IV. 교사의 교육과정 자료 사용에 영향을 미치는 요인
1. 수학 요인
수학 요인은 교사가 수학적 지식의 본질과 구조와 같은 수학적 측면의 영향으로 교육과정 자료를 사용하는 것이다 교사는 학생에게 직접 가르. 치지는 않지만 학교수학의 이론적 배경이 되는 학문으로서의 수학과의 8) 선행 연구 구나영 이경화( , , 2021; Ku & Lee, 2020)에서는 이를 수학적 교수,
학적 환경적 해석으로 서술하였다 본 연구에서는 교육과정 자료 사용의 의, . 미를 규정하고 해석주의의 철학적 배경을 기초로 교사의 교육과정 자료 해, 석을 정의하면서 선행 연구의 용어를 수정하여 서술하였음을 밝혀 둔다.
관련을 이해하며 이에 영향을 받아 교육과정 자료를 사용한다 조완영( , 수학 요인에는 수학적 개념의 이해 요소 수학적 지식의 구조와
2011). ,
관계 수학적 용어나 설명의 불충분함에 영향을 받은 교육과정 자료 사, 용이 포함된다.
1.1. 수학적 개념의 이해 요소
교사들은 수학적 지식의 필요성과 유용성에 주목하면서도 수학적 개념 의 이해 요소를 파악하고 수학적 개념과 성질의 본질을 지도하는 것이 , 중요하다고 생각한다 구체적으로 구나영 외. , (2020)는 고등학교 교사가 조건부확률을 수업할 때 무엇을 가장 중요시하는지를 확인하였다 연구 . 참여자가 고등학교 교사이기 때문에 공식을 적용하고 계산 절차를 연습 하거나 다양한 응용 문제를 해결하는 것을 중시할 것이라 예상되나 조건 부확률의 개념을 이해하는 것이 가장 중요하다고 생각하는 교사가 가장 많았다 특히 교사들은 그림 . , [ Ⅳ-2]와 같이 조건부확률 P
를 표본 공간 전체의 집합이
로 국한되는 확률 즉,
가 표본공간이 되는 시행 에서의 확률임을 이해해야 하며 조건부확률 P
에서 조건사건
와 목적사건
를 구분해야 한다는 점 즉 조건이 되는 사건과 그 조건 하, , 에 구하고자 하는 사건을 구별해야 한다는 점을 강조하였다.표본공간의 변화를 언급한 응답의 예
조건사건과 목적사건의 구분을 언급한 응답의 예
그림
[ Ⅳ-2] 조건부확률을 지도할 때 개념 이해를 중시한다는 응답
구나영 외 에서 일부 수정
( , 2020, p. 500 )
이경화 외(2009)의 연구에서 교사는 그래프의 자료를 표로 바꾸는 과 정에서 표를 어떻게 왜 그리는가에 관한 근본적인 측면에 초점을 맞추, 었다 또한 교사는 수업에서 놓칠 수 있는 독립변수와 종속변수의 차이. 와 그 관계를 다루었다 즉 교사는 학생과의 대화 속에서 실세계 맥락 . , 속에 숨겨진 개념 요소를 드러내고 수학적 개념의 본질을 이해하는 것의 중요성을 강조하였다 이경화( , 2010, 재인용).
와 에 참여한 초등학교 교사는 분수를 지도하면서 교 Land Drake(2014)
과서에 제시된 학습 경로를 긍정적으로 평가하며 따르기로 결정하였다.
교과서의 분수 단원은 분수와 소수의 개념을 이해하기 분수와 소수의 , 값을 비교하기 분수를 계산하기의 세 개의 소단원으로 이루어져 있었, 다 분수 개념을 소개하는 부분에서는 직사각형에서 주어진 분수를 나타. 내는 부분을 찾고 같은 값을 나타내는 분수들을 찾는 것이 포함되었다.
교사는 과제가 분수 개념 같은 류, ( )類 의 분수의 개념을 강조한다는 것을 이해하고 있었으며 이를 강조하기 위해 추가적인 설명을 하였다 또한 . 교과서에 제시된 단원의 순서를 재배치하여 분수를 계산하고 분수의 값 을 비교하는 것의 순서로 진행하였다.
