PANGKAT & AKAR (INDICES & SURDS)

(1)

PANGKAT & AKAR

(INDICES & SURDS)

A. PANGKAT (EKSPONEN)

Kasus 1:

Perhatikan bahwa 2 x 2 x 2 = 8

Terlihat bahwa ada tiga buah angka “2” yang dikalikan. dan jika ada angka 2 sebanyak ‘n’ buah, maka:

         n sebanyak n ₂ ₂ ₂ _._._._._._. ₂ 2     

Secara umum, disimpulkan:

         n sebanyak n a × . . . . . . × a × a × a = a

dengan a = bilangan pokok (basis), tidak boleh angka NOL n = bilangan pangkat (eksponen)

Ini adalah rumus pertama dan utama dalam topik ini!

Kasus 2:

Hitunglah 23 x 24 = ?

Ingat kembali ke rumus di atas:

23 = 2 x 2 x 2 dan 24 = 2 x 2 x 2 x 2

Jika mereka dikalikan:

7 ada7buah 4 3 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 × 2 ___________

Secara umum disimpulkan: n m n m _a _a a    Contoh: 35 x 32 = 35+2

= 37 60,5 x 6 = 60,5+1

= 61,5 Kasus 3: Hitunglah 38_{: 3}5_{= ?}

Ingat kembali rumus pertama:

2 5 3 2 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 _        

Secara umum disimpulkan:

n m n m a a a _  _{dengan a  0} Contoh: 712: 73 = 712-3= 79 25 : 23,5

= 28-3,5

= 21,5 Kasus 4: Hitunglah ( 53)2 = ?

6 2

3₎ ₍₅ ₅ ₅₎₍₅ ₅ ₅₎ ₅ 5

(      

Secara umum disimpulkan: n m n m₎ _a a (  Contoh: (23)4 = 23x4 = 212 3 3 3 3 ) 3 ( 3 27 5 6 5 2 3 5 2    Kasus 5: Hitunglah 64_{x 0,5}4_{= ?}

64 x 0,54 = 6 x 6 x 6 x 6 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 6 x 0,5 x 6 x 0,5 x 6 x 0,5 x 6 x 0,5 = 3 x 3 x 3 x 3 = 34_{= (6 x 0,5)}4

Secara umum disimpulkan:





n n

n _b _a_b

(2)

Perhatikan:

jika basisnya berbeda (misalnya a dan b), maka pangkatnya harus sama (misalnya n) !!

Kasus 6: Hitunglah ? 2 12 3 3 

3 3 3 2 12 6 6 6 2 2 2 12 12 12 2 12               

Secara umum disimpulkan: n n n b a b a       

dengan b  0 dan pangkat harus sama!

Mengapa ‘b’ tidak boleh sama dengan NOL ? Perhatikan ilustrasi berikut ini:

2 1 2  ; 200 0,01 2  ; 20.000 0,0001 2  20.000.000 0,0000001 2  ; 20.000.000 0,0000001 2   

Jika bilangan penyebut diperkecil terus, mendekati angka NOL (dikatakan hampir NOL tapi bukan NOL), maka hasil pembagian itu menjadi sangat besar sampai menjadi tak terhingga.

Jadi, bisa dikatakan:  



nol bilangan

(tak hingga) Oleh karena itulah: b  0

(lebih lanjut, akan dibahas di level universitas)

Kasus 7:

Tadi sudah dirumuskan bahwa m n n m a a a _  Bagaimana jika m = n ??

