Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

PROSES PERCABANGAN BIENAYMÉ-GALTON-WATSON

DAN PENERAPANNYA DALAM BIOLOGI

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh : Vania Mitzi Dinata

NIM: 153114008

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

BIENAYMÉ-GALTON-WATSON BRANCHING PROCESS

AND ITS APPLICATIONS IN BIOLOGY

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

in Mathematics

By :

Vania Mitzi Dinata NIM: 153114008

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 23 Januari 2019

Penulis,

MOTTO

“Like wildflowers; you must allow yourself to grow in all the places people

never thought you would.”-E.V.

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Vania Mitzi Dinata Nomor Mahasiswa : 153114008

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

PROSES PERCABANGAN BIENAYMÉ-GALTON-WATSON DAN PENERAPANNYA DALAM BIOLOGI

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,

mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan

data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau

media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya

maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya

sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal:23 Januari 2019

Yang menyatakan

KATA PENGANTAR

Ucapan Puji dan Syukur kepada Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang dengan murah hati mencurahkan segala kebaikan-Nya melalui orang-orang sekitar dan dari setiap peristiwa yang penulis alami sehingga skripsi ini dapat selesai tepat waktu. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Univesitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak yang bersedia membantu dalam menghadapi berbagai macam kesulitan, tantangan dan ham-batan. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing skripsi.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi dan selaku Dosen Pembimbing Akademik. 3. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiamoko, M.Sc, dan Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.

5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

6. Kedua orang tua, Adriel dan keluarga yang telah membantu serta men-dukung penulis selama proses pengerjaan skripsi.

7. Teman-teman Prodi Matematika Angkatan 2015, teman-teman MASDHA FM, serta teman-teman baik yang mendukung penulis dalam mengerjakan skripsi: Lawi, Dini, Selly, Nevi, Kak Ambar, Ce Monic, Kak Eka,Rani, Ayu, Arel, Gita, Rio, Anton, Dimas, Arga.

Semoga segala perhatian, dukungan, bantuan dan cinta yang telah diberikan mendapatkan balasan dari Tuhan Yesus Kristus. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik yang membangun dan saran demi penyempurnaan skripsi ini. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi referensi belajar yang baik.

Yogyakarta, 23 Januari 2019 Penulis,

ABSTRAK

Proses stokastik percabangan Bienaymé-Galton-Watson (BGW) merupakan sebuah proses stokastik yang dikenalkan oleh Bienaymé, Galton, dan Watson. Proses BGW termasuk jenis rantai Markov waktu diskret. Proses BGW dapat diterapkan di dalam beberapa bidang, salah satunya yang dibahas di dalam skripsi ini adalah penerapan di dalam bidang biologi. Proses stokastik percabangan tepat digunakan dalam contoh kasus pembelahan patogen dan sel punca. Pembelahan patogen dalam proses penyembuhan memungkinkan muncul-nya patogen mutan yang kebal obat. Di lain pihak, dalam kasus pembelahan sel punca yang sudah rusak akan memungkinkan muncul penyakit kanker. Oleh karena itu, penulis membahas model matematika yang berhubungan dengan menghitung peluang dari kedua contoh permasalahan dalam bidang biologi tersebut. Pembahasan dari penerapan proses stokastik tersebut menggunakan asumsi yang diberikan diawal masing-masing kasus.

Model matematika dari proses percabangan dalam bidang biologi tersebut digunakan untuk menghitung peluang keadaan populasi di waktu yang akan datang. Pertama akan dihitung model pertumbuhan populasi menggunakan fungsi pembangkit momen serta distribusi peluang keturunan. Selanjutnya, dihitung juga peluang dari munculnya mutasi dari populasi awal. Setelah menyesuaikan dengan asumsi awal pada masing-masing kasus biologi, akan didapatkan model ma-tematika dari proses percabangan BGW.

ABSTRACT

The Bienaymé-Galton-Watson (BGW) branching stochastic process is a discrete time stochastic process that was introduced by Bienaymé, Galton, and Watson. The BGW process is a type of discrete Markov chain. The BGW branch-ing stochastic process can be applied in several subject, one of which is discussed in this paper is the application in biology. The branching stochastic process is used correctly in the case of pathogenic cleavage and stem cells. Cleavage of pathogens in the healing process allows the emergence of drug-resistant mutant pathogens. On the other hand, in the case of division of damaged stem cells it will allow cancer to appear. Therefore, the author discuss mathematical models related to calculating the opportunities of both examples of problems in biology. The dis-cussion of the application of the stochastic process uses the assumptions that giv-en at the beginning of each case.

The mathematical model of the branching process in biology is used to calculate the probability of future population conditions. First, the population growth model will be calculated using the generating function and the probability offspring distribution. Furthermore, the probability for the emergence of muta-tions from the initial population is also calculated. After adjusting to the initial assumptions in each case of biology, a mathematical model of the BGW branch-ing process will be obtained.

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

HALAMAN KEASLIAN KARYA ... v

MOTTO ... vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ... vii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ... viii

KATA PENGANTAR ... ix

G. Sistematika Penulisan ... 4

BAB II TEORI PELUANG DAN PROSES STOKASTIK ... 6

A. Teori Peluang ... 6

B. Proses Stokastik ... 25

C. Sifat-sifat dari Kalkulus ... 29

BAB III PROSES PERCABANGAN BGW ... 34

A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Proses Percabangan BGW ... 34

B. Persamaan Total Distribusi Keturunan ... 50

D. Peluang Saat Total Keturunan Mencapai Tak Hingga ... 58

BAB IV PENERAPAN PROSES PERCABANGAN DALAM BIDANG BIOLOGI ... 63

A. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Patogen yang Kebal Terhadap Obat 63 B. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Munculnya Sel Kanker ... 77

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 85

A. Kesimpulan ... 85

B. Saran ... 86

PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan

masa-lah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.

A. Latar Belakang

Proses stokastik seringkali muncul di dalam masalah-masalah pada bidang biologi

dan fisika. Untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan proses stokastik

diperlukan beberapa cabang matematika, di antaranya statistika, teori peluang, kalkulus,

dan analisis. Proses stokastik adalah koleksi dari peubah acak {𝑋_𝑡(𝑠) ∶ 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑠 ∈ 𝑆 },

dengan T adalah himpunan indeks waktu dan S adalah ruang sampel bersama dari peubah

acak. Untuk setiap t, 𝑋_𝑡(𝑠) menyatakan satu peubah acak yang terdefinisi pada S. Untuk

setiap 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑋_𝑡(𝑠) berkorespondensi dengan fungsi yang terdefinisi pada T dan disebut

lintasan sampel atau realisasi dari proses stokastik.

Proses percabangan (branching process) merupakan sebuah proses stokastik waktu

diskret yang dikenalkan oleh Bienaymé, Galton, dan Watson sehingga dikenal juga

dengan nama proses Bienaymé-Galton-Watson (BGW). Proses BGW banyak digunakan

pada model pertumbuhan dan peluruhan populasi. Populasi dapat berupa gen mutan,

neutron pada reaksi rantai nuklir, ataupun hewan dengan siklus kelahiran tahunan.

Pertumbuhan populasi menyebabkan munculnya keturunan. Banyaknya keturunan dari

setiap individu berbeda tetapi memiliki pola distribusi peluang yang identik. Pola yang

dimiliki yakni efek percabangan. Pola distribusi peluang yang identik dapat digunakan

untuk menghitung peluang dari sifat-sifat keturunan maupun proses secara keseluruhan.

Pada tugas akhir ini, penerapan proses percabangan di bidang biologi akan

difokuskan pada perhitungan peluang munculnya gen kanker dalam suatu jaringan dan

kanker muncul karena keadaan hormon yang tidak normal dalam tubuh sehingga

merangsang sel punca yang rusak dalam tubuh sehingga tidak dapat dihancurkan. Sel

punca adalah sumber untuk sel-sel baru dan terus diproduksi oleh tubuh. Pada saat sel

punca membelah, mereka dapat memperbanyak diri sendiri atau menjadi jenis sel yang

baru. Tugas khusus dari sel punca adalah untuk berkembang menjadi sel-sel lain yang

lebih spesifik. Pada penderita kanker, ketidakteraturan hormon itu mengakibatkan sel-sel

punca yang rusak masih ada dan terus bertambah banyak. Pada patogen yang kebal obat,

patogen bertambah banyak dengan cara membelah diri. Populasi patogen terus

bertumbuh sehingga memiliki kemungkinan munculnya patogen yang kebal terhadap

obat selama proses penyembuhan. Kedua kasus biologi tersebut memiliki kemiripan

yaitu berkembang biak dengan membelah diri dan perkembangbiakan individu satu

dengan lain tidak saling memengaruhi (independent). Dengan memperhatikan hal-hal

tersebut, proses percabangan BGW cukup tepat untuk mempelajari kedua masalah dalam

bidang biologi itu.

Sebagai contoh, dengan menggunakan proses percabangan BGW dapat dilakukan

perhitungan peluang saat satu gen mutasi mulai muncul di tengah-tengah populasi.

Dalam menghitung peluang mutasi yang digunakan dalam proses percabangan, perlu

ditentukan dulu persamaan dan distribusi total keturunan secara umum dan khusus.

