이 장에서는 첫 번째 연구 결과인 수학 교사의 교육과정 자료 사용 사 례를 설명하는 데 목적을 둔다 이하에서는 김교사가 . 11차시에 걸쳐 수 업한 삼각비 수업 사례를 살펴본다 본 연구에서는 수학 교사의 교육과. 정 자료 사용에 영향을 미치는 요인을 수학 학생 환경 요인으로 구분, , 하고 이를 분석틀로 설정하였다 이를 기초로 장에서는 관찰된 사례의 . Ⅴ 귀납적 분석을 위해 김교사가 지도하는 삼각비 단원에서의 선행 연구의 결과를 확인하여 수학 학생 환경 요인의 분석 방법을 정리하였다 이에 , , . 본 장에서는 연구 문제 의 결과를 제시한다 구체적으로 한 명의 중학1 . , 교 초임교사가 수학 학생 환경 요인의 영향으로 교육과정 자료를 어떻, , 게 사용하는지 교사의 해석은 실천과 어떠한 관련이 있는지 확인함으로, 써 시사점을 제공하고자 한다.
앞서 언급한 바와 같이 본 연구에서는 매 차시마다 수업의 단계를 나, 누고 각 수업의 단계마다 교사가 교육과정 자료 사용에 영향을 미치는 , 주요 요인 중 무엇의 영향을 받는지를 확인하였다 김교사는 자신의 활. 동지를 제작하여 수업하였으며 수업의 단계마다 과제의 수는 최소 개부1 터 최대 개로 분포되어 있었다 차시별 수업의 단계와 분석 결과를 제6 . 시하면 표 < Ⅵ-1>과 같다.
차시 내용 수업
단계의 수 분석 결과
1 삼각비의 뜻 4 MC1 MC2 SE - ES– – 2 의 삼각비 3 MC SI - ES– 3 에서 까지의 삼각비 2 SU - MS 4 삼각비표 삼각비 개념 복습 ,
및 문제풀이 5 SU1 MC SU2 SU3 - SU4– – – 5 삼각비 개념 복습 및 문제풀
이 2 SU - MS
6 삼각비의 활용 길이와 거리 1(
구하기) 4 SI SU1 SU2 - SU3– – 7 삼각비의 활용1 4 SI1 SU SI2 - ES– – 8 삼각비의 활용1 3 SU1 SU2 - SI– 9 삼각비의 활용 넓이2( ) 4 SI ME SU1 - SU2– – 10 삼각비의 활용2 3 SI ES1 - ES2– 11 삼각비 총 정리 문제풀이( ) 2 SU1 - SU2
합계 36 수학: 7, 학생: 24, 환경: 5 표
< Ⅵ-1> 차시별 수업의 단계와 분석 결과
김교사의 삼각비 수업을 종합한 결과 교육과정 자료 사용에 수학 학, , 생 환경 요인이 모두 영향을 미쳤다 김교사의 사례에서 확인한 수업 , . 단계는 개였으며 김교사는 학생 수학 환경 요인의 순으로 영향을 받36 , , 는 것으로 확인되었다 김교사는 수학 요인과 학생 요인의 모든 하위 요. 소에 영향을 받았으며 환경 요인의 하위 요소 중 일부에만 영향만 받는 것으로 확인되었다.
김교사가 지도한 교과서에서 삼각비 단원은 삼각비의 뜻 삼각비의 값, , 삼각비의 활용의 개의 소단원으로 구성되어 있었다 삼각비의 뜻과 값3 . 을 지도하는 1~5차시에는 수학 요인의 영향(MC, MS)이 두드러지는 것으 로 확인되었다 한편 삼각비의 활용을 지도하는 . , 6~10차시에는 용어나 설명의 불충분함에만 영향을 받았다(ME). 대신 이때 김교사는 학생의 이 해와 흥미에 주로 영향을 받았다(SU, SI). 환경 요인 중 사회문화적 맥락 도 개의 소단원에 모두 영향을 미쳤다3 (ES). 이후 각 절에서는 각 수업의
단계마다 교사의 교육과정 자료를 어떻게 사용하는지 삼면적 분석틀에 따라 분석하고 대표적인 사례를 중심으로 교사의 해석은 실천과 어떠한 , 관련이 있는지를 확인한다.