Tentunya rumus itu menjadi: a a0 a a n n n n   

Dan kita tahu bahwa: 1

a a a a n n   Jadi: a0 1 dengan a  0 Kasus 8: Bagaimana jika : ? a a n 0 

Kita tahu bahwa:

n n 0 n 0 a a a a _  _  _{dan juga} n n 0 a 1 a a  Jadi: n n a 1 a  dengan a  0

Resume 7 rumus pangkat:

1.          n sebanyak n a × . . . . . . × a × a × a = a 2. aman amn 3. m n n m a a a _  _{a  0} 4. (am)n amn 5. anbn



ab



n 6. n n n b a b a        b 0 7. n n a 1 a  a  0 ingat bahwa a0  1 dengan a  0

(3)

Contoh-contoh soal 1. Hitunglah _? 2 1 2 1 5 3              » ingat:          n sebanyak n a × . . . . . . × a × a × a = a 4 4 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 5 3                        2. Sederhanakan 1 3 2 2 2 b a b a                

» Menurut rumus 4 di atas, maka:

b b a b a b a b a b a b a 3 2 4 2 1 3 1 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2                               

dapatkah kamu menemukan cara yang lain?

3. Hitunglah 25:



5 3



1 ?   »

 

5 1 125 25 5 25 5 25 5 : 25 3 1 3 1 3 _ _ _ _      4. Hitunglah 64 162 ? 1 3 2   

» agar bisa dihitung, maka basis atau pangkat dari

keduanya harus sama!

Tampak bahwa ‘pangkat’ dari keduanya tidak sama, maka ‘basis’-nya harus kita bikin sama. Caranya? Temukan suatu bilangan yang jika dipangkatkan 3 akan menghasilkan 16 dan jika dipangkatkan 2 akan menghasilkan 16.

4 1 4 4 4 4 4 4 4 4 16 64 2 1 1 2 2 2 3 6 2 1 2 3 2 3 2 1 3 2                          5. Hitunglah 25 : 16 4 ? 1 2 3  

» pangkat keduanya tidak sama; maka agar bisa

dihitung, ‘basis’-nya kita bikin sama. Caranya? Temukan bilangan, yang jika dipangkatkan 2 akan menghasilkan 25 dan jika dipangkatkan 4 akan menghasilkan 64. ? 4 5 4 5 4 5 16 : 25 2 1 3 4 2 2 6 4 1 2 2 3 2 4 1 2 3                     ingat: n n a 1 a  atau n n a 1 a   maka: 250 2 125 2 125 4 5 4 5 2 1 1 2 2 1 3 2 1 3                6. Hitunglah 8 325 ? 4 3 1    » ? 4 2 1 2 5 20 2 3 3 2 5 4 5 2 3 1 3 2 32 8 5 4 3 1                         ingat: aman amn maka: 8 3 2 4 1 2 4 2 1 2       7. Hitunglah ? 2 3 x 3 2 5 6              » ingat:          n sebanyak n a × . . . . . . × a × a × a = a 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 x 3 2 5 6                         8. Sederhanakan 52a  9a

» tampak bahwa kedua ‘basis’ berbeda (5 dan 9)

dan tidak ada hubungan; maka cara lain ialah dengan menyamakan ‘pangkat’-nya.

ingat: _an__bn_



_a_b



n_{(‘pangkat’ harus sama)} a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a a 2 ₉ ₅ ₃ ₅ ₃ ₁₅ 5            

(4)

9. Hitunglah ? 8 1 27 3 1 1 3 2         

» ubah bentuk ‘pecahan’, ubah ke bentuk eksponen

? 8 27 1 8 3 2 27 8 1 27 3 4 3 2 3 4 3 1 1 3 2                     

karena -basis’-nya berbeda dan juga karena tanda operasinya ‘plus’, maka 2/3 dan 4/3 tidak boleh digabung, tetapi haruslah:

25 16 9 2 3 2 3 8 27 3 2 4 4 3 3 2 3 3 4 3 2                     10. Sederhanakan 1 n n m n n m b a b a    » ingat: aman amn dan n n a 1 a  b a b a a b a a b b a a b a a b a b a n 2 1 n n 1 n n 1 n n m n n m 1 n n m n n m              11. Sederhanakan 2 n 2 1 n 2 2 n 2 1 n 2       » 2 2 n 2 1 2 n 2 2 2 n 2 2 n 2 2 n 2 1 n 2 2 n 2 1 n 2               

tampak bahwa ‘ 2n’ muncul di setiap term/suku, maka ‘ 2n’ bisa difaktorkan dan dicoret, menjadi:

