자료 분석

V. 연구 방법

4. 자료 분석

과 실시간 쌍방향 수업이 함께 이루어졌다 삼각비 수업은 . 11차시에 걸 쳐 이루어졌으며 각 차시별 주요 내용과 형식을 정리하면 표 < Ⅴ-4>와 같다.

다 본 연구에서는 사전 사후 면담지와 심층 면담 전사를 포함한 면담 . , 자료 수업의 전사 자료 교과서 지도서 활동지 등을 비롯한 문서 자료, , , , 를 분석의 기초 자료로 활용하였다.

먼저 첫 번째 연구 문제인 교사의 교육과정 자료 사용을 분석하기 위, 해 매 차시마다 수업의 단계 예 삼각비 개념의 도입 삼각비 개념의 설, ( : , 명 삼각비의 값 구하기 연습 를 나누고 각 수업의 단계마다 교사가 교, ) , 육과정 자료 사용의 주요 요인 중 무엇의 영향을 받는지를 확인하였다.

김교사는 차시당 개 내외의 과제를 설계하였으며 앞서 정리한 교사 교10 육과정 자료 사용의 요인이 여러 개의 과제에 영향을 미치기도 하였다.

수집한 문서 자료와 수업 전사 자료를 기초로 면담 자료를 확인하여 교 사의 실천이 어떠한지 교사의 교육과정 자료 해석은 실천과 어떠한 관, 련이 있는지를 분석하였다 교사의 해석은 사전 사후 면담에서 확인되. , 기도 하고 교사가 사전 사후 면담에서 언급하지는 않았지만 연구자가 , , 수업 관찰 중 확인한 것도 있었다 이때에는 심층 면담을 통해 교사의 . 해석을 확인하였다 이렇게 분석된 김교사의 사례는 기존 연구자들의 관. 점을 따르지 않고 자연스러운 교육과정 자료 사용의 모습을 확인함으로, 써 기존의 관점에 새로운 아이디어를 제공하는 기반이 된다(Yin, 2009).

다음으로 두 번째 연구 문제인 교사의 교육과정 자료 사용에 관한 대, 안적 관점을 탐색하기 위해 김교사의 사례를 다시 점검하였다 이후 선. 행 연구자들이 제시한 개발적 사례 연구의 분석 절차(Stake, 2005; Yin,

를 기초로 김교사의 교육과정 자료 사용에서 전형적이거나 특징적 2009) ,

인 부분들을 추출하였다 이는 비록 특정 부분으로 추출된 장면이지만 . 김교사가 주로 어떤 교육과정 자료를 사용하는지 수학 학생 환경 요인, , , 의 영향으로 수업 설계 단계에서 교과서를 어떻게 재구성하며 수업은 어 떻게 실행하고 반성하는지와 같이 김교사의 교육과정 자료 사용 사례를 압축적으로 드러내는 장면이다 이러한 부분들을 반복적으로 점검하였으. 며 선행 연구자들의 관점에서 규정한 교육과정 자료 교사의 역할에 관, 한 개념 교사와 교육과정 자료 사이의 관계로 김교사의 사례를 설명할 , 수 있는지 그 가능성을 검증하였다 우정호 외( , 2006).

4.2. 분석 방법

본 연구에서는 교사의 교육과정 자료 사용 사례의 귀납적 분석을 위해 장에서 도출한 교육과정 자료 사용에 영향을 미치는 주요 요인을 분석

Ⅳ

틀로 적용한다 본 절에서는 삼각비의 지도 및 우리나라 수학교육 환경. 과 관련된 선행 연구를 검토하여 각 요인의 분석 방법에 대해 설명한다.

4.2.1. 수학 요인의 분석

수학 요인은 수학적 지식의 본질과 구조와 같은 수학적 측면의 영향으 로 교육과정 자료를 사용하는 것으로 수학적 개념의 이해 요소 수학적 , , 지식의 구조와 관계 수학적 용어나 설명의 불충분함에 영향을 받은 교, 육과정 자료 사용이 포함된다 김교사의 수학 요인을 분석하기 위해 삼. 각비의 지도와 관련된 선행 연구에서 논의한 주요 이슈를 파악한 결과, 삼각비 개념의 본질과 삼각함수와의 연계를 도출할 수 있었다 또한 본 . 연구가 진행된 2020년은 2015 개정 교과서가 처음 현장에 적용되는 해였 다 이에 . 2009 개정 교과서와 비교하여 삼각형의 넓이 공식의 정당화에 차이가 있다는 점을 확인하였다.

