Try Out UN Matematika SMA IPA pembahasan

1. Jawaban : E Cara 1:

3

1 3

4 900 log 225

log = = (log900 log4) 3

1

− = (log9 log100 log4)

3 1

− +

= (2log3 2log10 2log2) 3

1

−

+ = (2 0,477 2 1 2 0,301)

3 1

× − × + ×

= (0,954 2 0,602) 3

1

−

+ = (2.352)

3 1

= 0,784

Cara 2:

log3 225=log3152 = log15 3 2

= 2 30 log 3 2

= (log3 log10 log2) 3

2

− +

= (0,477 1 0,301) 3

2

−

+ = (1,176)

3 2

= 0,784

2. Jawaban : E

2log

(

2 8

)

0 1

< −

x

log( 8) 2log1 1 2 2 1

< −

x

Syarat yang harus dipenuhi adalah:

1) x2 −8>0

(

x+2 2

)(

x−2 2

)

>0 x<−2 2 atau x>2 2

1) x2−8<1 x2−9<0

(

x+3

)(

x−3

)

<0

−3< x<3

Dari syarat 1) dan 2) kita memperoleh:

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan itu:

{

x−3<x<−2 2atau2 2<x<3

}

3. Jawaban: E

x

1

=

5

dan

x

2

=

−

2

_x2₋(_x1+x2)_{x−x1x2 =}0

2 (5 2) 5( 2) 0

= − + −

− x

x

2 3 10 0

= −

− x

x

4. Jawaban: B

Strategi 1:

h(t)=40t−5t2

4

) 5 ( 2

40 = − − = t

Karena koefisien dari _t2 _{adalah −5 < 0, maka fungsi h bernilai maksimum.} h_maks =h(4)=40(4)−5(4)2 =160−80=80 m

Strategi 2:

Karena koefisien dari _t2 _{adalah −5 < 0, maka fungsi h bernilai maksimum.}

80

20

1600

)

5

(

4

0

)

5

(

4

40

2

=

=

−

−

⋅

−

⋅

−

=

maks

h

m

Strategi 3:

h

(

t

)

=

40

t

−

5

t

2

h'(t)=40−10t

h"(t)=−10

Nilai stasioner dari fungsi

h

dicapai jika

h'(t)=0

, maka

40

−

10

t

=

0

t

=

4

Karena

h"(t)=−10

< 0, maka nilai fungsi

h

adalah maksimum untuk

t

=

4

.

h_maks =h(4)=40(4)−5(4)2 =160−80=80

m

5.

Jawaban: E Strategi 1:

Misalanya persamaan parabola adalah

y

=

ax

2

+

bx

+

c

.

Parabola memiliki puncak (1,

−

3), sehingga

a b x

2 − =

a b 2 1= −

b

=

−

2

a

………. (1)

a ac b y

4 4 2

− − =

a ac b

4 4 3

2 −

− = −

4ac₌b2 ₋12a

……….(2)

Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:

4

ac

(

2

a

)

2

12

a

−

−

=

4ac₌4a2₋12a

c

=

a

−

3

………(3)

Parabola melalui titik (3,

−

1), maka

−

1

=

a

(

3

)

2

+

b

(

3

)

+

c

−

1

=

9

a

+

3

b

+

c

………(4)

Dari persamaan (1), (3), dan (4), kita memperoleh:

−1=9a+3(−2a)+(a−3)

−

1

=

9

a

−

6

a

+

a

−

3

4

a

=

2

2 1 = a

1

2 1 2 2 2

1

− = × − = − = →

= b a

a

2 5 3 2 1 3 2

1

− = − = − = →

= c a

a

= + − + − 2 5 )

1 ( 2 1 2

x x

y

2

y

=

x

2

−

2

x

−

5

.

x

2

−

2

x

−

2

y

−

5

=

0

Strategi 2:

Persamaan parabola yang melalui titik balik atau titik puncak dapat dinyatakan sebagai:

a ac b a b x a y

4 4 2 2

2 −

− + −

=

Puncak parabola (1,

−

3), maka

y=a

(

x−1

)