2 1 7 2 4 7 2 7 4 7 4 2 1 4 1 2 2 2 1 2 n 2 2 2 2 n 2                  _       _   12. Sederhanakan _a2 _b2 1_



_a__b



1       _ » ingat: n n a 1 a  maka:





) b a )( b a ( ) b a ( ) b a )( b a ( 1 b a 1 b a 1 b a b a 2 2 1 1 2 2                    _   ) b a )( b a ( b a 1      13. Sederhanakan 2 2 2 1 b a 1 b a b      » ingat rumus: n n a 1 a  maka: a b 1 ) a b )( a b ( a b a b a b a b b b a b b a b b a b b a b b b a b b b a 1 b a b 1 b a 1 b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1                            14. Sederhanakan 2 a a a 2 2 2 a 2 . 2 2 . 4 2   _       » ingat: _am _an _amn   dan (am)n  amn 2 a 2 a 2 4 a 2 2 a a a 2 2 2 a 2 2 . 4 2 2 . 2 2 . 4 2             

tampak bahwa ‘ 22a’ muncul di setiap suku, maka ‘ 22a’ bisa difaktorkan dan dicoret, menjadi:

3 2 4 16 2 . 2 ) 4 2 ( 2 2 2 a 2 4 a 2      15. Sederhanakan





2 2 1 2 3 a . a 1 a a a a           _ _   » ingat: n n a 1 a  maka:





a 1 a a 1 a a a a 1 a a a 1 a a a a a a a 1 a 1 . a 1 a 2 a a 1 a 1 a 1 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 3 2 2 1 2 3                    _ _ _          _ _       2 2 1 2 3 a . a 1 a a a a

(5)

16. Hitunglah 16 0,5 2 ? 1 8 1   

» agar bisa dihitung, maka ‘basis’-nya harus sama

0 2 2 2 2 2 1 16 2 1 8 4 2 1 1 8 1 4 2 1 8 1                           

LATIHAN SOAL BENTUK PANGKAT

Hitunglah/sederhanakan soal-soal berikut ini:

1. 3 2 1 125 2. 2 1 2 9 3.





6 a 2 a : 3 a   4.







₄



4 b a 2 8 b 9 a    5. 3 c 4 b a 3 2 c b 2 a          _6.                  b a b 4 a b a 2 b a 3 7. 3 2 8 27       _8. 4 1 81 16        9. 3 0 1 3 8   10. 4 5 3 2 16 8  11. 2 3 4 2 1          _12. 4 3 2 3 2 3 4 3 2 a . b b . a              _ 13. 3 2 3 2 3 b a : b a                 14.





2 1 2 a 4 1 : 1 3 a 8          15. 2 1 8 1 5 , 0 16   16. 4



0,25



2,5 3 1 16   17. 2 a 3 1 a 3 2 a 3 1 a 3       18. 2 2 2 1 b a 1 b a b      19. 3 b 3 a 6 b 6 a       20. 4 4 1 4 1 25 36           

B. BENTUK AKAR (SURDS)

Topik bentuk akar dan eksponen saling berhubungan. Bentuk akar adalah salah satu bentuk lain dari penulisan eksponen, biasanya terjadi jika pangkat (power)-nya berbentuk pecahan.

Rumus-rumus bentuk akar:

1. a  b  ab 2. b a b a  3. n n 1 a a  4. n n m m a a  Contoh-contoh soal

1. Ubahlah menjadi bentuk akar atau bentuk pangkat:

a. 5 2 6 b. 3 1 9 c. 3 4 64 d. a3 e. 4 83 f. 5 128 » a. 5 5 2 5 2 36 6 6   b. 3 3 1 9 9  c. 64 4 3 44 256 4 3 3 4          d. 2 3 3 a a  e. 4 9 4 3 3 4 3 4 ₈3 ₈ ₂ _ ₂         f. 5 7 5 1 7 5 1 5 ₁₂₈ ₁₂₈ ₂ _ ₂         2. Hitunglah: a. 2  18 b. 50 8 18 c. 48 5 12 d. ₄ ₂ _ ₈ _ ₅₀ » a. 2 18  218  36  6 b. 2 4 2 3 2 2 2 5 2 9 2 4 2 25 18 8 50             c. 3 6 3 2 . 5 3 4 3 4 5 3 16 12 5 48          d. 2 7 2 5 2 2 2 4 50 8 2 4      