삼각비는 한 예각의 크기가 같은 직각삼각형이 모두 닮음이고 닮음인 , 직각삼각형에서 대응하는 변의 길이의 비가 일정하다는 사실로부터 정의 된다 삼각비를 이해하기 위해 먼저 닮음 개념과 두 닮음 도형에서 서로 . 대응하는 선분의 길이의 비인 닮음비를 이해해야 한다(Watson, 닮음비는 축척비 로 원주와 반지름 길이의 비와 같이 2008/2009). (scaling)

같은 단위로 크기나 양을 비교한다는 측면에서 내적비이지만 부분 전체- 의 관계는 아닌 개념적으로 관련된 두 양의 비이다(Ben-Chaim, Keret, &

만약 두 삼각형

Ilany, 2012). ABC와 A′B′C′이 그림 [ Ⅴ-1]과 같이 닮음 이라면, AB A′B′ BC B′C′ 즉, A′B′

AB

 B′C′

BC

 이며 BC

AB

 B′C′

A′B′

 l이

다 따라서 닮음비는 두 도형의 대응변의 길이가 같은 비율로 변한다는 . 공변성과 대응변의 길이의 비가 일정하다는 일정성을 내포하고 있다 비. 례 추론에서 이러한 공변성과 일정성을 인식하는 것은 매우 중요하다 김( 유경 방정숙, , 2014; Shield & Dole, 2013).

그림

[ Ⅴ-1] 서로 닮음인 삼각형

현행 수학과 교육과정에서는 중학교에서 기하 영역의 삼각비를 고등, 학교에서 해석 영역의 삼각함수를 다루고 있다 삼각비가 닮음인 직각삼. 각형에서의 닮음비로 정의되지만 삼각함수는 단위원의 호를 이용하여 각 을 일반각으로 확장하고 사인함수 코사인함수 탄젠트함수가 정의된다, , . 김부윤과 정영우(2010)에 의하면 삼각함수의 함숫값을 계산할 때 삼각비, 를 활용하기 때문에 두 개념이 동일한 뿌리를 가진 것으로 여기지만 삼, 각비는 기하의 관점에서 다루어지며 삼각함수는 함수의 관점에서 다루어 지기 때문에 두 개념은 본질적으로 다르다(p. 487).

우리나라의 중학교 수학에서는 닮음인 직각삼각형을 이용하여 삼각비 를 정의하고,   (이하 특수각 이라고 칭함 의 삼각비를 소‘ ’ ) 개한다 이후 . 에서 까지의 삼각비를 다룬다 직각삼각형을 기초로 . 삼각비를 정의하지만 나 에서의 삼각비를 다룰 때에는 직각삼각 형이 존재하지 않는다는 문제가 생긴다 이에 교과서에서는 원점이 중심. 이고 반지름의 길이가 인 사분원을 이용하여 삼각비를 선분의 길이로 1 나타낸다 이후 직각삼각형의 한 예각의 크기가 . , 와 에 가까워짐 에 따라 선분의 길이가 어떻게 변화하는지 살펴보면서 임의의 예각에서, 의 삼각비를 이해하도록 한다. 와 의 삼각비를 정의하는 것은 함 수의 관점에서 삼각비를 지도하는 것이며 이를 이해하기 위해서는 각을

회전량이자 독립변수로 인식하고 함수 극한 연속 등의 개념이 필요하, , , 다 김부윤 정영우( , , 2010; Watson, 2008/2009). 이와 같이 우리나라의 중 학교 수학에서 삼각비는 기하의 관점으로 정의하지만 함수의 관점이 혼 재되어 있고 이는 삼각비의 지도에 어려움을 일으키는 요인으로 지적되, 어 왔다 강미광( , 2011).