2 +(−3)

Parabola melalui titik (3,

−

1), maka

−1=a

(

3−1

)

2+(−3)

−

1

=

4

a

+

−

3

4

a

=

2

2 1 = a

(

1

)

( 3)

2

1 2

− + − = →

= y a x

a

(

1

)

( 3) 2

1 2

− + −

= x

y

2

y

=

x

2

−

2

x

+

1

−

6

2

2

2

5

0

=

−

−

−

x

y

x

Jadi, persamaan parabola yang diminta adalah

x

2

−

2

x

−

2

y

−

5

=

0

.

Strategi Cerdas:

) ,

(x_p y_p

= (1,

−

3) dan

(

x

_m

,

y

_m

)

= (3,

−

1)

) 3 ( ) 1 ( ) 1 3 (

) 3 (

1 2

2 − + −

− − − −

= x

y

3 ) 1 2 ( 2

1 2 _{− + −}

= x x

y

6

1

2

2

y

=

x

2

−

x

+

−

0

5

2

2

2

=

−

−

−

x

y

Analisis Jawaban:

Substitusikan titik (1,

−

3) ke dalam persamaan jawaban, maka terlihat bahwa yang

memberikan pernyataan yang bernilai benar adalah jawaban E.

(1,

−

3)

→

2

2

2

5

0

=

−

−

−

x

y

x

1

2

– 2

×

1 – 2

×

(– 3) – 5 = 0 (Pernyataan yang bernilai benar)

6.

Jawaban: D

1

−

1

=

−

2

→

1

+

1

−

1

=

4

z

y

x

y

z

1

−

1

−

1

=

4

y

z

x

1−

( )

−2 =4 x

1 =4−2 x

2 1 = x

1+ 1 −1 =4 z y

x

2

−

3

+

1

=

0

z

y

x

3− 2 =4 y

x

3

2

4

2

1

=

−

→

=

y

x

x

2 4 2

1 3

= −

y

6− 2 =4 y

−

2

=

−

2

y

y=1

=1→1−1 =−2 y z y

2 1 1 1

− = − z

1 =−1 z

z=−1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

,

1

,

−

1

2

1

7.

Jawaban : A

0 27 3

2

93x − ⋅ 3x+1− =

( )

33x 2−6⋅33x −27=0

(

33x −9

)(

33x+3

)

=0

33x =9

(diterima) atau

33x =−3

(ditolak)

3 2

3 3 x =

3x=2

3 2

=

x

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

3 2

.

8.

Jawaban: A

p

: Penguasaan matematika rendah

q

: Sulit menguasai IPA

∼

q

: IPA tidak sulit dikuasai.

∼

r

: IPTEK tidak berkembang.

s

: Negara akan semakin tertinggal.

p

→

q

∼

q

∨

∼

r

∼

r

→

s

p

→

q

q

→

∼

r

∼

r

→

s

∴

p

→

s

Jadi, dari ketiga pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa: “Jika penguasaan

matematika rendah, maka Negara akan semakin tertinggal”

9.

Jawaban: A

BC2 AC2 AB2 2 AC AC cosA

⋅ ⋅ ⋅ − + =

BC2 =102 +62 −2⋅10⋅6⋅cos60o

2 1 120 36 100 2

⋅ − + = BC

BC2 =136−60 BC2 =76

BC

=

76

BC

=

2

19

cm

Jadi, panjang sisi

BC

=

2

19

cm.

10.

Jawaban: C

sin 45

o

cos 15

o

+ cos 45

o

sin 15

o

= sin (45

o

+15

o

) = sin 60

o

=

3 2 1

11.

Jawaban: C

Grafik fungsi itu adalah grafik fungsi

y=2cosx

yang ditranslasikan sejauh

3 1

arah

horizontal ke kiri , sehingga grafik fungsi yang diminta adalah

= + 3 1 cos

2 x

y

.

12.