Topik yang akan dibahas pada skripsi ini adalah teori dasar proses percabangan BGW

dan penerapannya pada masalah perhitungan peluang munculnya mutasi penyebab

penyakit kanker dan patogen yang kebal terhadap obat. Menggunakan proses

percabangan BGW akan didapatkan model sederhana untuk masalah peluang risiko

penyakit kanker yang muncul dan peluang imbas munculnya patogen yang kebal obat

di masa depan.

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana definisi dan sifat-sifat dasar proses percabangan BGW?

2. Bagaimana penerapan proses percabangan BGW dalam mempelajari (memodelkan

dan menganalisis) dua masalah dalam bidang biologi yaitu masalah penyebab

munculnya patogen yang kebal obat selama proses pengobatan dan risiko munculnya

gen kanker?

C. Batasan Masalah

Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:

1. Proses stokastik yang dibahas ialah proses percabangan BGW dengan waktu diskret.

2. Model yang digunakan adalah model sederhana dari proses percabangan BGW

dengan dua parameter.

3. Kasus dalam bidang biologi difokuskan pada munculnya mutasi gen penyebab

penyakit kanker dan patogen yang kebal terhadap obat.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini untuk mengetahui, mempelajari teori dasar dan

penerapan proses percabangan BGW dalam masalah biologi. Tugas akhir ini akan

difokuskan pada penerapan proses percabangan BGW dalam mencari model matematika

sederhana dalam masalah risiko munculnya sel kanker dan munculnya patogen yang

kebal obat selama proses pengobatan. Model tersebut dapat digunakan dalam

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah dapat mempelajari penerapan proses

percabangan dalam masalah di bidang biologi, mendapatkan model sederhana pada

masalah peluang risiko penyakit kanker yang muncul dan peluang imbas munculnya

patogen yang kebal obat selama pengobatan menggunakan proses percabangan. Selain

itu juga dapat diperkirakan perilaku populasi berdasarkan perhitungan peluang dari

model proses BGW.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini merupakan metode studi

pustaka, yakni dengan membaca dan mempelajari buku-buku dan jurnal-jurnal yang

berkaitan dengan proses percabangan dan penerapannya dalam bidang biologi.

G. Sistematika Penulisan

BAB II TEORI PELUANG DAN PROSES STOKASTIK

A. Teori Peluang

B. Proses Stokastik

C. Sifat-sifat dari Kalkulus

B. Persamaan Total Distribusi Keturunan

C. Peluang Muncul Mutasi

D. Peluang Saat Total Keturunan Mencapai Tak Hingga

BAB IV PENERAPAN PROSES PERCABANGAN DALAM BIDANG BIOLOGI

A. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Patogen yang Kebal Terhadap Obat

B. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Munculnya Sel Kanker

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

6 BAB II

TEORI PELUANG DAN PROSES STOKASTIK

Dalam bab ini akan dipaparkan landasan teori yang digunakan dalam

skripsi, yaitu teori peluang dan proses stokastik.

A. Teori Peluang

Untuk menyelesaikan permasalahan dalam skripsi ini, perlu diingat kembali

mengenai konsep dasar teori peluang.

Definisi 2.1.1

Sebuah percobaan dikatakan acak apabila hasil dari percobaan tidak dapat

ditentukan secara pasti sampai percobaan tersebut selesai dilakukan.

Hasil percobaan acak tidak dapat diprediksi sebelumnya, namun dapat

diten-tukan himpunan peluang hasil dari percobaan.

Definisi 2.1.2

Himpunan semua hasil yang mungkin dari sebuah percobaan acak disebut

se-bagai ruang sampel dari percobaan tersebut dan dinotasikan dengan S.

Contoh 2.1.2:

Jika hasil dari sebuah percobaan adalah klasifikasi jenis kelamin bayi yang

baru lahir maka 𝑆 = {𝑙, 𝑝}, dengan hasil l mengidentifikasikan bahwa

laki-laki dan p adalah perempuan.

Definisi 2.1.3

Anggota dari ruang sampel disebut sebagai titik sampel.

Contoh 2.1.3:

Definisi 2.1.4

Setiap subhimpunan dari ruang sampel disebut sebagai kejadian. Dengan kata

lain, kejadian adalah sebuah himpunan yang memuat peluang hasil dari

percobaan. Kejadian seringkali dinotasikan dengan E.

Contoh 2.1.4

Jika 𝐸 = {𝑝} maka E adalah kejadian jenis kelamin bayi yang baru lahir

ada-lah perempuan.

Definisi 2.1.5

Untuk setiap dua kejadian E dan F dari sebuah ruang sampel S, didefinisikan

𝐸 ∪ 𝐹 memuat semua hasil yang ada di E atau di F atau di E dan F.

Dilakukan percobaan acak melempar sebuah koin setimbang sebanyak 2 kali.

Titik sampel dari percobaan adalah gambar yang dinotasikan dengan G dan

angka yang dinotasikan dengan A. Jika E = {(G,G), (G,A), (A,G)} adalah

kejadian dengan setidaknya 1 gambar muncul dan F = {(G,A), (A,G), (A,A)}

adalah kejadian dengan setidaknya 1 angka muncul maka 𝐸 ∩ 𝐹 =

Definisi 2.1.7

Untuk setiap kejadian E, didefinisikan kejadian baru 𝐸𝑐 yang memuat semua

hasil dalam ruang sampel S yang tidak berada di E. Kejadian 𝐸𝑐 akan muncul

jika dan hanya jika E tidak muncul. Kejadian 𝐸𝑐 disebut komplemen dari

ke-jadian E.

Contoh 2.1.7

Dilakukan percobaan pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali. Jika ke-jadian 𝐸 = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}, maka 𝐸𝑐 akan muncul saat jumlahan dadu tidak sama dengan 7.

Definisi 2.1.8

Kejadian E dan F dikatakan saling asing apabila memenuhi

𝐸 ∩ 𝐹 = ∅.

Peluang adalah sebuah fungsi dari ruang sampel S ke ℝ yang memenuhi tiga

sifat di bawah ini:

1. ℙ(𝐴) ∈ [0,1] ∀𝐴 ⊆ 𝑆

2. ℙ(𝑆) = 1, dan

3. untuk barisan berhingga atau tak hingga yang saling asing 𝐴_𝑖 di dalam S

berlaku

ℙ (⋃ 𝐴𝑖

𝑖

) = ∑ ℙ(𝐴𝑖),

Karena |𝑆| = 𝑛 dan telah diketahui ∀𝐴 ⊆ 𝑆, peluang suatu kejadian A dapat

dihitung yaitu:

ℙ(𝐴) = |𝐴|_|𝑆|.

Contoh 2.1.9

Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6 sebanyak satu kali, terdapat

6 titik sampel dalam ruang sampel {1, 2, 3, 4, 5, 6}, yaitu muncul sisi dadu

bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Kejadian-kejadian yang mungkin saja terjadi

misalnya: munculnya mata dadu ganjil, munculnya mata dadu genap,

mun-culnya mata dadu prima, dan sebagainya. Bila pada percobaan diinginkan

muncul mata dadu 2, 3 dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel dari ruang sampel

6, maka peluang kejadian muncul mata dadu prima adalah 3 6. Definisi 2.1.10

Peluang bersyarat dari kejadian E dengan syarat kejadian F didefinisikan

sebagai berikut

ℙ(𝐸|𝐹) =ℙ(𝐸 ∩ 𝐹)_{ℙ(𝐹) , ℙ(𝐹) ≠ 0.}

Definisi 2.1.11

Kejadian E dan F dikatakan saling bebas (independent) jika diketahui

ℙ(𝐸|𝐹) = ℙ(𝐸).

Contoh 2.1.11

Pada pelemparan dua keping koin sekali, M munculnya sisi angka pada koin

pertama, dan N munculnya sisi gambar pada koin kedua adalah kejadian

sal-ing bebas; 𝑆 = {𝐴𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐺𝐺}, ℙ(𝑀) =1

Aturan Bayes merupakan perluasan dari peluang bersyarat.

Teorema 2.1.12 (Aturan Bayes)

Keterangan: P= kejadian yang terpilih adalah pria, W= kejadian yang terpilih

adalah wanita, R= kejadian yang terpilih adalah perokok. Peluang kejadian

seorang perokok dipilih secara acak, maka dengan menggunakan aturan

Bayes diperoleh

Teorema 2.1.13 (Hukum Peluang Total)

(1) 𝐹_𝑖 ∩ 𝐹_𝑗 = ∅, untuk 𝑖 ≠ 𝑗

Dari hasil penelitian sebuah negara didapatkan bahwa 7% penduduk pria dan

0,4% penduduk wanita mengidap buta warna. Prosentase penduduk dalam

negara tersebut yakni, tersebut 49% pria dan 51% wanita. Seorang penduduk

dipilih secara acak. Tentukan peluang bahwa seseorang tersebut buta warna.

Keterangan : C= kejadian orang yang terpilih buta warna; P= kejadian orang

yang terpilih adalah pria; W=kejadian orang yang dipilih adalah wanita.