(6)

MENARIK AKAR

Apa yang dimaksud dengan “menarik akar” ? Perhatikan penjelasan berikut ini:

b a ) b a ( ab 2 b a ab 2 b a ) b a ( b ab ab a ) b a )( b a ( 2 2 2 2 2 2 2 2                

dan begitu pula jika:





b a ab 2 b a b a ab 2 b a ab 2 b a b a 2            

Nah, dua pernyataan yang terakhir itulah yang disebut dengan istilah “menarik akar”.

Contoh:

Sederhanakan bentuk berikut ini:

a. 8  2 15 b. 13  2 40

Jawab:

a. 8  2 15  ?

ubah ke a  b  2 ab  a  b

cari dua buah bilangan (a dan b) yang jika: dijumlahkan  hasilnya 8

dikalikan  hasilnya 15

diperoleh: dua bilangan itu adalah 5 dan 3 maka: 3 5 3 5 2 3 5 15 2 8        b. 13  2 40  ?

sama seperti tadi, cari dua bilangan, yang jika dijumlahkan = 13 dan jika dikalikan = 40 diperoleh: 8 dan 5 5 2 2 5 8 5 8 2 5 8 40 2 13         

Hati-hati, jangan terbalik!!

karena 13  2 40  5  8

Mengapa? karena akan menghasilkan negatif!

Contoh lain:

Sederhanakan bentuk berikut ini:

a. 7  24 b. 12+6 3 c. 9 3 5

Jawab:

a. 7  24  ?

karena harus ada angka dua di depan 24

maka 24 harus diubah menjadi 2 6

sehingga bentuknya menjadi:

1 6 1 6 1 6 2 1 6 6 2 7 24 7            b. 12+6 3 = ?

di depan 3 haruslah angka 2, bukannya 6

maka 6 3 harus diubah menjadi 2 . 3 3

3 3 . 2 + 12 = 3 6 + 12

karena masih ada angka 3, masukkan ke dlm akar ( ingat: 3 = 9 ) 3 + 3 = 3 + 9 = 3 . 9 2 + 3 + 9 = bilangan 2 cari 27 2 + 12 = 3 . 9 2 + 12 = 3 3 . 2 + 12 = 3 6 + 12 c. 6 3 3 misalkan 6  3 3  a  b lalu kuadratkan: ab 2 b a 3 3 6    

dari kesesuaian ruas kiri dan kanan, tampak bahwa: 27 ab 4 atau 3 3 ab 2 dan a 6 b atau 6 b a      

(7)

diperoleh: 4a



6a



 27

24a – 4a2 = 27  4a2 – 24a + 27 = 0

dengan rumus “a b c’ : (2a – 9)(2a – 3) = 0

2a – 9 = 0 atau 2a – 3 = 0 a1 = 9/2 atau a2 = 3/2

(salah satu dari a, menjadi nilai b) sehingga: ! ! selesai 6 2 1 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 9 2 3 2 9 b a 3 3 6           

LATIHAN SOAL BENTUK AKAR

Sederhanakanlah bentuk akar berikut ini:

1. 9 4 5 2. 5 a 9 2 3. 3 a 4 6 _4. 8 a 48 2 5. 12 a 2 6. 8 3+5 12 7. _{9 }₂ ₁₄ _8. ₁₀₊₂ ₂₁ 9. _{14 }₄ ₆ 10. 19+8 3 11. ₁₅₊₅ ₈ 12. 28+5 12 13. 15+3 24 14. ₁₄₊₃ ₂₀ 15. 28+6 3 16. 18+8 5 17. 51+7 8 18. 18+ 320 19. 9+3 8 20. 5+5 45 - 20 5 21. 11+ 81+8 5 22. 15+5 13+4 3 23. ₂_. ₁₄ ₈ ₃ 2 1 - 24. ₆ 3 2 3 7 -25. ₂₁ 25 1 + 5 1 _26. 5 5 2 + 10 9 27. 29+3 34 28. 9+3 5 MERASIONALKAN PENYEBUT