Jawaban: C

o o

60 sin 3 2 1 ) 45

sin(x− = = Rumus:

1. Silogisme 2.

p

→

q

≡

∼

p

∨

q

p

→

q

q

→

r

∴

p

→

q

A

C

B

10 cm

6 cm

60

o

Rumus:

x – 45 = 60 + k × 360 atau x – 45 = (180 – 60) + k × 360

x = 105 + k × 360 atau x = 165 + k × 360

Untuk k = 0, maka x = 105 atau x = 165

Jadi, penyelesaiannya adalah105<x<165.

13. Jawaban : C

0 10 3 7

1→ 4 + 3+ 2− − =

= x px x x

x

(1)4+ p(1)3+7(1)2−3(1)−10=0 p=5

5 1 5 1 4

3 2

1+ + + =− =− =− =− p

a b x x x x

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah −5.

14. Jawaban : D

Garis polar titik (0,2) pada lingkaran x2 + y2 = 1 adalah (0,2) → x1x + y1y = 1

0 ×x + 2 ×y = 1

y = 2 1

y = 2 1

→x2 + y2 = 1

x2 + 2 2 1

= 1

4 3 2

=

x

3 2 1

± =

x

Titik singgungnya adalah

2 1 , 3 2 1

dan − 2 1 , 3 2 1

.

Persamaan garis singgung di

2 1 , 3 2 1

dan − 2 1 , 3 2 1

pada lingkaran x2 + y2 = 1 adalah

2 1 , 3 2 1

→x1x + y1y = 1

360

+

−

−

1 2 1

=

+ y

x

y=−x 3+2

− 2 1 , 3 2 1

→x1x + y1y = 1

1

2 1 3 2 1

= +

− x y

y=x 3+2

Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya adalah y=−x 3+2

15.

Jawaban: D

DE

=

DG

=

EG

=

8

2

cm (diagonal sisi)

∆

DEG

adalah sama sisi.

DM

adalah proyeksi

DE

pada bidang

BDHF

.

DE DM

MED=

∠

sin

DM

=

DE

×

sin

∠

MED

=

8

2

×

sin

60

o

3 2 1 2

8 ×

=

=

4

6

cm.

16.

Jawaban: C

Misalnya panjang rusuk-rusuk limas itu

adalah

a

satuan.

Bidang

ABCD

adalah persegi.

AC

=

AB

2

+

BC

2 2 2

a

a

+

=

=

a

2

2

2 1 2

1

1 AC a

AT = =

2

2 1 2 2 1

cos 1

1= = =

∠

a a TA AT TAT

o

1

=

45

∠

TAT

8 cm

A B

C D

E _F

G H

M

A

D

B

C

T

T

1

Jadi, sudut antara

TA

dan bidang

ABCD

adalah 45

o

.

17.

Jawaban: A

L

= 22 + 2,5 = 24,5

i

= 5

b

1

= 16 – 14 = 2

b

2

= 16 – 8 = 8

25,5

8 2

2 5 5 , 24

o =

+ × + = M

18.

Jawaban : B

=

i i i

f

x

f

x

4 8 10 8 6 4

4 77 8 72 10 67 8 62 6 57 4 52

+ + + + +

× + × + × + × + × + × =

x

40

308 576 670 496 342

208+ + + + +

=

65 40 2600

= =

Jadi, rataan berat badan tersebut adalah adalah 65 kg.

19. Jawaban: E Strategi 1:

Ruang sampel S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), …, (6,6)}; n(S) = 36.

A = Muncul mata dadu pertama 3 ={( 3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}; n(A) = 6.

B = Muncul mata dadu kedua 5 ={( 1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)}; n(B) = 6.

A ∩ B = {(3,5)} Dadu 2

Dadu 1

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

36 1 36 6 36 6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ∩ = × = × = × = S n B n S n A n B P A P B A P Strategi 2: 36 1 ) ( ) ( ) ( ∩ = ∩ = S n B A n B A P

Jadi, peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah 36

1 .