Menurut Teorema 2.1.13, berlaku

Pada satu kali pelemparan sekeping koin setimbang, X bernilai 0 saat

X bernilai 1 dan X bernilai 0 masing-masing adalah 1

2. Tiga koin setimbang dilempar dan menghasilkan 8 kemungkinan yaitu {𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐴,

𝐺𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐺, 𝐺𝐺𝐺|𝐴 = sisi angka, 𝐺 = sisi gambar}, sehingga peluang

Distribusi dari peubah acak X adalah himpunan nilai-nilai dari X beserta

pelu-angnya. Distribusi peubah acak diskret ditentukan oleh fungsi masa peluang

(fmp).

dikembalikan. Tentukan fmp bersyarat dari banyaknya bola biru yang

teram-bil jika diketahui banyaknya bola merah yang teramteram-bil adalah satu.

Keterangan: Y= banyak bola biru yang terambil dengan 𝑌 = 𝑦 dan 𝑦 ∈

{0,1,2}; X= banyak bola merah yang terambil.

ℙ(𝑌 = 𝑦|𝑋 = 1) =ℙ(𝑌 = 𝑦, 𝑋 = 1)_{ℙ(𝑋 = 1)} =

Nilai harapan peubah acak diskret X, dilambangkan dengan 𝔼(𝑋),

didefinisi-kan sebagai jumlah hasil kali nilai peubah acak dengan masing-masing

pelu-angnya:

𝔼(𝑋) = ∑ 𝑥ℙ(𝑋 = 𝑥). ∀𝑥

Contoh 2.1.16

Peluang seseorang menembak tepat sasaran adalah 0,6. Jika dia melakukan

tembakan sebanyak 100 kali maka nilai harapan seseorang menembak

mengenai sasaran adalah

𝔼(𝑋) = 100 ∙ 0,6 = 60.

Definisi 2.1.17

Nilai harapan bersyarat dari peubah acak Y apabila diberikan 𝑋 = 𝑥 adalah

𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥) = ∑ 𝑦ℙ(𝑌 = 𝑦|𝑋 = 𝑥) ∀𝑦

.

Beberapa sifat nilai harapan bersyarat:

𝔼(𝑎𝑌 + 𝑏𝑍|𝑋 = 𝑥) = 𝑎𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥) + 𝑏𝔼(𝑍|𝑋 = 𝑥)

Jika X dan Y dua peubah acak yang mempunyai distribusi bersama, maka

𝔼(𝑌) = ∑ 𝔼(𝑌|𝑋 = 𝑥)ℙ(𝑋 = 𝑥) 𝑋

Contoh 2.1.18

Sebuah koin setimbang dilambungkan berkali-kali. Dinotasikan A= kejadian

muncul angka, G= kejadian muncul gambar. Koin dilambungkan sekali

dengan kemungkinan hasil A dan G, dilambungkan dua kali dengan

kemung-kinan 𝐴𝐴, 𝐴𝐺, 𝐺𝐴, 𝐺𝐺 dan seterusnya sehingga didapatkanS = {𝐴, 𝐺, 𝐴𝐴, 𝐴𝐺,

𝐺𝐴, 𝐺𝐺, 𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐺𝐴, 𝐴𝐴𝐺, … }. Andaikan S dipartisi menjadi 3 partisi: S₁ =

{lambungan 1: A}; S2 = {lambungan 1 dan 2: GA};

𝑆3 = {lambungan 1 dan 2: GG} dengan S1 terjadi saat diperlukan setidaknya

3 kali pelambungan, S₂ terjadi saat diperlukan setidaknya 4 kali pelambungan

dan S₃ terjadi saat diperlukan hanya 2 kali pelambungan. Tentukan nilai

harapan dari Y= banyaknya pelambungan yang dilakukan untuk mendapat

dua gambar berurutan.

Menurut Definisi 2.1.18

𝔼(𝑌) = 𝔼(𝑌|S1)ℙ(𝑆) + 𝔼(𝑌|𝑆2)ℙ(𝑆) + 𝔼(𝑌|S3)ℙ(𝑆3)

karena pelambungan bersifat saling bebas, berlaku

𝔼(𝑌|S1) = 1 + 𝔼(𝑌), 𝔼(𝑌|S2) = 2 + 𝔼(𝑌)

dan

𝔼(𝑌) = (1 + 𝔼(𝑌))1_{2 + (2 + 𝔼}(𝑌))1_{4 + 2 ∙}1₄

4𝔼(𝑌) = 2 + 2𝔼(𝑌) + 2 + 𝔼(𝑌) + 2

𝔼(𝑌) = 6.

Definisi 2.1.19

Misal X adalah suatu peubah acak dengan 𝔼(𝑋) = 𝑈. Variansi peubah X,

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝔼[(𝑋 − 𝑈)2_{] = ∑(𝑥}

𝑖 − 𝑈)2ℙ(𝑥𝑖). 𝑡

𝑖=1

Variansi peubah X merupakan rata-rata nilai harapan dari deviasi kuadrat.

Teorema 2.1.20

banyaknya pesanan yang diharapkan dan variansinya, dengan diketahui data

sebagai berikut.

X 0 1 2 3

ℙ (X) 0,125 0,375 0,375 0,125

Dihitung terlebih dahulu nilai harapan dari kasus diatas

+(2 − 1,5)2_{∙ 0,375 + (3 − 1,5)}2 _{∙ 0,125}

= 0,75.

Definisi 2.1.21

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan nilai bilangan bulat positif.

Fungsi pembangkit momen dari peubah acak didefinisikan sebagai berikut

𝑔𝑋(𝑠) = 𝔼(𝑠𝑥) = ∑ 𝑠𝑛ℙ(𝑋 = 𝑛)

di mana persamaan terakhir didapatkan dari X dan Y yang saling bebas.

Proposisi 2.1.23

Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi pembangkit momen 𝑔_𝑋

dan 𝑔_𝑌. Diasumsikan |𝑠| < 1

Jika 𝑔_𝑋(𝑠) = 𝑔_𝑌(𝑠) maka X dan Y memiliki distribusi yang sama.

Berikut akan dijelaskan beberapa contoh peubah acak diskret yang akan

sering digunakan.

Dipandang n peubah acak Bernoulli yang saling bebas dan berdistribusi

identik 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_𝑛. Diberikan p adalah peluang kesuksesan. Untuk 𝑖 = 1, … , 𝑛

ℙ(𝑋𝑖 = 1) = 𝑝.

Apabila B adalah peubah acak yang memberikan jumlah sukses dengan n

𝐵 = 𝑋1+ 𝑋2+ ⋯ + 𝑋𝑛.

Peubah acak B dikatakan mempunyai distribusi Binomial dengan

parame-ter n dan p yang dapat dibuktikan dengan Proposisi 2.2.23 fungsi

masing-masing kemungkinan saling bebas. Jadi, untuk k=0,1,…,n berlaku

distribusi binomial ℙ(𝐵 = 𝑘) = (𝑛𝑘)𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘.

Nilai harapan dari distribusi Binomial adalah

𝔼(𝐵) = 𝔼(𝑋1+ 𝑋2+ ⋯ + 𝑋𝑛) = 𝔼(𝑋1) + 𝔼(𝑋2) + ⋯ + 𝔼(𝑋𝑛) = 𝑛𝑝.

∑ 𝑘𝑥𝑘−1₌ 1

(1 − 𝑥)2.

𝑘≥1

Penerapan rumus tersebut mendapatkan nilai harapan

𝔼(𝑋) = ∑ 𝑘𝑞𝑘−1_{𝑝 = 𝑝} 1

Variansi dari distribusi Geometri adalah

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝔼(𝑋2_{) − [𝔼(𝑋)]}2 ₌1 + 𝑞

Peubah acak N dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan parameter

𝜆 jika

ℙ(𝑁 = 𝑘) = 𝑒−𝜆𝜆𝑘

𝑘! untuk 𝑘 = 0,1, … ,

dan 𝜆 merupakan parameter dari N.

Selanjutnya dihitung nilai harapan dari peubah acak Poisson N dengan

Perluasan dari Distribusi Poisson

Diasumsikan N memiliki distribusi Poisson dengan parameter 𝜆. Jika 𝑁 = 0 maka 𝑁₁ = 0. Misalkan 𝑛 ≥ 1, dan diberikan 𝑁₁ adalah binomial

dengan parameter n dan p. Dengan demikian, dapat ditulis jumlahan

𝑁𝑖 = ∑ 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

yang merupakan peubah acak Bernoulli dengan distribusi ℙ(𝑋_𝑖 = 1) = 𝑝

dan ℙ(𝑋_𝑖 = 0) = 1 − 𝑝.

Diasumsikan N memiliki distribusi Poisson dengan parameter 𝜆.

ℙ(𝑁1 = 𝑘|𝑁 = 𝑛) = (𝑛𝑘)𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘.

Didapatkan fungsi pembangkit momen dari 𝑁₁

𝑔𝑁1(𝑠) = 𝔼(𝑠𝑁1) = ∑ 𝔼(𝑠𝑁1|𝑁 = 𝑛)ℙ(𝑁 = 𝑛),

digunakan nilai rata-rata untuk nilai harapan. Distribusi peubah acak

Binomial adalah jumlahan dari peubah acak Bernoulli yang saling bebas.

Sehingga

Terbukti bahwa parameter distribusi Poisson dari N adalah𝜆. Hal tersebut

menunjukkan juga bahwa fpm menyederhanakan perhitungan.