Dalam merasionalkan penyebut, ada baiknya kita ingat soal sederhana berikut ini:

Sederhanakan/rasionalkanlah: a. 3 2 3 8  b. 5 2 3 8  c. a 3 2 3 8  Jawab: a. 3 10 3 2 8 3 2 3 8     b.

 

15 46 15 6 40 3 5 3 2 5 3 5 8 5 2 3 8       c.

 

3a 2 a 8 a 3 2 a 3 a 8 a 3 2 3 8     

Setelah Anda ingat kembali prinsip tersebut, barulah Anda bisa merasionalkan bentuk pangkat dan akar.

Secara umum, suatu bentuk aljabar pecahan ) x ( g ) x ( f dikatakan “sederhana” jika:

 Pangkat dari f(x) maupun g(x) adalah positif  Pada g(x) tidak ada bentuk akar

 Dalam tanda akar tidak ada bentuk pecahan  Dalam tanda akar tidak ada akar yang lain  Bentuk aljabar adalah bentuk paling sederhana

Contoh:

Sederhanakan/rasionalkanlah bentuk berikut ini: a. 2 6 b. 3 2 c. 7 12 Jawab: a. _? 2 6  kalikan dengan 2 2_menjadi: 2 3 2 2 6 2 2 2 6 2 6     b. ? 3 2  kalikan dengan 3 3_menjadi: 6 3 1 9 6 3 3 3 2 3 2     c. 7 12  ?

cari bilangan kuadrat dlm tanda akar!! diperoleh: 12 = 4 x 3 3 14 3 2 . 7 3 4 7 12 7    

(8)

* Merasionalkan Penyebut Dua Suku

Untuk penyebut yang mempunyai dua suku, cara merasionalkannya dilakukan dengan mengalikan dengan “sekawan”nya. Apa yang dimaksud dengan “sekawan”?

Perhatikan penjelasan berikut ini:

Jika (a + b) dikalikan dengan (a – b) maka:

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2

Nah, (a – b) itu disebut dengan sekawan dari (a + b) dan juga sebaliknya.

Rumus :



a



b

 

a



b





a

2



b

2

dan :

(

a + b

)

2 = a2 + b2 + 2ab

Jadi, penyebut yang mempunyai dua suku dapat disederhanakan dengan mengalikan dengan sekawan dari penyebut itu sendiri.

Contoh:

Sederhanakan bentuk akar berikut ini:

a. 3 2 6  b. 2 3 14  c. 5 3 5 3   Jawab: a. _? 3 2 6  

sekawan dari 2  3 adalah 2  3 maka:















2 3



6 3 4 3 2 6 3 2 3 2 6 3 2 3 2 3 2 6 3 2 6 2 2               b. _? 2 3 14  













₂

_

₃ ₂

_

2 9 2 3 14 2 3 2 3 14 2 3 2 3 2 3 14 2 3 14 2 2               c. _? 5 3 5 3   









2 5 7 2 . 2 5 3 7 2 4 5 6 14 4 5 5 6 9 5 9 5 5 . 3 . 2 3 5 3 5 3 5 3 5 3 2 2                  

* Bagaimana jika penyebutnya tiga suku?