20. Jawaban: B

(

)

2 1 13! 105

! 13 14 15 ! 2 15 ! 2 ! 15 2 15 = × × × = − = x C

Jadi, jumlah garis lurus yang dapat dibuat adalah 105.

21. Jawaban: C =

5 2

0 3

A → =

5 0 2 3 t A

At⋅B=C

− − = − 5 15 1 0 1 1 5 0 2 3 y x − − = + + + − + 5 15 1 0 5 0 5 0 2 3 2 3 y y x − − = − + 5 15 1 0 5 5 1 2 3 y y x

5y=−15

y=−3

y=−3→ 3x+2y=0 3x+2(−3)=0

x=2

, nilai

2x+y=2(2)−3=1

22. Jawaban : C A – B = C −1

3 – x = – 4

x = 7

23. Jawaban : D

Misalnya persegi panjang mempunyai panjang = p dan lebar = l,dengan

p>0dan l>0……… (1)

Panjang sama dengan tiga kali lebarnya.

p=3l ⇔ l p 3 1

=

Luas persegi panjang tidak kurang dari 75 cm2. pl≥75

75 3

1

≥

p p

p2−225≥0 (p+15)(p−15)≥0

p≤−15 atau p≥15……… (2)

Panjang persegi panjang dan lebarnya masing-masing paling sedikit adalah 15 cm dan lebarnya 5

cm.

Jadi, panjang kawat tersebut paling sedikit = 2 (15 + 5) = 40 cm. (Kunci jawaban:

24. Jawaban: A 3 2 5 2

≥ − −

x x

3 0 2 5 2

≥ − − −

x x

0 2 8 8

≥ − −

x x

(kedua ruas dikalikan (x−2)2) (8−8x)(x−2)≥0

Pembuat nol: 0 ) 2 )( 8 8

( − x x− =

x = 1 atau x = 2

Uji daerah:

x = 3 (−)

−

+

−

•

x = 0 (+) x = −2 (−)

Daerah yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah daerah positif. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x|1 ≤x < 2}.

4 )

)( o

(f g x =x2−

4 ))

(

(g x =x2−

f

4 )

3 (x+ =x2 −

f

13 6 ) 3 ( ) 3

(x+ = x+ 2− x−

f

25.

Jawaban: C

5 ) 3 ( 6 ) 3 ( ) 3

(x+ = x+ 2− x+ +

f

f(x)=x2 −6x+5

f(x−2)=(x−2)2−6(x−2)+5 5 12 6 4 4

2 _{− + − + +}

=x x x

21 10

2 _{− +}

=x x

26. Jawaban: C

(g o f)(x) = 2x2 + 4x + 1 g (f(x)) = 2 x2 + 4 x + 1

g (x + 2) = 2 x2 + 4 x + 1 = 2 (x + 2 ) 2 – 4 x− 7 = 2 (x + 2) 2 – 4 (x + 2) + 1 g (2x) = 2 (2x) 2 – 4 (2x) + 1 = 8 x 2 – 8x + 1

Strategi 2:

(g o f)(x) = 2x2 + 4x + 1 g (x + 2) = 2x2 + 4x + 1

Misalnya x + 2 = y, maka x = y – 2 , sehingga

g (y) = 2 (y – 2) 2 + 4 (y – 2 ) + 1 = 2 y 2 – 4y + 1

g (2x) = 2 (2x) 2 – 4 (2x) + 1 = 8x2− 8x + 1 27. Jawaban: D

3 1 2 ) (

− + =

x x x f

3 1 2

− + =

y y x

xy− 3x = 2y + 1

2 1 3 − + = x x y 2 1 3 ) ( 1 − + = − x x x f 4 5 3 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 3 ) 2 ( 1 − − = − − + − = − − x x x x x f Strategi Cerdas: d cx b ax x f + + = ) (

→

a cx b dx f − + − = −1 3 1 2 ) ( − + = x x x f

→

2 1 3 1 − + = − x x f 4 5 3 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 3 ) 2 ( − − = − − + − = − x x x x x f