Sehingga 𝑁₁ dan 𝑁₂ saling bebas untuk setiap k

Digunakan distribusi Poisson 𝑁₁ dan 𝑁₂untuk mendapatkan

ℙ(𝑁 = 𝑛) = ∑ 𝑒−𝜆1𝜆1𝑘

Dengan menggunakan pembagian dan perkalian 𝑛! didapatkan

ℙ(𝑁 = 𝑛) =_{𝑛! 𝑒}1 −𝜆1−𝜆2

∑ (𝑛𝑘)𝜆1𝑘𝜆1𝑛−𝑘 =_{𝑛! 𝑒}1 −𝜆1−𝜆2 𝑛

𝑘=0

(𝜆1+ 𝜆2)𝑛,

di mana persamaan terakhir menggunakan teorema Binomial. Persamaan

di atas menunjukkan 𝑁 = 𝑁₁+ 𝑁₂ adalah distribusi Poisson, dengan

parameter 𝜆₁+ 𝜆₂.

Diasumsikan X dan Y adalah peubah acak Poisson yang saling bebas

dengan nilai 𝜆 dan µ.

Dengan menggunakan fungsi pembangkit momen dari X diperoleh.

𝑔𝑋(𝑠) = ∑ 𝑠𝑘𝑒−𝜆𝜆

𝑘

𝑘! = 𝑒𝜆(𝑠−1).

𝑘≥0

Menggunakan Proposisi 2.2.22 didapatkan

𝑔𝑋+𝑌(𝑠) = 𝑔𝑋(𝑠)𝑔𝑌(𝑠) = 𝑒𝜆(𝑠−1)𝑒𝜇(𝑠−1) = 𝑒(𝜆+𝜇)(𝑠−1).

Fungsi pembangkit momen dari distribusi Poisson dengan parameter 𝜆 + 𝜇. Sehingga dapat disimpulkan distribusi dari 𝑋 + 𝑌 adalah distribusi

B. Proses Stokastik

Pada subbab ini akan dipelajari lebih lanjut mengenai proses stokastik

dengan fokus pada rantai Markov.

Proses stokastik adalah koleksi dari peubah acak {𝑋_𝑡(𝑠) ∶ 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑠 ∈ 𝑆 },

dimana T adalah himpunan indeks waktu dan S adalah ruang sampel bersama

dari peubah acak. Untuk setiap t, 𝑋_𝑡(𝑠) menyatakan satu peubah acak yang

terdefinisi pada S.

Untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑋_𝑡(𝑠) berkorespondensi dengan fungsi yang

terdefinisi pada T dan disebut lintasan sampel (realisasi, trayektori dari proses

stokastik).

Proses stokastik terbagi dalam 2 klasifikasi waktu:

1. Jika T adalah himpunan diskret (terhitung) maka (𝑋_𝑡)_𝑡∈𝑇 disebut proses

stokastik waktu diskret.

2. Jika T adalah himpunan kontinu (tak terhitung) maka (𝑋_𝑡)_𝑡∈𝑇 disebut

proses stokastik waktu kontinu.

Proses stokastik yang digunakan dalam skripsi ini hanya proses stokastik

waktu diskret.

Definisi 2.2.1

Rantai Markov merupakan proses stokastik waktu diskret (𝑋_𝑛)_𝑛≥0 =

(𝑋0, 𝑋1, 𝑋2, … ) dengan nilai di dalam 𝐾 sehingga berlaku ℙ(𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋0 =

𝑥0, 𝑋1 = 𝑥1, … , 𝑋𝑛−1 = 𝑥𝑛−1, 𝑋𝑛 = 𝑥𝑛) = ℙ(𝑋𝑛+1= 𝑗|𝑋𝑛 = 𝑖) untuk setiap

Sifat rantai Markov secara umum adalah peluang kejadian saat ini hanya

dipengaruhi oleh kejadian tepat satu satuan waktu sebelumnya dan tidak

di-pengaruhi oleh kejadian di masa lampau.

Definisi 2.2.2

Rantai Markov dikatakan homogen waktu apabila peluang bersyarat tidak

bergantung pada n. Notasi 𝒫_𝑖𝑗 menyatakan peluang bahwa proses akan berada

di keadaan j apabila diketahui sebelumnya berada di keadaan i. Rantai

Mar-kov dapat direpresentasikan dalam matriks 𝒫 yang elemen-elemennya adalah

𝒫𝑖𝑗 = ℙ(𝑋1 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖)

Matriks ini disebut matriks transisi peluang untuk rantai Markov.

Contoh 2.2.2

Rantai Markov yang mendeskripsikan perubahan cuaca, direpresentasikan

oleh matriks

dipengaruhi oleh keadaan cuaca kemarin dan tidak dipengaruhi oleh cuaca

hari-hari sebelumnya.

(𝑋𝑛)𝑛≥0 = (𝑋0, 𝑋1, 𝑋2,… ). Peluang transisi 1 langkah dari perubahan cuaca

Peluang transisi n-langkah

Diberikan keadaan i dan j, 𝑛 ≥ 1

ℙ(𝑋𝑛 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖) adalah peluang bahwa rantai Markov yang dimulai di i

akan berada di j setelah n langkah.

Matriks dengan elemen pada baris ke-i kolom ke-j adalah ℙ(𝑋_𝑛 = 𝑗|𝑋₀ = 𝑖)

disebut matriks transisi n-langkah dari rantai Markov.

Persamaan Chapman-Kolmogorov

Persamaan Chapman-Kolmogorov digunakan untuk menghitung peluang

transisi 𝑛 + 𝑚 langkah, yakni untuk ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ₀ = ℕ ∪ {0}

Diberikan vektor peluang cuaca besok bila hari ini cerah,

𝕊 =𝑐𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑤𝑎𝑛 ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛

(1₂ 0 1_{2) ,}

𝕊𝑐𝑒𝑟𝑎ℎ+ 𝕊𝑏𝑒𝑟𝑎𝑤𝑎𝑛+ 𝕊ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 =1_{2 + 0 +}1_{2 = 1.}

Definisi 2.2.4

Diberikan rantai Markov (𝑋_𝑛)_𝑛≥0= (𝑋₀, 𝑋_1,𝑋_2,… ).

1. ℙ(𝑋_𝑛 = 𝑗) disebut distribusi rantai Markov pada waktu ke-n,

2. untuk 𝑛 = 0, ℙ(𝑋₀ = 𝑗) disebut distribusi awal dari rantai Markov,

3. vektor peluang 𝕊 = (𝕊₁ 𝕊₂ … 𝕊_𝑛) disebut distribusi stasioner dari rantai

Markov jika 𝒫 ∙ 𝕊 = 𝕊. Peluang Rantai Markov

Diberikan rantai Markov (𝑋_𝑛)_𝑛≥0.

Didefinisikan:

𝑓_𝑖𝑖𝑛 _{adalah peluang bahwa rantai Markov yang dimiliki dari keadaan i akan}

kembali ke keadaan i untuk pertama kalinya tepat setelah n transisi.

𝑓𝑖 adalah peluang bahwa rantai Markov yang dimulai dari keadaan i akan

kembali ke i setelah sejumlah hingga transisi.

Jadi 𝑓_𝑖 = ∑ 𝑓_{𝑛 𝑖𝑖}𝑛. Definisi 2.2.5

Diketahui rantai Markov (𝑋_𝑛)_𝑛≥0 dengan ruang keadaan 𝐾 dan 𝑝_𝑖𝑗𝑛 _{= (ℙ}𝑛₎

𝑖𝑗 = ℙ(𝑋𝑛 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖). Keadaan i dikatakan menyerap

C. Sifat-sifat dari Kalkulus

Diperhatikan barisan koefisien 1 − √1 − 𝑥 yaitu

Teorema 2.3.2 (Teorema Nilai Ekstrem)

Jika diberikan fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ dengan sifat:

1. f terdiferensial di 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), dan

2. c adalah pembuat maksimum atau minimum dari f,

Ambil barisan (𝑥_𝑛)_𝑛∈ℕ dan (𝑦_𝑛)_𝑛∈ℕ dengan 𝑥_𝑛 > 𝑐 dan 𝑦_𝑛 > 𝑐 ∀_𝑛∈ℕ

pada kedua ujung selang. Sehingga, f memiliki nilai minimum dalam selang

terbuka (𝑎, 𝑏). Hal ini mengakibatkan 𝑓(𝑐) merupakan nilai minimum lokal

dan c merupakan pembuat minimum dari f. Sehingga, karena f terdiferensial

pada c, dapat disimpulkan bahwa 𝑓’(𝑐) = 0.

Kasus 2. Misalkan 𝑓(𝑥) > 𝑑 untuk beberapa x dalam (𝑎, 𝑏). Berdasarkan

Teorema 2.3.2, diketahui bahwa f memiliki nilai maksimum pada c dalam

terjadi pada kedua ujung selang. Sehingga, f memiliki nilai maksimum dalam

selang buka (𝑎, 𝑏). Hal ini mengakibatkan 𝑓(𝑐) merupakan nilai maksimum

lokal dan c merupakan pembuat maksimum dari f. Oleh karena itu, karena f

terdiferensial pada c, dapat ditarik kesimpulan bahwa 𝑓’(𝑐) = 0.