Simaklah contoh berikut ini:

Sederhanakan bentuk 3 7 2 12   Jawab:

Untuk penyebut yang terdiri dari tiga suku (atau lebih), maka langkah pertama adalah mengubahnya menjadi dua suku (rumus yang kita punya hanya untuk dua suku)

Perhatikan teknik mengubahnya:

dari soal awal:

3 7 2 12  

a. urutkan suku-sukunya, taruh yang terbesar di kanan.

menjadi: 7 3 2 12  

b. anggap dua suku pertama menjadi ‘sebuah suku’

menjadi:



2 3



7

12  

(9)

c. lalu kalikan dengan sekawannya:





























3 4 7 3 2 12 7 3 3 4 4 7 3 2 12 7 3 3 . 2 . 2 2 7 3 2 12 7 3 2 7 3 2 7 3 2 12 2 2 2                      

d. lalu kalikan dengan 3 3 ( bukan 3 4 3 4 ₎









21 3 2 3 3 . 4 21 3 3 2 12 3 3 3 4 7 3 2 12          

jika tidak percaya, kalian boleh cek hasilnya dengan menggunakan kalkulator.

LATIHAN SOAL MERASIONALKAN PENYEBUT Sederhanakanlah bentuk akar berikut ini:

1. 3 5 4  2. 5 7 2  3. 7 5 3 2  4. 3 2 2 3   5. 10 3 10 3   6. 2 2 5 3 5           7. 2 5 3 5 2           8. 4 13 1 3 13 1    9. 5 3 2 5 1 2    10. ₄ ₇ 7 3 7 4 7 3      11. 8 32 27 75   _12. 125 45 20 180   13. 12 27 48 108   _14. 2 6 5 2 3 7 4   15. 5 3 5 2 5 3 5 2      16.

1

3

1 



17. 5 3 2 4   18. 7 5 2 10   19. 2 2 8 2 8    20. 9 8 7 12 6    PERSAMAAN PANGKAT

Kunci: untuk semua soal persamaan pangkat dan akar, bilangan basis atau pangkat di ruas kiri dan kanan haruslah sama!!

Jika basis sudah sama, maka pangkat di ruas kiri tentunya sama dengan pangkat di ruas kanan.

Juga sebaliknya, jika pangkat sudah sama, maka basis di ruas kiri tentunya sama dengan basis di ruas kanan.

1. Jika 6a1  216 maka a = ?

» basis ruas kiri harus sama dengan basis ruas

kanan

216

6a1   6a1  63

a – 1 = 3  a = 4

2. Jika 4a32a  6 maka a = ?

» bilangan ‘basis’ (4 dan 3) tidak bisa digabung,

maka ‘pangkat’ harus kita samakan.

6 3 4a 2a   22a 32a  6      6 3 22a 2a ingat: anbn



ab



n 6 3 22a 2a 



23



2a 61 2a = 1  a = ½

(10)

3. Jika 72a6 1  0 maka a = ? » ingat: a0  1 maka: 0 1 72a6   72a6 1  70 2a + 6 = 0 a = –3 4. Jika 81 1 33a7  maka a = ? » 4 4 7 a 3 ₃ 3 1 81 1 3      3a – 7 = –4  3a = 7 – 4  a = 1 5. Jika 9 9 3 1 a a 3   maka a = ?

» tampak ruas kiri: pecahan, kanan: bukan, maka

ruas kiri harus diubah menjadi bentuk pangkat, menjadi: 9 3 3 1 a 2 a 3          9 3 3 2 a 2 a 3   9 3 33a (2a2)   33a32a2  9 2 2 a 2 a 3 3 3     3a2  32 a + 2 = 2  a = 0

» Cara lainnya, yaitu dengan ‘kali silang’

9 9 3 1 a a 3    1 a a 3 ₉ ₉ 3    2 a 2 2 1 a 2 2 a 3 3 3 3 3 3             a 2 2 a 2 2 a 3 3 3 3      3a = 2a  a = 0 6. Jika 2a2  82a3 maka a = ?

» ‘basis’ di kedua ruas harus disamakan.

