e
x l a a
x
l n
ax −
−
×
− +
−
∝
− +
ψ
ﻲﻣﺖﻟﺎﺣﻦﻳﺍرد ﻥدﻮﺑﻲﺘﻴﻣﺮﻫويﺮﻳﺬﭘلﺍﺮﮕﺘﻧﺍطﺮﺷﻪﻛﺪﻳدﻥﺍﻮﺗ
دﻮﺑ ﺪﻫﺍﻮﺧ رﺍﺮﻗﺮﺑﻲﻧﻮﺘﻠﻴﻣﺎﻫ ﻲﻣهﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ ﻊﺑﺍﻮﺗ هﮋﻳو ﻪﺠﻴﺘﻧ رد .
ﺪﺷﺎﺑﺪﻴﻘﻣيﺎﻫﺖﻟﺎﺣﻊﺑﺍﻮﺗهﮋﻳوﺪﻧﺍﻮﺗ .
يﺮﻴﮔﻪﺠﻴﺘﻧ
:
ﻞﻴﺴﻧﺎﺘﭘ ﻥدروآ ﺖﺳﺪﺑ يﺍﺮﺑﻚﻴﻧﻮﻧﺎﻛ تﻼﻳﺪﺒﺗ شور ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦﻳﺍرد ﻂﻳﺍﺮﺷﺎﺑﺮﻳﺬﭘﻞﺣيﺎﻫ (PDEM)
ﺖﺳﺍﻪﺘﻓررﺎﻜﺑ هدﺎﻔﺘﺳﺍيﺍﺮﺑو
ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ ﺎﺑ ﺮﻳﺬﭘ ﻞﺣ يﺎﻫ ﻞﻴﺴﻧﺎﺘﭘ ﻞﺋﺎﺴﻣ زﺍ ﻞﺻﺎﺣ ﺞﻳﺎﺘﻧ زﺍ ﺆﻣ مﺮﺟ ﻦﻴﺑ ﻲﺻﺎﺧ يﺎﻫ ﺖﺒﺴﻧ ﺮﺛ
ﻲﻠﺧﺍد ﻊﺑﺎﺗ و M(x) ﻪﻛ g(x)
،ﺖﺳﺍ هﺪﺷ ﻒﻳﺮﻌﺗ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ ﺎﺑ ﻲﻳﺎﻫ ﺖﻟﺎﺣ يﺍﺮﺑ ﻪﺘﻓﺮﮔﺮﻈﻧ رد
ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ و ﻒﻠﺘﺨﻣ يﺎﻬﻳﺍ ﻪﻠﻤﺟ ﺪﻨﭼ ردﺎﻫ ﺖﺒﺴﻧ ﻦﻳﺍ ﻪﻛ هﺪﺷ ﺘﻣ ﺪﻧﺍﻮﺗ ﻲﻣ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﻂﻳﺍﺮﺷ ﺪﺷﺎﺑ توﺎﻔ
ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻦﺘﻓﺮﮔﺮﻈﻧ رد ﺎﺑ .
و هﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ ﺖﺑﺎﺛ مﺮﺟ ﺎﺑ ﻲﻳﺎﻫ لﺪﻣ يﺍﺮﺑ ﻪﻛ ﻲﻳﺎﻫ ﻞﻴﺴﻧﺍﺮﻔﻳد ﻥﺍﻮﺗ ﻲﻣهﺪﺷﻒﻳﺮﻌﺗ يﺎﻫ ﺖﺒﺴﻧيﺮﻴﮔرﺎﻜﺑﺎﺑو ﺎﻬﻧآﻲﻠﺧﺍد ﻊﺑﺍﻮﺗ ﺍر مﺮﺟ ﺖﻴﻌﺑﺎﺗ ﻪﺑ ﻥﺍﻮﺗ ﻲﻣ ﻊﺑﺎﺗ ود ﻦﻳﺍ ﻚﻤﻛ ﻪﺑ و دروآ ﺖﺳﺪﺑ
يﺍﺮﺑجﻮﻣﻊﺑﺍﻮﺗوﻞﻴﺴﻧﺎﺘﭘ،يژﺮﻧﺍﺮﻳدﺎﻘﻣهﮋﻳويﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣﺮﻫ
ﺖﺧﺍدﺮﭘﻞﻴﺴﻧﺍﺮﻔﻳد .
ﻊﺟﺮﻣ ﺎﻫ :
[1] Bendanial D. and Dukh C.
J.Phys.Rev.152(1966)683.
[2] Von Roos G.Phys.Rev.B24 7547(1983).
[3] Bastard G.Wave mechanics applied to semiconductor hetero structures, Les Editions de Physique, Les ulis, France(1988).
[4] Bessis D. and Mezincescu G. Microelectronicy 30 (1999)953.
[5] Levai G. J, Phys. A: Math. Gen. 27 3809 (1994).
[6] Roy B. and Roy P. J.Phys. A: Math. Gen. 35 (2002) 3961-3969.
[7] Quesne C. and Tkachuk V.
J.Phys.A:Math.Gen.37(2004)4267.
[8] JU Guo-Xin, and etal.arXiv:quant- ph/o601004v1(2005).
[9] Roy B. and Roy P. J.Phys. A: Math. Gen. 35 (2002) 3961-3969.
[10] Gonul B. Tutcu D. and Ozer O. Mod. Phys. Lett.
A. 17 2057 (2002).
[11] Alhaidari A. D. Phys. Rev. A 66 042116 (2002).
[12] Bagchi B. Gorain P. Quesne C. and
Roychoudhury R. Mod. Phys. Lett. A 19 2765 (2004).
[13] Bagchi B. Gorain P. Quesne C. and
Roychoudhury R. Europhys. Lett. 72 155 (2006).
1۰۸۲ 1۳۸۸ ﻥﺍﺮﻳﺍ ﻚﻳﺰﻴﻓ ﺲﻧﺍﺮﻔﻨﻛ ﻪﻣﺎﻧ ﻪﻟﺎﻘﻣ