현행 중학교 교육과정에서는 삼각비의 뜻과 값을 학습한 후 이를 활용 하여 직접 측정할 수 없는 거리나 높이 등을 구해 수학의 유용성을 강조 한다 이에 교과서에서는 삼각비의 활용 단원을 배치하여 거리나 높이를 . 구하고 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이를 삼각비, 를 이용해 구할 수 있다는 점을 소개한다 특히 중학교에서는 예각의 삼. 각비만 다루므로 삼각형의 넓이 공식을 증명할 때 끼인각이 둔각인 경우 에는 끼인각의 외각을 이용하여 증명하고 끼인각이 직각인 경우에도 넓, 이 공식이 성립한다는 점을 보여 완결성을 보인다 그러나 김교사가 사. 용하는 교과서와 지도서에서는 끼인각이 예각인 경우와 둔각인 경우만 삼각형의 넓이 공식을 정당화하고 직각인 경우에도 공식이 성립한다는 , 내용은 빠져 넓이 공식을 완전하게 정당화하지 못한다는 점이 확인되었 다.

4.2.2. 학생 요인의 분석

학생 요인은 교사가 학생의 이해와 특성의 영향으로 교육과정 자료를 사용하는 것으로 학생의 이해 정도 학생의 흥미 학생이 보이는 오류나 , , , 오개념에 영향을 받은 교육과정 자료 사용이 포함된다. Ⅳ장에서 언급한 바와 같이 교사가 학생의 흥미를 유발하고 수학 학습 동기를 함양시키, 기 위해 실생활 내용으로 과제의 맥락을 바꾸거나 조작 활동이나 체험 활동의 기회가 충분한지를 고려하는 것으로 알려져 있다 예를 들어 이( , 지윤 외, 2016; Choppin, 2011). 본 절에서는 학생이 삼각비를 학습하며 무엇을 어려워하는지 어떠한 오류나 오개념을 보이는지 살펴본다, .

김교사의 학생 요인을 분석하기 위해 삼각비의 지도와 관련된 선행 연

구에서 논의한 주요 이슈를 파악한 결과 용어 사용에서의 혼동 삼각비 , , 혼동 비례 추론의 어려움 함수의 관점에서 삼각비 이해의 어려움을 도, , 출할 수 있었다 학생들은 사인 코사인 탄젠트와 같은 삼각비의 용어 . , , 사용에 어려움을 겪고 직각삼각형의 두 변의 길이의 비를 혼동한다는 , 점이 알려져 있다 유재근( , 2014). 또한 연구자들은 삼각비를 지도하는 교 사가 절차적인 측면에 치중하여 학생들이 개념적으로 이해하지 못하고 암기하거나 계산 연습을 위한 적용에만 치중한다는 점을 지적해왔다 예( 를 들어, Watson, 2008).

삼각비를 지도하기 위해서는 주어진 각에 대한 삼각비를 암기하고 계, 산에 적용하는 절차적인 방법보다는 삼각비 개념의 본질인 닮음에 주목 할 필요가 있다 유재근( , 2014; Steer, de Vila, & Eaton, 2009; Watson,

특히 우리나라 교육과정에서는 기하적 맥락에서 축척비를 추론하 2009).

는 기회가 제한된다는 점에 비추어볼 때 정영옥 정유경( , , 2016) 닮음비와 연계된 삼각비를 학습하는 중학생들의 어려움이 예상된다 이에 연구자. 들은 닮음을 형식적이며 대수적 추론 위주로 지도하는 것을 보완하기 위 해 학생들에게 기하적 맥락에서 비례 추론의 경험을 제공할 필요성을 제 기하였다 정영옥( , 2015; Ben-Chaim et al., 2012).

앞서 언급한 바와 같이 와 의 삼각비를 정의하는 것은 함수의 관점에서 삼각비를 지도하는 것이며 이를 이해하기 위해서는 극한 연속 , 등 중학교 수학의 범위를 넘어서는 개념이 필요하다 이와 같이 중학교 . 수학에서 지도하는 삼각비에 기하의 관점과 함수의 관점이 혼재되어 있 다 학생들은 직각삼각형을 이용해 정의된 삼각비가 예각에서만 정의 가. 능하므로 와 의 삼각비를 이해하는데 어려움을 겪는 것으로 알려 져 있다 강미광( , 2011).

4.2.3. 환경 요인의 분석

환경 요인은 교사의 교육 경험과 교육과정 자료의 활용 가능성 사회, 문화적 맥락의 영향으로 교육과정 자료를 사용하는 것이다 본 절에서는 .