Kasus 3. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑑 untuk semua x dalam [𝑎, 𝑏], maka f konstan pada

selang tersebut dan 𝑓’(𝑥) = 0 untuk semua x dalam (𝑎, 𝑏).∎ Lemma 2.3.4

Jika 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ merupakan fungsi kontinu dan 𝑓(𝑎) < 0, 𝑓(𝑏) > 0, maka

terdapat 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga 𝑓(𝑐) = 0. Teorema 2.3.5 (Teorema Nilai Antara)

Jika 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ merupakan fungsi kontinu dan 𝑦 ∈ ℝ dengan 𝑓(𝑎) < 𝑦 < 𝑓(𝑏) atau 𝑓(𝑏) < 𝑦 < 𝑓(𝑎), maka terdapat 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] sehingga 𝑓(𝑐) = 𝑦.

Bukti:

1. Jika 𝑓(𝑎) < 𝑦 < 𝑓(𝑏), maka didefinisikan 𝑔(𝑥) ≔ 𝑓(𝑥) − 𝑦 jelas bahwa

𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ fungsi kontinu.

𝑔(𝑎) = 𝑓(𝑎) − 𝑦 < 0 dan 𝑔(𝑏) = 𝑓(𝑏) − 𝑦 > 0

menurut Lemma 2.3.4 terdapat 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga

𝑔(𝑐) = 0 ⟺ 𝑓(𝑐) − 𝑦 = 0 ⟺ 𝑓(𝑐) = 𝑦.

2. Jika 𝑓(𝑏) < 𝑦 < 𝑓(𝑎), maka didefinisikan ℎ(𝑥) ≔ 𝑦 − 𝑓(𝑥) jelas bahwa

ℎ: [𝑎, 𝑏] → ℝ fungsi kontinu.

ℎ(𝑎) = 𝑦 − 𝑓(𝑎) < 0 dan h(𝑏) = 𝑦 − 𝑓(𝑏) > 0

menurut Lemma 2.3.4 terdapat 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga

Teorema 2.3.6 (Teorema Nilai Rata-Rata)

Jika f kontinu pada selang tertutup [𝑎, 𝑏] dan terdiferensial pada selang

terbuka (𝑎, 𝑏), maka ada suatu bilangan c dalam (𝑎, 𝑏) sedemikian sehingga

𝑓′_{(𝑐) =}𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎 .

Bukti:

Didefinisikan 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ sebagai 𝑔(𝑥): = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑏) − ℎ(𝑥 − 𝑏)

dengan ℎ =𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

𝑏−𝑎 . Dalam hal ini, g kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensial

pada (𝑎, 𝑏). Diperoleh juga 𝑔(𝑎) = 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) −𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

𝑏−𝑎 (𝑎 − 𝑏) = 0 dan

𝑔(𝑏) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑏) −𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)_𝑏−𝑎 (𝑏 − 𝑏) = 0 sehingga didapatkan 𝑔(𝑎) =

𝑔(𝑏). Jadi, menurut hipotesis dalam Teorema Rolle, haruslah terdapat suatu

titik c dalam (𝑎, 𝑏) sedemikian hingga 𝑔’(𝑐) = 0. Karena 𝑔′(𝑐) = 𝑓’(𝑐) − 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

𝑏−𝑎 , sehingga diperoleh 𝑓’(𝑐) −

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

𝑏−𝑎 = 0, dan didapatkan 𝑓’(𝑐) =

BAB III

PROSES PERCABANGAN BGW A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Proses Percabangan BGW

Proses percabangan (branching process) merupakan sebuah proses

stokastik dalam waktu diskret yang dikenalkan oleh Bienaymé, Galton dan

Watson sehingga dikenal juga dengan nama proses Bienaymé-Galton-Watson

(BGW). Proses BGW banyak digunakan pada model pertumbuhan dan

peluruhan populasi. Populasi dapat berupa gen mutan, neutron pada reaksi

rantai nuklir, ataupun hewan dengan siklus kelahiran tahunan. Pertumbuhan

populasi disebabkan karena individu-individu di dalam populasi

menghasilkan keturunan. Banyaknya keturunan dari setiap individu berbeda

tetapi memiliki pola distribusi yang identik. Pola yang dimiliki yakni

percabangan. Pola distribusi yang identik dapat digunakan untuk menghitung

peluang dari sifat-sifat keturunan maupun proses secara keseluruhan.

Proses percabangan digunakan untuk mendeskripsikan evolusi terhadap

waktu diskret dari satu generasi ke generasi berikutnya dalam suatu populasi.

Terdapat beberapa asumsi dasar yang sudah disepakati dan digunakan dalam

proses BGW. Jumlah individu awal pada generasi pertama diberi notasi 𝑍₀.

Generasi awal diberi label 0 dan memiliki 1 anggota individu (ancestor).

Hasil keturunan dari generasi pertama disebut generasi kedua, hasil keturunan

generasi kedua disebut generasi ketiga dan seterusnya. Banyak atau total

individu pada generasi ke-n dinotasikan dengan 𝑍_𝑛, 𝑛 ≥ 0. Banyaknya

keturunan dari setiap generasi populasi bersifat acak, dan mengikuti suatu

generation). Dalam proses percabangan BGW, ruang keadaan 𝕊 merupakan

himpunan bilangan bulat tak negatif. Untuk setiap 𝑛 ≥ 0, 𝑍_𝑛 merupakan

peubah acak. Peubah acak Y yang berdistribusi (𝑝_𝑘)_𝑘≥0 mendeskripsikan

banyaknya keturunan dari setiap anggota pada setiap generasi dari populasi

bersifat saling bebas atau independen. Jadi, untuk setiap individu pada setiap

generasi menghasilkan Y keturunan pada generasi berikutnya, dengan Y

adalah peubah acak yang bernilai ℕ₀ dengan distribusi peluang (𝑝_𝑘)_𝑘≥0.

Dengan kata lain,

ℙ(𝑌 = 𝑘) = 𝑝𝑘, 𝑘 = 0, 1, …

Sesuai dengan asumsi awal, banyak keturunan dari setiap individu akan

saling bebas menurut distribusi (𝑝_𝑘)_𝑘≥0. Proses percabangan BGW adalah

sebuah rantai Markov dengan peluang transisi 1 langkah diberikan oleh

𝑝(𝑖, 𝑗) = ℙ(𝑍𝑛+1 = 𝑗|𝑍𝑛 = 𝑖).

Jadi, bilangan 𝑝(𝑖, 𝑗) adalah peluang bersyarat 𝑍_𝑛+1 = 𝑗 bila diketahui 𝑍_𝑛 = 𝑖. Sehingga mudah dilihat 𝑝(0, 𝑖) = 0, 𝑖 ≥ 1 dan 𝑝(0,0) = 1. Proses

percabangan BGW (𝑍_𝑛)_𝑛≥0mempunyai 0 sebagai keadaan menyerap.

Perhatikan bahwa

identik dengan distribusi (𝑝_𝑘)_𝑘≥0. Hal tersebut menunjukkan bahwa distribusi

distribusinya tidak diperlukan perhitungan mulai dari awal keturunan, hanya

diperlukan 1 keturunan sebelumnya. Sifat itu tidak lain adalah sifat Markov

dari proses percabangan BGW.

Untuk 𝑍_𝑛 = 𝑖, dapat ditulis

𝑍𝑛+1 = ∑ 𝑌𝑘,𝑛= 𝑗

∞

𝑘=1

,

(𝑌𝑘,𝑛)_{1≤𝑘≤𝑖}dengan indeks n digunakan untuk mengindikasikan barisan saling

bebas berbeda untuk setiap n. Notasi n pada ruas kiri dapat diabaikan untuk

menghindari pengulangan indeks.

Menurut definisi nilai harapan peubah acak diskret diperoleh:

𝔼(𝑋)=∑𝑘. ℙ(𝑋 = 𝑘),

𝑘

dalam proses BGW diperoleh juga

𝑚 = ∑ 𝑘. ℙ(𝑋 = 𝑘)

Jadi, nilai rata-rata banyaknya keturunan dalam proses BGW adalah

𝑚 = ∑ 𝑘. 𝑝𝑘

∞

𝑘=0

Selanjutnya akan dicari fungsi pembangkit momen dari distribusi keturunan.

Diberikan q adalah peluang proses BGW yang dimulai dengan 1 individu

yang akan punah. Fungsi pembangkit momen dari distribusi keturunan:

𝑓(𝑠) = ∑ 𝑝𝑘. 𝑠𝑘 untuk |𝑠| ≤ 1

∞

𝑘=0

Proses dikatakan bertahan (survive) jika terdapat setidaknya satu individu

pada setiapgenerasi. Secara matematis, bertahan hidup ekivalen dengan

kondisi

{𝑍𝑛 ≥ 1, untuk semua n ≥ 0}.

Teorema 3.1.1

Misal (𝑍_𝑛)_𝑛≥0 adalah proses percabangan BGW dengan distribusi keturunan (𝑝𝑘)𝑘≥0. Diasumsikan 𝑝0+ 𝑝1 < 1.

1. Jika 𝑚 ≤ 1 , maka ℙ(𝑍_𝑛 ≥ 1, ∀𝑛 ≥ 0|𝑍₀ = 1) = 0.

2. Jika 𝑚 > 1, maka terdapat 𝑞 ∈ [0,1), ℙ(𝑍_𝑛 ≥ 1, ∀𝑛 ≥ 0|𝑍₀ = 1) = 1 −

𝑞 > 0, dengan peluang kepunahan q adalah nilai tunggal di dalam [0,1)

yang memenuhi persamaan 𝑓(𝑠) = 𝑠 saat 𝑚 > 1.

