ALJABAR MATRIKS
Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier 2x + 3y + 3z = 0
x + y + 3z = 0 – x + 2y – z = 0
Maka koefisien tersebut di atas disebut MATRIKS, dan secara umum dapat dituliskan sbb :
1
2
1
3
1
1
2
3
Jajaran bilangan tersebut di atas disebut
MATRIKS
,
dan secara umum dapat dituliskan sbb :
Matriks biasanya ditulis dengan notasi (A)
Macam matriks
•
Matriks bujur sangkar, bila m = n
mxn
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Elemen-elemen a11, a22, ..., ann
•
Matriks baris, bila m = 1
•
Matriks kolom, bila n = 1
Macam matriks
1
2
3
4
5
[ A ]
mx1
5
4
3
2
1
•
Matriks nol, bila
a
ij= 0
:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
•
Matriks Diagonal,
Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.
4
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
a
ij= 0
•
Matriks Satuan
(unit matriks).
Jika elemen-elemen diagonal sama
dengan 1 dan elemen-elemen yang lain
sama dengan nol.
Disebut juga matriks identitas = [ I ]
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
= [ I ]
•
Matriks simetris, jika
a
ij= a
ji•
Matriks skew-simetris, jika
a
ij= - a
ji
5
7
3
7
0
2
3
2
1
5 7
3
7 0
2
3 2
1
OPERASI MATRIKS
•
Kesamaan matriks
Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila
a
ij
= b
ij
•
Penjumlahan matriks
Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan
menjadi matriks [C]
[C] = [A] + [B]
c
ij= a
ij+ b
ijOPERASI MATRIKS
Sifat-sifat penjumlahan Matriks
6
3
5
2
4
1
3
2
2
3
1
0
[C] =
3
6
2
3
2
5
3
2
1
4
0
1
[A] =
[B] = EXAMPLE :
9
5
7
5
5
1
•
Perkalian dengan skalar :
Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar k
menghasilkan suatu matriks
[D] =
k
[A]
d
ij
= k . a
ij
Sifat-sifat perkalian skalar matriks:
k
( [A] + [B] ) =
k
[A] +
k
[B]
k
( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] )
k
[ A ] = ;
k =
-2
[ D ] =
6
3
5
2
4
1
12
6
10
4
8
2
•
Perkalian matriks
Matriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan
matriks baru
[E]mxn = [A]mxp [B]pxn
dimana :
i = 1, 2, … m ; j = 1, 2, … n ; k = 1, 2, … p
p
k
kj ik
ij
a
b
e
1
3
Sifat-sifat perkalian matriks :
• [A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif
• ( [A] + [B] ) + [C] = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif
• [A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] ; sifat assosiatif
• [A] [B] ≠ [B] [A]
TRANSPOSE MATRIKS
Jika matriks [A]
dengan orde
m x n
Transpose matriks
[A] = [A]
T
adalah matriks berorde
n x m
dengan baris
dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan
baris matrix [A]
T3 2 6 3 5 2 4 1
x
2 3 6 5 4
3 2 1
x
[A] = [A]T =
Sifat-sifat dari transpose matriks
•
( [A]
T)
T= [A]
•
(
k
[A] )
T=
k
[A]
T•
( [A] + [B] )
T= [A]
T+ [B]
TDETERMINAN MATRIX BUJUR SANGKAR
[A]
2x2=
Det. [
A
] =
22 21
12 11
a a
a a
21 2
1 22
11
a
a
a
a
A
33 32
31
23 22
21
13 12
11
b
b
b
b
b
b
b
b
b
3x3
[B]
22 33 23 32
12
21 33 23 31
13
21 32 22 31
11 b .b b b b b .b b .b b b .b b .bb
B
Untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi ( n x n ) → cara sama
ik ik i i i i in in
n
k
c a c
a c
a c
a
A
...
2 2 1
1 1
INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari
matriks tersebut.
• Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka
matriks [B] disebut inverse dari matrix [A], dan matriks [A] adalah inverse dari matriks [B].
• Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR
• Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks SINGULAR.
1 0
1
0 1
1
3 2
6
4 2
1
3 3
1
3 2
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
[A] = ; [A]-1 =
[A] [A]-1 = = [ I ]
Catatan :
Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa metoda, antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan, metode Gauss-Jordan, metode Cholesky, dsb.
Metode Gauss-Jordan
Akan dicari inversi dari matriks [A]nxn
Langkah-langkah yang dilakukan : 1) Ambil matriks satuan [I]nxn
2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks [A] menjadi matriks satuan
3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks [ I ],
LANGKAH KE-1
LANGKAH KE-3
LANGKAH KE-2 LANGKAH KE-5
LANGKAH KE-4
LANGKAH KE-n Selesai …?????
MATRIKS ORTHOGONAL
Suatu matriks bujur sangkar [A] disebut matriks orthogonal
bila [A]-1 = [A]T
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
cos
sin
0 sin
cos
cos
sin
0 sin
cos
cos
sin
0 sin
cos
TEORI DEKOMPOSISI MATRIKS
Bila [A] = sebuah matrix bujur sangkar maka
matriks tersebut dapat diekspresikan dalam
bentuk :
[A] = [L] [U]
[L] = lower triangle matriks
33 14
12
39 25
20
63 27
36
7 1 3
0 2 5
0 0 9
8 0
0
2 5
0
7 3
4
=
EXAMPLE :
[A] = [L] [U]
dapat diperoleh tanpa inverse matriks
dapat diperoleh tanpa inverse matriks
Aplikasi pada solusi persamaan linier simultan :
[A] {X} = [B]
[L] [U] {X} = [B] → misal [U] {X} = {Y}
[L] {Y} = [B] {X} = [U]-1 {Y}
{Y} = [L]-1 [B]
SOLUSI PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
Persamaan Linier Simultan dengan n buah bilangan tak diketahui dapat dituliskan sbb :
4x + 3y + z = 13
PARTISI MATRIKS
Suatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya.
dimana ;
A BEXAMPLE :
BEBERAPA RUMUS KHUSUS
nxnT nxn
x
EXAMPLE :