28. Jawaban: D

x = 1 →x + 2y = 6 ⇔ 1 + 2y = 6 ⇔ _y=221 Koordinat titik P(1,2₂1)

x = 1 →y = 2x + 2 = 2 ⋅ 1 + 2 = 4

Koordinat titik Q (1, 4).

x = 4 → x + 2y = 6 ⇔ 4 + 2y = 6 ⇔y = 1

Koordinat titik T adalah(4, 1)

Titik z = 10x + 5y

) 2 , 1 ( ₂1

P ₂1

2 1 ₂₂ 2 5 1

10⋅ + ⋅ = =

z

Q (1, 4) z = 10 ⋅ 1 + 5 ⋅ 4 = 30 R (2, 6) z = 10 ⋅ 2 + 5 ⋅ 6 = 50 S (4, 3) z = 10 ⋅ 4 + 5 ⋅ 3 = 55 T (4, 1) z = 10 ⋅ 4 + 5 ⋅ 1 = 45

Jadi, fungsi objektif z mencapai nilai maksimum di titik S.

29. Jawaban A Strategi 1: x x x x x x x x x x x

x _{1 2 1 2}

2 1 2 1 2 1 2 1 4 lim 2 1 2 1 4 lim 0

0 _{− + +}

+ + − × + − − = + − − → →

(

)

) 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 4 lim

0 _{x x}

x x

x

x − − +

+ + − = →

(

)

x x x x x ₄ 2 1 2 1 4 lim 0 − + + − = →

(

x x

)

x 1 2 1 2

lim

0− − + +

=

=−

(

1−0+ 1+0

)

=

−

2 Strategi 2: Teorema L’Hospital

x x x x x x x 2 1 2 2 2 1 2 2 4 lim 2 1 2 1 4 lim 0 0 + − − − = + − − → → x x x 2 1 1 2 1 1 4 lim 0 + − − − = → 0 1 1 0 1 1 4 + − − −

=

=

−

2

30. Jawaban : D Strategi 1: x x x x x x x x

x cos sin

sin cos lim sin cos 2 cos lim 2 2 4 4 − − = − →

→ x x

x x x x

x cos sin

) sin )(cos sin (cos lim 4 − − + = → ) sin (cos lim 4 x x x + = →

4 sin 4 cos + = 2 2 1 2 2 1 +

= = 2

Strategi 2: Teorema L’Hospital

x x x x x x x

x sin cos

2 sin 2 lim sin cos 2 cos lim 4 4 − − − = − → → 4 cos 4 sin 4 2 sin 2 − − − = 2 2 1 2 2 1 1 2 − − ⋅ − = 2 2 − −

= = 2

31. Jawaban : E

(

3 2

)

sin

)

(x = 4 x2−

f

(

x

) (

x

)

x x

f'( )=4sin3 3 2 −2 cos3 2−2 ×6

(

3 2

) (

cos3 2

)

sin

24 ) (

' x = x 3 x2 − x2 −

f

32. Jawaban : A x = 3 → _y=3 _{5+x y=}3 5₊3₌2

Koordinat titik singgungnua adalah (3,2).

Gradien garis singgung pada kurva y= f(x) di titik

(

x

1

,

y

1

)

adalah 1 x x

dx

dy

m

=

=

Gradien garis singgungnya

(

)

12

1 3 5 3 1 ' 3 2 3 = + = =y x=

m

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan bergradien m adalah y – y1 = m (x – x1). Persamaan garis singgungnya adalah

( 3) 12

1

2= −

− x

y

12y−24=x−3

x−12y+21=0

33. Jawaban : A

(

+

)

+ = + 4 0 2 2 4 0 2 9 9 2 1

9dx x d x

x

x

(

)

4 0 2 3 2 9 3 1 + = x

(

)

(

)

2 3 2 2 3 2 9 0 3 1 9 4 3 1 + − + = 3 2 32 3 98 3 27 3 125 = = − =

34. Jawaban : C

Persamaan garis adalah y=−x+5 dan

Persamaan parabola y=x2 −1. y=−x+5→ y=x2 −1 −x+5=x2 −1 x2+x−6=0 (x+3)(x−2)=0

x = −3 atau x = 2

= b a ydx L =

(

−

)

