2019年12月20日確認問題
I Rnの部分空間V に対して
V⊥⊥
=V
が成立することを証明しましょう．
II A∈Mn(R)が対称であるとします．Rn の部分空間V がA-不変であるとき，すなわち
~v∈V ⇒A~v∈V
が成立するならば，V⊥もA-不変であることを示しましょう．
III (1)α, β∈K,a,b∈(K)∗, A0, B0∈Mn(K)とします．
A=
α a
~0 A0
, B=
β b
~0 B0
に対して
AB=A=
αβ ∗
~0 A0B0
となることを示しましょう．
(2)f(λ)∈K[λ]に対して
f(A) =
αβ ∗
~0 f(A0)
となることを示しましょう．
IV A∈Mm,n(R)とします．
(1)(Im(A))⊥= ker(tA)であることを示しましょう．
(2)Im(tA) = ker(A)⊥であることを示しましょう．
V A=
2 1 1 1
1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
を直交行列で対角化しましょう．
VI A=
2 0 0 −1 0 2 −1 0 0 −1 2 0
−1 0 0 2
を直交行列で対角化しましょう．
VII
A= 4 −1−1
−1 4 −1
−1−1 2
, ~b= −
−1 2
に対して2次曲面
Ax y z
,x y z
+c
~b,x y z
+ 2 = 0
を考えます．平行移動の座標変換と直交座標変換を用いて，この2次曲線を簡単に表しましょう．
VIII Rnの部分空間V の正規直交基底~p1, . . . , ~p`を用いてV の直交射影P を P ~x=
`
X
j=1
(~pj, ~x)~pj
を定義しました．
P2=P, tP =P
が成立することを示しましょう．
99
IX VIIIの状況でQ=In−PとするとQがV⊥への直交射影となることを示しましょう．
X Presentation「正則性」の定理2を用いて以下を示しましょう．
~a1, . . . , ~a`∈Kn が線型独立であるとき~a`+1, . . . , ~anが存在して
~a1, . . . , ~a`, ~a`+1, . . . , ~anが線型独立となる
100
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を直交行列で対角化しましょう．
解答
ΦA(λ) =
λ−2 −1 −1 −1
−1 λ−2 −1 −1
−1 −1 λ−2 −1
−1 −1 −1 λ−2
=
λ−5 λ−5 λ−5 λ−5
−1 λ−2 −1 −1
−1 −1 λ−2 −1
−1 −1 −1 λ−2
= (λ−5)
1 1 1 1
−1 λ−2 −1 −1
−1 −1 λ−2 −1
−1 −1 −1 λ−2
= (λ−5)
1 1 1 1
0 λ−1 0 0
0 0 λ−1 0
0 0 0 λ−1
= (λ−1)3(λ−5)
（ここまでは12月08日を再利用）
次に固有ベクトルを求めます．
(i)λ= 1のとき固有多項式を求めるときの行基本変形を用いると I4−A→ · · · →
1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
と行基本変形できることが分かります．従って x
y z w
∈V(1) ⇔x+y+z+w= 0
が分かります．このとき x
y z w
= x
y
−x−y−wz
=x 1
0
−10
+y
0
1
−10
+z
0
0
−11
からV(1)の基底として
~ q1=
1 0 0
−1
, ~q2= 0
1 0
−1
, ~q3= 0
0 1
−1
がとれます．~q1, ~q2, ~q3にGram-Schmidtの直交化を適用してV(1)の正規直交基底を求めます．w~1を~q2の
~
q1方向への直交射影とすると
~
w1= (~q2, ~q1)
||~q1||2 ~q1= 1 2
1
0 0
−1
と求まります．ここで~q1に垂直なV(1)のベクトルとして
~
q2−w~1=~q2−1 2~q1= 1
2 −1
2
−10
がとれます．ここで
~ p1= 1
||~q1||~q1= 1
√2 1
0
−10
, ~p2= 1
||~q2−w~1||(~q2−w~1) = 1
√6 −1
2 0
−1
101
と定めると~p1, ~p2∈V(1)は正規直交系です．さらに~q3のV =R~p1+R~p2への直交射影をw~2とすると
~
w2= (~q3, ~p1)~p1+ (~q3, ~p2)~p2=1 2
1
0 0
−1
+1
6 −1
2
−10
=1 3
1
1 0
−2
となります．ここでV に垂直なV(1)のベクトル~q3−w~2を大きさ1にして
~
p3= 1
||~q3−w~2||(~q3−w~2) = 1 2√
3 −1
−1
−13
と定めると~p1, ~p2, ~p3はV(1)の正規直交基底となります．
(ii)λ= 5のとき
5I4−A→ · · · →
1 0 0−1 0 1 0−1 0 0 1−1 0 0 0 0
と行基本変形ができますから
(x y z w)∈V(5) ⇔x=y=z=w
から固有ベクトルは
w w w w
=w 1
1 1 1
(w6= 0)
であることが分かります．これから
~ p4=1
2 1
1 1 1
と定めるとP = (~p1~p2 ~p3 ~p4)は直交行列となって
AP =P 1
1 1
5
から
tP AP = 1
1 1
5
と対角化できます．
102
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