Bukti Teorema 3.1.1:

Dalam pembuktian teorema ini diperlukan beberapa sifat dari fungsi

pembangkit momen. Diingat kembali fungsi pembangkit momen dari peluang

𝑓(𝑠) = ∑ 𝑝𝑘𝑠𝑘. 𝑘≥0

Telah diketahui di awal bahwa fungsi pembangkit momen terdefinisi pada

(−1,1). Fungsi f terdefinisi pada 1 dan hanya akan dilakukan perhitungan

dalam bilangan positif, sehingga domain dari f adalah [0,1].

Lemma 3.1.2

Misalkan (𝑏_𝑛)_𝑛≥0 barisan bilangan real positif dan 𝑔(𝑡) = ∑_𝑛≥0𝑏_𝑛𝑡𝑛.

Asumsikan g ada pada [0,1), maka lim

𝑡→1−𝑔(𝑡) = ∑𝑛≥0𝑏𝑛.

Bukti:

Pembuktian dapat dillihat di buku Theoretical Probability for Applications,

Proposisi A1.9 Appendix karya SC.Port. ∎

Dari Lemma 3.1.2 ini didapat

Selanjutnya, kembali lagi pada proses BGW dan perhitungan fungsi

pembangkit momen dari 𝑍_𝑛.

Proposisi 3.1.3

Misalkan 𝑓₁ = 𝑓 dan 𝑓_𝑛+1 = 𝑓 ∘ 𝑓_𝑛 untuk 𝑛 ≥ 1. Untuk 𝑛 ≥ 1, fungsi

pembangkit momen dari 𝑍_𝑛 dengan 𝑍₀ = 1 adalah 𝑓_𝑛.

Bukti: Akan dibuktikan menggunakan induksi matematis.

Misal 𝑔_𝑛 adalah fungsi pembangkit momen 𝑍_𝑛 dan diketahui 𝑍₀ = 1. Telah

dimiliki

𝑔1(𝑠) = 𝔼(𝑠𝑍1|𝑍0 = 1) = 𝔼(𝑠𝑌) = 𝑓(𝑠) = 𝑓1(𝑠),

untuk 𝑛 = 1 diasumsikan 𝑔_𝑛 = 𝑓_𝑛. Diberikan 𝑍_𝑛 = 𝑘, distribusi 𝑍_𝑛+1 sama

dengan distribusi dari ∑𝑘_𝑖=1𝑌_𝑖 dimana 𝑌_𝑖 berdistribusi (𝑝_𝑘)_𝑘≥0 maka

𝔼(𝑠𝑍𝑛+1_|𝑍

𝑛 = 𝑘) = 𝔼 (𝑠∑𝑘𝑖=1𝑌𝑖)

= 𝔼(𝑠𝑌1)𝔼(𝑠𝑌2) … 𝔼(𝑠𝑌𝑘)

= (𝔼(𝑠𝑌1))𝑘

= 𝑓(𝑠)𝑘_.

Menggunakan sifat Markov

𝑔𝑛+1 = 𝔼(𝑠𝑍𝑛+1|𝑍0 = 1)

= ∑ 𝔼(𝑠𝑍𝑛+1_|𝑍

𝑛 = 𝑘)ℙ(𝑍𝑛 = 𝑘|𝑍0 = 1)

∞

= ∑ ℙ(𝑍𝑛 = 𝑘|𝑍0 = 1)𝑓(𝑠)𝑘 ∞

𝑘=0

= 𝑔𝑛(𝑓(𝑠))

Dengan demikian menggunakan hipotesis induksi dapat diperoleh, 𝑔_𝑛+1=

𝑔𝑛∘ 𝑓 = 𝑓𝑛∘ 𝑓 = 𝑓𝑛+1.∎

Setelah mendapatkan Lemma 3.1.2 dan Proposisi 3.1.3, akan dibuktikan

Teorema 3.1.1 yang dibagi menjadi dua kasus.

 Kasus 𝑚 < 1. Untuk perubah acak X yang bernilai di ℕ berlaku.

Sehingga ℙ(𝑋 ≥ 1) ≤ 𝔼(𝑋), digunakan pertidaksamaan dan Proposisi 3.1.3

untuk mendapatkan

ℙ(𝑍𝑛 ≥ 1|𝑍0 = 1) ≤ 𝔼(𝑍𝑛|𝑍0 = 1) = 𝑚𝑛.

Karena 𝑚 < 1

lim

𝑛→∞ℙ(𝑍𝑛 ≥ 1|𝑍0 = 1) = 0

dan karena konvergensinya bersifat cepat secara eksponensial. Diingat juga,

karena 0 merupakan keadaan menyerap untuk (𝑍_𝑛)_𝑛≥0, maka barisan kejadian {𝑍𝑛 ≥ 1} akan menurun, yakni

{𝑍+1 ≥ 1} ⊂ {𝑍𝑛 ≥ 1}.

Pada Proposisi 3.1.3 di atas

Misalkan q adalah peluang dari kepunahan. Didefinisikan

𝑞 = ℙ(𝑍𝑛 = 0 untuk setiap n ≥ 1|𝑍0 = 1).

Perhatikan bahwa

{𝑍𝑛 = 0 untuk setiap n ≥ 1} = ⋃ {𝑍𝑛≥1 𝑛 = 0}.

𝑞 = ℙ(𝑍𝑛 = 0 untuk setiap 𝑛 ≥ 1|𝑍0 = 0) = ℙ (⋃ {𝑍𝑛 = 0}|𝑍0 = 1

𝑛≥1 )

= lim_𝑛→∞𝑓𝑛(0).

Oleh karena itu,

𝑞 = lim_𝑛→∞𝑓𝑛(0). (3.2)

Sekarang didapatkan

𝑓𝑛+1(0) = 𝑓(𝑓𝑛(0)) (3.3)

karena𝑓_𝑛+1(0) dan 𝑓_𝑛(0) keduanya konvergen ke q dan f kontinu pada [0,1].

𝑓(𝑞) = 𝑞 dengan mengambil 𝑛 → ∞ pada (3.3). Jadi, q adalah titik tetap pada

f.

Bergantung pada m, akan didapat 𝑞 = 1 (punah) atau 𝑞 < 1 (peluang bertahan

hidup bernilai positif).

Pertama diperhatikan kasus 𝑚 = 1. Berlaku

𝑓′_{(𝑠) = ∑ 𝑘𝑝}

𝑘𝑠𝑘−1< ∑ 𝑘𝑝𝑘 = 𝑚 = 1 untuk 𝑠 < 1.

𝑘≥1 𝑘≥1

Untuk setiap 𝑠 < 1, menggunakan Teorema Nilai Rata-rata, terdapat 𝑐 ∈

(𝑠, 1) sehingga

𝑓(1) − 𝑓(𝑠) = 𝑓′_{(𝑐)(1 − 𝑠) < 1 − 𝑠,}

Menurut Teorema Nilai Antara didapatkan sekurang-kurangnya satu solusi di

[0, 1 − 𝜂) ⊂ [0,1) untuk persamaan 𝑔(𝑠) = 0 atau 𝑓(𝑠) = 𝑠. Sebut solusi ini

𝑠1. Akan ditunjukkan ketunggalan solusi persamaan 𝑓(𝑠) = 𝑠 pada [0,1).

Menggunakan kontradiksi, diandaikan ada 𝑡₁∈ [0,1) adalah solusi lain 𝑠₁ < 𝑡1. Karena 𝑓(1) = 1 , didapatkan 3 solusi pada persamaan 𝑔(𝑠) = 0 pada

Kontradiksi. Terbukti ada satu solusi tunggal dari persamaan 𝑓(𝑠) = 𝑠 pada [0,1].

Sampai di sini kita tahu, 𝑞 = 𝑠₁ atau 𝑞 = 1 karena ini adalah dua solusi dari

Andaikan 𝑞 = 1. Menggunakan (3.2) lim

𝑛→∞𝑓𝑛(0) = 𝑞 = 1. Jadi, untuk n yang

cukup besar, 𝑓_𝑛(0) > 1 − 𝜂. Menggunakan (3.4) dan dengan memisalkan 𝑠 = 𝑓𝑛(0), didapatkan

𝑓(𝑓𝑛(0)) < 𝑓𝑛(0).

Jadi, 𝑓_𝑛+1(0) < 𝑓_𝑛(0). Kontradiksi dengan (𝑓_𝑛(0))_𝑛≥1 adalah barisan naik.

Jadi, nilai q tidak sama dengan 1 dan haruslah merupakan solusi tunggal dari

𝑓(𝑠) = 𝑠 yang kurang dari 1. ∎

Proses BGW dikatakan subkritis, kritis atau superkritis berturut-turut

bergantung pada 𝑚 < 1, 𝑚 = 1, atau 𝑚 > 1. Proses BGW bertahan

selamanya jika dan hanya jika 𝑚 > 1. Parameter dari distribusi keturunan

untuk bertahan adalah m. Bagaimanapun juga, peluang 1 − 𝑞 dari selamanya

bertahan bergantung pada keseluruhan distribusi (𝑝_𝑘)_𝑘≥1melalui fungsi

pembangkit momen.