의 연구에 참여한 예비교사
E. J. Lee, K. H. Lee, Park(2019) 9)는 통계적 추정 단원에서 모평균을 추정할 때 모평균의 신뢰구간의 길이가 단순히 , 신뢰도나 표본의 크기에 따라 달라지는 것이 아니라는 점에 초점을 맞추 었다 예비교사는 모평균의 신뢰구간의 본질은 모평균의 신뢰구간이 표. 본평균에 따라 달라질 수 있다는 점 모평균은 표본평균의 근방에 존재, 하며 이를 수업에서 강조해야 한다고 밝혔다 예비교사는 교과서에 제시. 된 과제가 실세계 맥락 병원에서 대기하는 시간 을 다루고 있지만 모평( ) 균의 신뢰구간을 구하는 공식을 절차적으로 연습하는 것에 치중한다고
9) 본 절에서 다루는 일부 선행 연구는 국내 예비교사를 대상으로 수행되었다. 비록 연구 대상이 예비교사이나 우리나라의 예비교사 교육에서 학문적 수학 이 강조된다는 점 조완영( , 2011)과 입직 단계에서의 우수성이 특징적이라는 점 이경화 외( , 2012)에 비추어볼 때 교사가 수학 요인에 어떠한 영향을 받는, 지에 대한 시사점을 제공할 것이라 판단하였다.
지적하였다 이에 예비교사는 그림 . [ Ⅳ-3]과 같이 실세계 맥락 대신 개50 의 사탕이 든 상자에서 20개를 뽑는 단순한 상황을 제시하고 신뢰구간, 의 의미를 강조하기 위한 과제들로 수정하였다.
교과서 과제
예비교사 광(Kwang)이 수정한 과제
병원 직원들은 고객 서비스를 개선하기 위해 환자의 평균 대기 시간을 조사했 습니다. 100명의 환자를 무작위로 추출한 결과 평균 대기 시간이 분이고 표준50 편차가 20분이라는 것을 알게 되었습니다 이 병원 환자의 평균 대기 시간에 대. 한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하세요.
풀이
( ) 이므로 환자의 평균 대기 시간에 대한 신뢰도 의 신뢰구간은
95%
∴
신뢰구간을 구하는 방법을 사용하여 다음 활동을 차례대로 하며 신뢰구간의 성 질을 탐구하세요. ( , 단 이 활동에는 사탕 개가 들어있는 상자가 필요합니다50 .)
상자에서 사탕 개를 무작위로 꺼냅니다 이 표본을 사용하여 녹색 사탕의 개수
1. 20 .
의 비율에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하세요.
모둠원과 신뢰도 의 신뢰구간을 비교하세요 모든 모둠원이 동일한 신뢰구간
2. 95% .
을 구했나요 그렇지 않다면 이유를 설명하세요? .
상자 안의 녹색 사탕의 실제 비율은 입니다 신뢰구간에 이 비율이 포함
3. 30% .
되어 있나요?
반 친구들이 각자 구한 개의 신뢰구간이 있습니다 그들 중 몇 개가 녹색
4. 30 .
사탕의 실제 비율을 포함하나요 이 결과에 대해 어떻게 생각하는지 설명하세요? . 지금까지의 답변을 바탕으로 신뢰도 의 신뢰구간의 의미를 설명하세요
5. 95% .
그림
[ Ⅳ-3] 교과서 과제 위 와 신뢰구간의 의미를 강조하기 위해 수정( ) 한 과제 아래( ) (Lee et al., 2019, p. 978)
예비교사는 학생들이 표본비율에 따라 신뢰구간이 달라진다는 점을 인
식하도록 하고 과제 과 번( 1 2 ), 모비율의 신뢰구간에 실제로 모비율이 속 하지 않을 수도 있다는 점을 인식하도록 하며 과제 번( 3 ), 신뢰도 95%의 신뢰구간이 모비율을 95%의 확률로 포함한다는 의미가 아니라는 점을 이해하도록 하는 과제 과제 와 번 로 수정하는 것으로 확인되었다 연( 4 5 ) . 구자들은 예비교사가 교과서 과제보다 실세계 맥락을 약화시켰지만 모평 균의 신뢰구간의 본질에 초점을 두고 학생들이 개념적으로 이해할 수 , 있는 기회를 제공하고자 했다고 밝혔다.
김하림과 이경화(2016)에 참여한 예비교사는 접선과 미분계수의 개념 을 이해하는 것을 강조하며 그림 [ Ⅳ-4]와 같이 이차함수의 그래프 위의 한 점에서의 접선의 기울기를 구하는 과제를 수정하였다.
그림
[ Ⅳ-4] 교과서 과제 위 와 접선과 미분계수의 의미를 강조하기 위( ) 해 수정한 과제 아래( ) (김하림 이경화, , 2016, p. 723)
예비교사는 학생들이 접선과 미분계수의 관계뿐만 아니라 접선의 개념 을 명료화할 수 있도록 접선이 존재하는 전형적인 예와 비례 를 확인하는 과제로 수정하였다 과제 번 이후 학생들이
(non-example) ( 1 ).