+ − + 2 1 5 2 2 ) 5 (

1dx x dx

x L 5 2 2 2 1 3 5 2 1 3 1 + − + −

= x x x x

= × − − ×1 −1 3 1 2 2 3

1 3 3 _{+ − × + × − − × + ×}

2 5 2 2 1 5 5 5 2

1 2 2

1 3 1 2 3 8 + − −

= 25 2 10

2 25 − + + − 2 25 3 7 16+ − =

6 75 14 96+ − = 6 5 5 6 35 = = 1 −1

−1 ₅

5 y

x O

y = −x + 5 y = x2−1

Jadi, luas yang diarsir pada gambar adalah 6 5

5 satuan luas.

35. Jawaban E

Batas-batas kurva terhadap sumbu-x

y=x+2→ 2 x y=

x+2=x2 x2−x−2=0 (x+1)(x−2)=0 x=−1atau x=2

=

{

−

}

b

a

dx x g x f

V 2( ) 2( )

{

( )

}

−

− + =

2 1

2 2 2 ) 2

(x x dx

V

(

)

−

− + + =

2 1

4 2

4 4x x dx x

2 1 5 2

3

5 1 4 2 3 1

−

− + +

= x x x x

= + + − − − + − +

5 1 4 2 3 1 5 32 8 8 3 8

= + − + + −

5 1 2 3 1 5 32 3 8 16

= −

5 33 21

5 2 14 5 72

=

= satuan volum.

Jadi, volume benda putar yang terjadi itu adalah 5 2

14 satuan volum.

36. Jawaban : D 6 1=a= u

u₇ =384 ar6 =384 6r6 =384

x y

O

y = x + 2

y = x2

r6 =64 r = 2

(

)

1

1

− − =

r r a S

n n

(

)

1 2

1 2 6 7 7

− − =

S = 6(128 – 1) = 762 cm.

Jadi, panjang keseluruhan tali tersebut adalah 762 cm.

37. Jawaban : E Sn= 4n – n

2

un = Sn – Sn−1 = 4n – n 2

– 4(n – 1) + (n – 1)2 = 4n – n2 – 4n + 4 + n2 – 2n + 1 = 5 – 2n

b = un – un−1 = 5 – 2n – 5 + 2 (n – 1) = –2 Strategi Cerdas:

Sn= 4n – n2

un= {4 – (–1)} – 2n = 5 – 2n

b = –2 (turunan kedua)

38. Jawaban : D

Proyeksi ortogonal a pada b adalah c, maka

) 4 6 2 ( 4 ) 6 ( 2

4 2 ) 6 )( 2 ( 2 4

2 2 2 2

k j i

c − +

+ − +

× + − − + × =

) 4 6 2 ( 56 28

k j i c= − +

) 2 3j k i

c= − +

39. Jawaban : D b

a+ = a2+b2 −2ab cosα

2 1 1 2 2 1

22+ 2− ⋅ ⋅ ⋅ =

= 7

Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu-y adalah − 1 0

0 1

.

− −

=

y x y

x

3 1

0 2 1 0

0 1 ' '

− − =

y x 3 1

0 2

+ −

− =

y x

x 3 2

x'=−2x⇔ ' 2 1 x x=−

y'=−x+3y⇔ y y x 3 1 ' 3 1

+

= '

6 1 ' 3 1

x y− =

Substitusikan ' 2 1 x

x=− dan ' 6 1 ' 3 1

x

y− ke persamaan 4x−y+5=0, maka diperoleh

' 5 0

6 1 ' 3 1 ' 2 1

4 − x − y+ x+ =

' 5 0

6 1 ' 3 1 '

2 − + + =

− x y x

−12x'−2y'+x'+30=0

11x'+2y'−30=0

Dengan menghilangkan tanda aksen, maka diperoleh 11x+2y−30=0.