Representasi grafik akan memudahkan pemahaman tentang proses

(𝑍𝑛)𝑛≥0 , lihat Gambar 3.1. Gambar 3.1 menjelaskan tentang bertahannya

proses berkorespondensi pada pohon takhingga. Kepunahan proses

Gambar 3.1 Pohon Berhingga

Contoh:

1. Diketahui proses BGW dengan distribusi keturunan

ℙ(𝑌 = 0) = 1_{6 , ℙ}(𝑌 = 1) =1_{2 , dan ℙ}(𝑌 = 2) =1_3.

Pertama dihitung rata-rata keturunan tiap individu.

𝑚 = 𝔼(𝑌) =7_{6 > 1.}

Jadi peluang bertahan hidup 1 − 𝑞 pada kasus ini bernilai positif.

𝑓(𝑠) = ∑ 𝑠𝑘_{ℙ(𝑌 = 𝑘)}

1_{6 −}1_{2 𝑠 +}𝑠_{3 = 0}2

1_{6 −}1_{2 𝑠 +}1_{3 𝑠}2 _{= 0}

1₃(𝑠 − 1) (𝑠 −1_{2) = 0}

𝑠 = 1 atau 𝑠 =1₂

q adalah solusi pada [0, 1), sehingga 𝑞 =1

2 . Dengan kata lain, dengan berawal

dari sebuah individu tunggal ada peluang 1

2 untuk proses BGW akan bertahan

selamanya.

2. Lotka menggunakan distribusi Geometri untuk menyelesaikan keturunan dari

populasi laki-laki di Amerika dengan 𝑝₀ = ℙ(𝑌 = 0) =1

2dan 𝑝𝑖 = ℙ(𝑌 = 𝑖)

= (3₅)𝑖−1 1₅untuk 𝑖 ≥ 1,

dengan Y mempresentasikan jumlah anak laki-laki dari seorang pria selama

hidup. Perlu diingat,

dengan menggunakan deret Geometri didapatkan

1

(1 − 35)2

∙1_{5 =} 1

= 25_{4 ∙}1₅

= 5_{4 > 1.}

Sehingga, peluang punah kurang dari 1 merupakan solusi 𝑓(𝑠) = 𝑠:

𝑓(𝑠) =1_{2 + ∑ (}3₅₎𝑛−11_{5 𝑠}𝑛

Solusi yang bernilai kurang dari 1 adalah 𝑞 =5

6. Jadi, berdasarkan model

tersebut, peluang laki-laki untuk memiliki keturunan yang bertahan selamanya

Proposisi 3.1.2

Asumsikan m ( rata-rata keturunan) berhingga. Berlaku

𝐸(𝑍𝑛|𝑍0 = 1) = 𝑚𝑛, ∀𝑛 ≥ 0.

Bukti:

Akan dibuktikan dengan induksi matematika

𝔼(𝑍1|𝑍0= 1)= 𝔼(𝑌)= 𝑚 = 𝑚1.

Rumus untuk 𝑛 = 1, 𝑍_𝑛

𝔼(𝑍1|𝑍0 = 1) = ∑ 𝔼(𝑍𝑛+1|𝑍𝑛 = 𝑘)ℙ(𝑍𝑛 = 𝑘|𝑍0 = 1)

𝑘≥1

menggunakan sifat Markov diperoleh

𝔼(𝑍𝑛+1|𝑍0 = 1, 𝑍𝑛 = 𝑘) = 𝔼(𝑍𝑛+1|𝑍𝑛 = 𝑘).

Untuk setiap 𝑘 ≥ 1

𝔼(𝑍𝑛+1|𝑍0 = 1) = 𝔼 (∑ 𝑌𝑖

𝑘

𝑖=1

) = 𝑘 ∙ 𝑚

sehingga,

𝔼(𝑍𝑛+1|𝑍0 = 1) = ∑𝑘≥1𝑘𝑚ℙ(𝑍𝑛 = 𝑘|𝑍0 = 1)= 𝑚 ∙ 𝔼(𝑍𝑛|𝑍0 = 1).

Dari hipotesis induksi

𝔼(𝑍𝑛|𝑍0 = 1) = 𝑚𝑛

diperoleh

B. Persamaan Distribusi Total Keturunan

Pada subbab sebelumnya telah dijelaskan mengenai proses percabangan

BGW. Dalam subbab ini akan dibahas model populasi menggunakan proses

percabangan BGW.

Dengan menggunakan proses BGW akan dihitung peluang mutasi yang

muncul dari suatu populasi. Peluang mutasi yang dimiliki tiap individu yang

lahir di dalam populasi dinotasikan dengan µ.

3.1 Persamaan untuk distribusi total keturunan

Akan dihitung distribusi peluang dari

𝑋 = ∑ 𝑍𝑛 = 1 +

Untuk mencari distribusi dari X, akan dicari terlebih dahulu fungsi

pembang-kit momen dari X.

Fungsi pembangkit momen terdefinisi untuk 𝑠 ∈ [0,1].

Didapatkan persamaan untuk generasi awal 𝑍₁ sebagai berikut:

𝑔(𝑠) = 𝔼(𝑠𝑋_{) = ∑ 𝔼(𝑠}𝑋_|𝑍

1 = 𝑘)ℙ(𝑍1 = 𝑘|𝑍0 = 1)

𝑘≥0

. (3.5)

X merupakan jumlahan dari semua individu pada proses BGW. Untuk

mas-ing-masing k BGW, total kelahiran memiliki distribusi sama dari X.

𝔼(𝑠𝑋_|𝑧

Menurut persamaan 3.5 dalam subbab ini, didapatkan

𝑔(𝑠) = 𝔼(𝑠𝑋_{) = ∑ 𝑠}

Diamati fungsi f adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi keturunan

adalah

𝑓(𝑠) = ∑ 𝑝𝑘𝑠𝑘.

𝑘≥0

Dengan demikian,

dengan g merupakan persamaan umum dari distribusi keturunan, tetapi

seba-gian besar distribusi keturunan tidak dapat diselesaikan secara eksplisit

menggunakan persamaan ini.

3.2 Distribusi Total Keturunan dalam Kasus Khusus

Kita akan mempelajari (3.6) dalam kasus distribusi keturunan 𝑝₀ = 1 − 𝑝 dan 𝑝2 = 𝑝, p adalah parameter pada [0, 1].

Untuk 𝑛 ≥ 0, semua individu pada generasi ke n melahirkan dua individu

dengan peluang p dan tidak melahirkan dengan peluang 1 − 𝑝. Dalam kasus

ini memuat hingga generasi ke 𝑛 + 1. Secara biologi, dapat diambil contoh

dalam perkembangbiakan populasi bakteri atau virus yang akan membelah

diri menjadi dua atau mati.

Diingat kembali fungsi pembangkit momen dari X:

𝑔(𝑠) = ∑ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1)𝑠2𝑛−1.

∞

𝑛=1

Dipilih nilai ganjil karena keturunan berpasangan dan diawali dengan

indi-vidu tunggal.

Menurut persamaan (3.6) pada subbab 3.1,

𝑔(𝑠) = 𝑠𝑓(𝑔(𝑠)),

dengan f adalahfungsi pembangkit momen dari distribusi keturunan, yakni

Jadi,

𝑔(𝑠) = 𝑠(1 − 𝑝 + 𝑝𝑔(𝑠)2₎

jika dan hanya jika

𝑝𝑠𝑔(𝑠)2_{− 𝑔(𝑠) + 𝑠(1 − 𝑝) = 0.}

Untuk s tetap, misalkan𝑔(𝑠) = 𝑢didapatkan

𝑝𝑠𝑢2_{− 𝑢 + 𝑠(1 − 𝑝) = 0}

dan

𝑢2₋ 1

𝑝𝑠 𝑢 +

𝑠(1 − 𝑝)

𝑝𝑠 = 0

dengan melengkapkan kuadrat sempurna didapatkan

(𝑢 −_2𝑝𝑠)1 2−_4𝑝1_2𝑠2 +𝑠(1 − 𝑝)_𝑝𝑠 = 0.

Jadi,

(𝑢 −_2𝑝𝑠)1 2 =_4𝑝1_2𝑠2−𝑠(1 − 𝑝)_𝑝𝑠 = 1 − 4𝑝𝑠_4𝑝22_𝑠(1 − 𝑝)₂ .

Perlu diingat 1 − 4𝑝𝑠2(1 − 𝑝) > 0 jika dan hanya jika

𝑠2 _< 1

4𝑝(1 − 𝑝).

Karena 4𝑝(1 − 𝑝) ≤ 1 untuk p dalam (0, 1) didapatkkan 1

4𝑝(1−𝑝)≥ 1. Untuk

𝑠2 _< 1

Dari Lemma 2.3.1 pada Bab 2 dan persamaan (3.7) didapatkan,

𝑔(𝑠) =_{2𝑝𝑠 −}1 √1 − 4𝑝𝑠2(1 − 𝑝)

4𝑝2_𝑠2 =

1

2𝑝𝑠 (1 −√1 − 4𝑝𝑠2(1 − 𝑝))

Misalkan 𝑥 = 4𝑝𝑠2(1 − 𝑝) dalam Lemma 2.3.1 didapatkan

𝑔(𝑠) =_{2𝑝𝑠 ∑ 𝑐}1 𝑛(4𝑝(1 − 𝑝)𝑠2)𝑛

∞

𝑛=1

= ∑_{𝑛! (𝑛 − 1)!}(2𝑛 − 2)! (1 − 𝑝)𝑛_𝑝𝑛−1_𝑠2𝑛−1_. ∞

𝑛=1

Ekspansi deret pangkat ini menunjukkan g tidak memiliki singularitas di 𝑠 = 0, terdiferensial tak hingga banyak kali di 𝑠 ∈ (−1,1).