3 a 2 2 a 8 2    2a2 232a3       9 a 6 ) 3 a 2 ( 3 2 a 2 2 2     a2 = 6a – 9  a2 – 6a + 9 = 0 (a – 3) (a – 3) = 0  a = 3 7. Jika 7a2  4962a maka a = ? » 7a2 496 2a 72 6 2a 7124a            a2 = 12 – 4a  a2 + 4a – 12 = 0 (a – 2) (a + 6) = 0  a = 2 atau a = –6 8. Jika 32a1 31.32a 2 maka a = ? » ingat amn aman maka: 2 32 . 31 32 . 32a 1 a 

tampak bahwa ada 2 buah term ‘32a’ dan itu bisa kita misalkan: 32a = p dan persamaan menjadi:

32p – 31p = 2  p = 2 = 32a 32a = 2  (25)a = 21 5a = 1  a = 1/5

9. Jika 64 11.34  3a maka a = ?

» ada 2 cara mencari nilai ‘a’, yaitu:

a 4 4 ₁₁_.₃ ₃ 6    1.296 + 891 = 3a 1.296 + 891 = 3a  2.187 = 3a  a = 7 » cara lain: 64  11.34  3a a 4 4 4_. ₃ ₁₁_.₃ ₃ 2   [ faktorkan 34 ] a 4 4 ₂ ₁₁ ₃ 3        _ _{ 3}4_{. 27 = 3}a 34 . 33 = 3a



34 + 3 = 3a  a = 7 10. Jika 7a12.7a1357 maka a = ? » ingat: _am _an _amn   dan n n a 1 a  357 7 . 2 7a1 a1  7a.71 2.7a.71357 357 7 1 . 7 . 2 7 . 7 a a  [ misalkan 7a = p ] 357 p 7 2 p 7    p 357 7 51   p = 49 p = 7a = 49  a = 2

(11)

11. Jika 22a12.2a32  0 maka a = ?

» dalam soal seperti ini, kita harus jeli menemukan

kesamaan antar term/suku: terlihat bahwa 22a dapat diubah menjadi 2a, sehingga:

0 32 a 2 . 12 a 2 2     (2a)212.2a32  0 lalu misalkan 2a = p p2 – 12p + 32 = 0  (p – 4) (p – 8) = 0 didapat: p = 4 atau p = 8 12. Jika 82a13.8a 26 maka a = ?

» cari kesamaan antar term

82a. 8 – 3 . 8a = 26 8 . (8a

)

2 – 3 . 8a = 26 [ misalkan 8a = p ] 8p2 – 3p – 26 = 0 (8p + 13) (p – 2) = 0 p = –13/8 v p = 2 (tak dipakai) 8a = 2  23a = 21  a = 1/3 13. Jika 8 1 2 4a2  a  maka a = ?

» hindari pecahan, kalikan semua dgn 8, menjadi:

8 . 4a + 2 = 8 . 2a + 1 cari kesamaan antar term 8 . 4a . 42 = 8 . 2a + 1  8 . 16 . (2a)2 = 8 . 2a + 1 [ misalkan 2a = p ] 128p2 – 8p – 1 = 0 (16p + 1) (8p – 1) = 0 p = –1/16 v p = 1/8 (tak dipakai) 2a = 1/8  a = –3 14. Jika 23a 22a  33 maka a = ? » 23 . 2a + 22 . 2–a = 33 33 2 1 . 4 2 . 8 a a _ _ _{[ misalkan 2}a_{= p ]} 33 p 4 p 8   [ kalikan dengan p ] 8p2 + 4 = 33p  8p2 – 33p + 4 = 0 (8p – 1) (p – 4) = 0 p = 1/8 v p = 4 2a_{= 1/8 2}a_{= 4} a = –3 v a = 2 15. Jika a 2.a 3 1 1 3 1    maka a = ? » ingat: n n a 1 a  1 a . 2 a 3 1 3 1     1 a 1 . 2 a 3 1 3 1   [ misalkan a3 p 1  ] 1 p 2 p   [ kalikan dengan p ] p 2 p2   p2p  2  0 (p + 1) (p – 2) = 0 p = –1 v p = 2 (tak dipakai) a3 2 1   a 21 8 3  

PERSAMAAN BENTUK AKAR

Ini adalah materi terakhir dari bab Pangkat dan Akar. Prinsip penyelesaian persamaan bentuk akar sama dengan persamaan eksponen. Basis di kedua ruas harus sama atau pangkat di kedua ruas harus sama.