1. 수학 요인
삼각비 차시에는 개1 2 , 2, 3, 4, 5, 9차시에서 각 개의 수업 단계가 수1 학 요인의 영향을 받은 것으로 확인되었다 구체적으로. , 1, 2, 4차시에는 삼각비의 공변성과 일정성의 영향을 받았으며(MC) 3, 5차시에는 삼각비 와 삼각함수의 연계의 영향을 받았다(MS). 마지막으로 차시는 교과서의 9 삼각형의 넓이 공식의 정당화의 불충분함의 영향을 받았다(ME).
김교사는 삼각비의 뜻을 다루는 차시 특수각의 삼각비를 다루는 차1 , 2 시의 수업에서 교과서의 과제가 닮음비로서의 삼각비를 잘 드러내고 있 는지 즉 닮은 직각삼각형들의 공변성과 일정성을 드러내는지 판단하였, , 다(MC). 김교사는 교과서의 과제가 삼각비 개념의 본질인 공변성과 일정 성을 드러내는데 한계가 있다고 판단하여 이를 강조하기 위해 인터넷 자 료 지도서에 있는 자료를 활용하여 새로운 과제를 추가하였으며 교과서, 에 제시된 과제를 재배치하였다.
면담 전사
차 1
차시에 있는 영상은 삼각비가 어떻게 등장하게 되었는지를 1 EBS MATH
설명해줘요 왜 별 사이의 거리를 측정하였는지 측정하다가 생긴 문제점. , 은 무엇인지 그러다 보니 닮은 삼각형에서 비율을 생각하게 되었고 특, , 별히 직각삼각형에서는 한 각만 같아도 닮음이기 때문에 직각삼각형에서 의 비율을 표로 정리하게 되었다고 삼각비가 의미 있게 등장하게 되었다 는 걸 알려줄 수 있어요.11) (중략 삼각비의 배경과 의미를 알려줄 수 있) 고 활용이 어떻게 된다는 걸 보여줄 것 같아서 이 영상을 삼각비 도입에 , 활용하게 되었어요 중략. ( )
표
< Ⅵ-2> 1, 2차 심층 면담에서 확인한 MC에 관한 해석
김교사는 삼각비의 개념을 도입할 때에는 직각삼각형의 닮음을 이해하 고 닮음인 직각삼각형들의 공변성과 일정성을 이해하는 것이 중요하다, 고 생각했다 그러나 교과서에 제시된 과제는 이미 닮은 직각삼각형을 . 제시하고 두 변의 길이의 비를 구하도록 한다는 점에서 삼각비 개념이 , 발생하게 된 배경과 삼각비 개념의 본질을 드러내는 데 한계가 있다는 점을 언급했다 이를 보완하기 위해 김교사는 인터넷으로 검색을 하거나 . 수학 수업과 관련된 책을 읽으면서 다른 자료들을 살펴본다고 하였다.
수업을 설계하기 위해 여러 자료들을 검토하지만 작년부터는 수학 교사 들이 교수 학습 자료를 공유하는 인터넷 카페· , EBS MATH, 자신이 제작 한 활동지를 기초로 보완한다고 밝혔다.
11) 교사의 교육과정 자료 해석을 드러내는 부분은 밑줄을 그어 강조함. 한 예각의 크기가 같은 직각삼각형이라면 크기에 상관없이 두 변의 길이 의 비의 값이 일정하다는 것이 굉장히 중요하고 이걸 학생들이 아는 게 , 삼각비의 뜻을 아는 것이라고 생각해요. 그래서 그 부분을 추가하고자 했 어요. 크기에 상관없이 예각이 정해지면 닮은 직각삼각형이 되고 그러면 , 변의 길이의 비율은 항상 일정하다는 걸 좀 더 강조하고 싶어서 생각열 기에 모눈종이를 이용해서 길이를 구해 수치로 확인하는 것을 추가했어 요.