Sekarang kita memiliki perluasan deret pangkat untuk g yang akan

memberikan distribusi dari X. Dengan demikian didapatkan untuk 𝑛 ≥ 1

bahwa

C. Peluang Muncul Mutasi

Pada subbab ini akan dicari peluang munculnya mutasi dalam suatu populasi

menggunakan proses percabangan BGW. Beberapa notasi baru yang akan

digunakan adalah M untuk kejadian mutasi muncul dalam populasi dan 𝑀𝑐

untuk kejadian mutasi tidak pernah muncul dalam populasi.

Diberikan

𝑋 = ∑ 𝑍𝑛

𝑛≥0

= 1 + ∑ 𝑍𝑛,

𝑛≥1

dimana proses BGW dimulai dengan 1 individu, 𝑍₀ = 1. Perlu diingat nilai X

dapat mencapai takhingga. Proses (𝑍_𝑛)_𝑛≥0 dapat bertahan jika dan hanya jika

𝑋 = +∞. Jika terdapat kelahiran yang takhingga dan masing-masing memiliki

peluang µ dari mutasi maka peluang mutasi total dari seluruh kelahiran adalah

1.

Jadi, peluang mutasi tidak pernah muncul dalam populasi adalah

ℙ(𝑀𝑐_{) = ℙ(𝑀}𝑐_{: 𝑋 < +∞)}

menggunakan hukum peluang total diperoleh

Jadi,

Jumlah dari deretini dapat dihitung menggunakan Lemma 2.3.1

ℙ(𝑀𝑐_{) =} 1

dengan 𝑐_𝑛 sudah didefinisikan pada Lemma 2.3.1 dan diperoleh

ℙ(𝑀𝑐_{) =} 1

2𝑝(1 − 𝜇)2(1 − √1 − 4𝑝(1 − 𝑝)(1 − 𝜇)2).

(3.8)

Persamaan tersebut merupakan peluang tidak ada mutasi dalam suatu

populasi. Oleh karena itu, peluang mutasi muncul dalam suatu populasi

adalah sebagai berikut

D. Peluang Saat Total Keturunan Mencapai Tak Hingga

Pada subbab ini akan dihitung peluang suatu populasi saat total keturunan

mencapai takhingga. Diingat kembali distribusi total keturunan pada subbab

sebelumnya,

haruslah sama dengan 1. Pernyataan tersebut akan dibuktikan.

Sudah diketahui persamaan

Dengan menggunakan Lemma 2.3.1, disusun ulang bentuk persamaan

=_{2𝑝 ∑ 𝑐}1 𝑛(4𝑝(1 − 𝑝))𝑛 ∞

𝑛=1

,

dengan barisan (𝑐_𝑛)_𝑛≥1 didefinisikan dalam Lemma 2.3.1.

Misalkan 𝑥 = 4𝑝(1 − 𝑝) didapat

Selanjutnya dari persamaan tersebut dibagi menjadi dua kasus yang akan

dipelajari lebih lanjut, yaitu saat 𝑝 ≤1

∑ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1) ∞

𝑛=1

= _{2𝑝 (1 −}1 (−1 + 2𝑝)) =_2𝑝1 (2 + 2𝑝) =1 − 𝑝_𝑝

tidak bernilai sama dengan 1 (kecuali untuk 𝑝 =1 2).

Mengingat definisi dari X, diperoleh

𝑋 = ∑ 𝑍𝑛

𝑛≥0

dengan (𝑍_𝑛)_𝑛≥0 adalah proses percabangan BGW. Catat bahwa 𝑍_𝑛 adalah

bilangan bulat positif atau 0. Sehingga X berhingga jika dan hanya jika 𝑍_𝑛 = 0 untuk setiap n yang lebih besar dari bilangan bulat tertentu. Pernyataan

tersebut ekivalen dengan pernyataan berikut, nilai X berhingga jika dan hanya

jika proses BGW (𝑍_𝑛)_𝑛≥0 punah.

Mudah untuk memeriksa bahwa untuk kepunahan BGW dalam kasus

ini jika dan hanya jika 𝑝 ≤1

2. Jika 𝑝 > 1

2 maka generasi selanjutnya akan

bertambah banyak dan menuju tak hingga.

Diamati X bernilai berhingga dengan peluang

∑ ℙ(𝑋 = 2𝑛 − 1|𝑍0 = 1)

∞

𝑛=1

.

Deret ini tidak memuat kemungkinan bahwa 𝑋 = ∞. Hal tersebut merupakan

penyebab saat nilai 𝑝 >1

Selanjutnya dimiliki

populasi dan setiap kelahiran secara independen gagal membawa mutasi.

Kemudian diamati barisan (𝑋 ≥ 𝑘) untuk 𝑘 ≥ 1 adalah menurun, yakni untuk 𝑘 ≥ 1

{𝑋 ≥ 𝑘 + 1} ⊂ {𝑋 ≥ 𝑘}.

Oleh karena itu, menggunakan Proposisi 3.1.2 didapatkan

lim

Selanjutnya, menggunakan penjelasan yang sama diperoleh

lim

𝑘⟶∞ℙ(𝑀𝑐; 𝑋 ≥ 𝑘) = ℙ(𝑀𝑐; 𝑋 = +∞ ).

Saat k menuju takhingga pada persamaan (3.9) didapatkan

lim

𝑘⟶∞ℙ(𝑀

𝑐_{; 𝑋 = +∞) ≤ ℙ(𝑋 = +∞ ) lim}

𝑘→∞(1 − 𝜇)

𝑘−1_{= 0 .}

BAB IV

PENERAPAN PROSES PERCABANGAN DALAM BIDANG BIOLOGI A. Penerapan Pada Perhitungan Peluang Patogen yang Kebal Terhadap

Obat

Proses percabangan waktu diskret dapat digunakan untuk memodelkan

kemunculan patogen yang kebal terhadap obat selama pengobatan. Pada

patogen yang kebal obat, patogen bertambah banyak dengan cara membelah

diri. Populasi patogen terus bertumbuh sehingga memiliki kemungkinan

munculnya patogen yang kebal terhadap obat selama proses penyembuhan.

Resistensi terhadap obat merupakan ancaman konstan terhadap kesehatan

individu yang sedang dirawat untuk berbagai penyakit, seperti HIV,

tuberkulosis, dan kanker. Ini juga merupakan ancaman bagi keseluruhan

populasi karena ada risiko bahwa penyakit yang dapat diobati dapat

digantikan oleh yang tidak dapat diobati.

Dalam menghitung peluangnya, terlebih dahulu diasumsikan beberapa hal

terkait. Peluang patogen dapat mati pada setiap waktu diskret dinotasikan

dengan 1 − 𝑝. Sehingga didapatkan peluang patogen membelah diri menjadi

dua adalah p. Setiap patogen baru memiliki peluang kebal terhadap obat sebesar μ.

Populasi dimulai dengan patogen yang sensitif obat sejumlah N patogen

dan tidak ada patogen yang kebal terhadap obat. Diberikan asumsi bahwa

pengobatan berhasil, jika semua patogen punah sebelum patogen yang kebal

bahwa patogen normal akan mudah dengan cepat digantikan oleh patogen

yang lebih kuat saat terjadi jeda selama masa pengobatan dan tidak terdapat

patogen yang kebal obat selama awal pengobatan. Untuk menghitung peluang

patogen kebal obat secara sederhana hanya dengan 2 parameter setidaknya

dapat berguna. Di lain pihak, peluang mutasi yang dibawa oleh tiap individu

adalah 𝜇.

Dalam tulisan ini akan dipelajari lebih lanjut untuk mengevaluasi risiko

pengobatan yang berpengaruh terhadap munculnya patogen kebal obat. Pada

awal pengobatan diberikan beberapa asumsi, yakni: bahwa tanpa pengobatan,

patogen yang kebal terhadap obat akan mati dengan cepat dan tidak bersaing

oleh patogen sensitif obat. Namun, dengan adanya obat, patogen yang sensitif

obat akan melemah (seberapa banyak dilemahkan tergantung pada

kemanjuran obat) dan ini memberikan keunggulan pada patogen yang kebal

terhadap obat untuk menapis pengobatan, tetapi hal tersebut berlaku jika

patogen mutan muncul sebelum obat mampu membasmi semua patogen. Oleh

karena itu, di dalam model matematika ini yang menentukan hasil pengobatan

adalah apakah total pembasmian terjadi sebelum munculnya mutasi kebal

obat. Model juga dapat digunakan untuk menghitung peluang dari

pemberantasan patogen sebelum patogen yang kebal obat muncul.

Proses percabangan yang sangat sederhana dapat digunakan untuk

memodelkan pergerakan dari patogen yang sensitif obat selama pengobatan.

Seperti yang sudah disebutkan, diasumsikan bahwa pada setiap unit waktu,

patogen dapat mati dengan peluang 1 − 𝑝 atau menghasilkan keturunan