Contoh:

Tentukan nilai a jika:

1. 2a  8 2 2 2. 3 5 3 a 2   Jawab: 1. 2a  8 2 2 a = ?

Ruas kiri: basisnya 2

(12)

 

4 3 3 2 2 . 2 2 8 2 2 8 2 2 8 2 2 8 2 4 3 3 2 1 2 3 2 3 2 1 1 a a               maka diperoleh a = 3 ¾ 2. ₃ 5 3 a 2   _{a = ?} Jawab:

Untuk menghilangkan bentuk akar: kuadratkan!!

9 5 3 a 2   _ _{2a – 3 = 45} 2a = 48  a = 24 3. 3

_

5a

_

2  4 a = ? Jawab: 1. 3

_

5a

_

2  4 a = ?

Kita tidak bisa mengkuadratkan kedua ruas, karena ruas kiri merupakan bentuk akar pangkat tiga.

Ubah menjadi bentuk eksponen:



5 a



3

4

2



pangkatkan dengan 3/2





2 3 2 3 3 2

4 a

5 _



















 

2 3 2 6 6

2 a

5 



5 a



2

3  a = 8/5

dengan cara cepat:

b c c b

d

a

maka

d

a

jika



2. a  5 a3 a = ?

Kita tidak bisa langsung mengkuadratkan kedua ruas, karena akan menghasilkan bentuk yang lebih rumit.

maka ubah dulu bentuknya menjadi:

3 a 5

a    barulah kita kuadratkan





2





2 3 a 5 a    a2 – 10a + 25 = a – 3 a2 – 11a + 28 = 0  (a – 7)(a – 4) = 0

diperoleh, hanya a = 7 yang memenuhi persamaan sedangkan a = 4 tidak bisa dipakai; mengapa?

Coba cek masukkan a = 4 ke persamaan awal.

3 a 5

a     4  5  43

LATIHAN SOAL PERSAMAAN PANGKAT

Tentukan nilai a dari persamaan berikut ini:

1. 64 1 a 2  2. 2 1 a 0,5 8  3. 8 1 a 0,5 2  4. 729 1 a 2 3  5. 7a1 1  0 _6. 243 1 33a2  7. 35  a.35  37 8. 67  37  a.37 9. 3a 2.3a  81 10. 4.32a 32a  243 11. 125 1 25 . 53a a1 12. 25 625 . 5 125 4 3 2 1 a   13. 256 10 1 2a 2 5   14. 81a  80.81a1 9 15. 22a2a20  0 16. 32a210.3a1  0 17. 22a16 10.2a 18. 22a 12.2a 32  0 19. 32a1  31.32a 4 _20. 3 1 9 . 3a1 2a 21. a a 2 2 1 2         22. 3 2 2 4 3 2 10 1000a  a  a  a 23. 1 a 2 3 a 4 ₃ ₄_.₃ 3    24.22a1 9.2a2  1 25. a 3 2 2 a 27 1 243 1 . 9 1                    

(13)

SOAL LATIHAN PERSAMAAN AKAR

Tentukan nilai a dari persamaan berikut ini: 1. a 2  32 18 2. ₅ 5 a a   3.



3



3a  9a1 4. 4 9 10 a 7   5. 4a3 12 a 6. ₈ a 1 a 20 5 3         7. 5 a 5 5 a    8. 6 2 a 8 2 a     9. 3 16a230  4a 10. a a215  3 11.



₃_₁



2_ _a ₃__b 12. ₃ 81 7 3 . 21 2a3  13. ₈₁ 3 1 2 2a         _14. 5 3 4 5 3 2 1 a     15. ₃ ₂₇ 3 1 2a 1 2         16. 5 6

 

5 5 0 a a    17. 6 a 2 2 a 4 2 1 2            18. 3 2 2 a