차 2
고등학교 교육과정에서 sec cosec cotan가 나와요 사실은 생각할 . 수 있는 게 가지인데 학생들이 이걸 알고 있으면 나중에 고등학교 갔을 때 중학교에서 다루지 않았던 역수의 비, sec cosec cotan를 알 수 있게 말한 거에요. 고등학교 교육과정을 생각하고 말했어요 원. 래 가지가 있지만 우리는 가지를 배운다고요. 중략 직각삼각형에 ( ) 서 닮음이 명확하게 보이게 삼각비를 처음 배울 때 직각삼각형 여러 개가 크기가 다른 게 겹쳐져 있었잖아요 밑변의 길이와 높이만 다르. 게 빗변이 겹쳐지게 그런 그림이 아니고 , . 다른 모양으로 겹쳐져 있을 수도 있는 거잖아요 그때도 기준각이 같은 것을 다른 직각삼각형에. 서 잘 찾아내서 거기서 삼각비를 구해도 된다라는 것을 연습시키고자 세 과제(2~4 )번 를 넣었는데.
구체적으로 김교사는 , EBS MATH의 수학사와 관련된 영상을 이용하여 그림 과 같이 교과서에 제시된 과제를 사용하지 않고 새로운 과제 [ Ⅵ-1]
를 추가하였다 김교사는 이 영상에서는 삼각비 개념이 별 사이의 거리. 를 측정하기 위해 닮은 직각삼각형에서 두 변의 길이의 비가 일정하다는 점을 이용하였다는 점을 소개할 수 있기 때문에 활용했다고 밝혔다 또. 한 영상에서는 왜 이등변삼각형을 반으로 잘라 직각삼각형을 만드는지에 대한 설명이 없는데 결국 직각삼각형에서는 한 예각만 같아도 닮음이기 때문에 닮음비의 일정성을 활용하기 쉽다는 점을 드러낼 수 있도록 만화 를 추가했다고 하였다 차시 (1 MC1).
그림
[ Ⅵ-1] 1차시의 삼각비 개념 도입(MC1)에서 삭제한 교과서 과제 좌( ) 와 추가한 과제 우( )
김교사는 차시 수업을 하면서 지속적으로 삼각비를 암기하고 계산을 1 연습하는 것보다는 삼각비 개념의 본질인 닮음비를 이해하는 것이 중요 하다는 점을 강조했다 이에 교과서의 과제 중 동일한 절차를 반복하는 . 과제는 중복되지 않게 삭제하였으며 삼각비의 본질을 드러낼 수 있는 과 제를 추가하였다 구체적으로 김교사는 한 예각의 크기가 같은 직각삼. , 각형은 닮음이고 이로 인해 직각삼각형의 크기에 관계 없이 두 변 사이,
의 길이의 비가 일정하다는 삼각비 개념의 본질을 확인하도록 하는 과제 를 추가하였다 이를 반영해 김교사는 그림 . [ Ⅵ-2]와 같이 지도서에 제시 된 수업 아이디어를 과제로 수정하였다 김교사는 이 과제를 설명하며 . 수업 중 모눈종이 위에 놓인 한 예각의 크기가 같은 직각삼각형들이 닮 음이라는 점을 강조하고 닮은 직각삼각형들의 두 변 사이의 길이의 비, 를 구하며 닮음비의 일정성을 인식하도록 하였다 차시 (1 MC1).
그림
[ Ⅵ-2] 1차시의 삼각비 개념 도입(MC1)에서 지도서의 수업 아이디어 좌 와 추가한 과제 우
( ) ( )
김교사는 차시에 닮음비의 일정성을 설명하면서 교과서에는 제시되어 1 있지 않지만 고등학교 교육과정과의 연계를 고려하였다 즉 김교사는 . , 중학교에서는 sec cosec cotan를 다루지 않지만 삼각비 개념이 고등학 교 교육과정에서는 보다 일반적으로 다루어진다는 점을 고려하였다 구. 체적으로 김교사는 직각삼각형에서 고려할 수 있는 가지의 삼각비는 , 6 닮음의 공변성과 일정성으로 인해 직각삼각형의 크기에 상관없이 일정하 나 중학교 학년의 삼각비에서는 가지만 정의하고 이를 3 3 , sin cos tan 이라 한다고 언급하였다 이로부터 김교사가 교과서를 재구성할 때 기하. 의 관점에서 삼각비의 본질에 초점을 맞추면서도 고등학교 교육과정과의 계열성을 고려한다는 점을 알 수 있다. 실제로, 김교사가 수업에서 sec cosec cotan라는 용어를 언급하거나 그 정의를 제시한 것은 아니 며 차시 이후 학생들이 제출한 과제 삼각비의 뜻을 정리하기 에서도 이1 ( )