스스로 접선이 존재하지 않는 함수의 예를 만들도록 하였다 과제 ( 2-(4) 번). 이는 학생들이 접선과 미분계수의 개념적 이해를 기초로 탐색할 기 회를 제공함으로써 관련된 개념을 명확히 하려는 의도로 설계되었다 이. 와 같이 교사는 수학적 개념이나 성질의 본질에 주목하여 수학적 개념의 이해 요소를 확인하고 수업에서 이를 구현하는 데 중점을 둔다.
1.2. 수학적 지식의 구조와 관계
하나의 수학적 개념은 다른 개념들과 밀접한 관련이 있으며 한 수학적 개념의 학습이 끝나는 지점에서 다른 개념이나 성질이 맞물리며 도입된 다 선행 연구자들은 수학 교과의 특성에 따라 학습자가 효과적이며 효. 율적으로 교과 내용을 학습하도록 연계성(articulation)과 계열성
을 고려할 필요가 있다고 강조하며 다음과 같이 설명하였다
(sequence) :
연계성은 다른 말로 접속 또는 이음으로 표현할 수 있는데 수직적 연계, 는 이전에 배운 내용과 앞으로 배울 내용의 관계에 초 (vertical articulation)
점을 둔 것으로 특정한 학습의 종결점이 다음 학습의 출발점과 잘 맞물리, 도록 교육내용을 조직하는 것을 말한다 김대현 김석우( , , 1999, p. 137).
이것은 예컨대 학기 학년 학교급별 간의 각 교과의 내용이 잘 접속 또는 , , 이음 연결되도록 조직되어야 한다는 것을 의미한다 또한 각 교과는 교과, . 의 특성과 체계에 맞게 계열성의 원칙에 따라 내용을 조직해야 하는데 이, 것은 예컨대 학년이 올라가면서 내용의 중복이 이루어지지 않으면서 학습 의 심화 확충이 이루어지도록 조직한다는 것을 의미한다 계열성의 원리에 · . 따른 내용조직 방식은 예컨대 다음과 같은 원리가 있는데 각 교과의 특성 을 고려하여 적합한 원리를 원용하여야 한다.
연대순 방법
①
주제별 방법
②
단순에서 복잡으로의 방법
③
전체에서 부분으로서의 방법
④
논리적 선행 요건 방법
⑤
추상성의 증가에 의한 방법
⑥
학생들의 발달에 의한 방법 임재훈 이대현 이양락 박순경 정영근( , , , , ,
⑦
2004, pp. 19-20).
이와 같이 연계성이란 특정 학습의 종결점이 다음 학습의 출발점과 잘 맞물리도록 교육내용을 조직하는 것이며 계열성이란 학년이 올라가면서 내용의 중복이 이루어지지 않으면서 학습의 심화 확장이 이루어진다는 · 것을 의미한다 교사는 같은 단원 내 단원 간 학년 간의 연계를 고려하. , , 며 교육과정 자료의 강점과 약점을 확인한다 구체적으로 교사들은 연. , 립일차방정식은 두 직선의 교점과 관련 있으며 일차함수와의 밀접한 관 계를 드러낼 필요가 있음을 강조하거나 피타고라스 정리 삼각비의 순서, 로 지도하고 원의 성질은 그 다음에 지도하는 것이 적절하다는 점을 강, 조한다(Ibid, p. 140).
교사는 하나의 수학적 개념을 지도하기 위해 그와 관련된 다른 개념들 이나 성질들에 주목하고 교육과정 자료에는 제시되어 있지 않지만 의도 적으로 각 개념 간의 연결성을 강조하는 과제를 추가하기도 한다 이경. 화 외(2017)의 연구에서 한 교사는 수업 설계와 실행의 과정에서 수학적 개념의 의미와 수학 공식이 도출된 과정이 잘 드러나도록 설명하여 학생 들이 수학적 개념을 잘 이해하도록 하는 것을 가장 중점적으로 고려하였 는데 교사의 발언을 살펴보면 다음과 같다:
순열과 조합 단원을 가르칠 때에는 수의 의미가 드러나도록 가르려고 한다 는 것이다 이에 따라 해당 개념을 배운 시점으로부터 . 2~3시간 동안에는 원 순열의 경우는 기준이 되는 것을 배치하면 나머지는 일렬로 배열하면 되‘ 므로’, 같은 것이 있는 순열의 경우 우선 서로 다르다고 놓고 일렬로 배‘ 열한 후에 같은 애들끼리 자리를 바꾸는 것이 문제가 되므로 와 같이 식, ’