Ⅱ. 이론적 논의
2.5. 기계 시스템의 모델링
2.1.1. 용수철
용수철은 기계 시스템이 외력에 의한 변형에 저항하는 성질 을 나타내기 위해 사용된다. 이때 변형은 압축 또는 팽창을 의미하는데 그림 2-16은 시스템이 변위(
)만큼 팽창되었을 때를 용수철의 변형으로 나타낸 것이다. 변형된 정도 즉, 변위
는 가해진 외부에서 가해진 힘 (
)에 비례하며,
는 비례 상수이다.
가 커질수록 해당 시스템이 변형 에 저항하는 정도가 큰 것으로 해석된다.[그림 2-16] 용수철 기계 시스템이 변 형에 저항하는 성질을 표상하는 도구.
2.1.2. 대시포트(dashpot)
대시포트는 유체 안에서 물체를 움직이거나 마찰력이 있는 바닥 위에서 물체를 움직일 때 외력에 저항하는 성질을 나타내기 위해 사용한다. 차량의 서스펜션 시스템을 구성하는 쇼크 앱소버는 차량에 발 생한 진동을 피스톤과 유체 사이 마찰을 이용해 감쇄시키는 장치로서 대 시포트로 모델링하는 대표적인 사례이다. 그림 2-17은 모델링 기본 구성 요소로서의 대시포트를 나타낸 것이며, 이때 저항하는 성질 즉, 제동력 (damping force)은 물체의 속력이 빠를수록 증가하며 이를 식으로 쓰면 식 (2)와 같다 (
는 댐핑 계수이다).
[그림 2-17] 대시포 트 마찰에 의한 제동 력을 나타내기 위해 사용한다.
(2)
피스톤의 속력이 느릴 때 통상 제동력은 속력에 비례하는 것으로 가 정하나, 피스톤의 속력이 충분히 빠른 경우에는 속력과 제동력을 선형적 관계로 보지 않는다. 물체의 속력이 충분히 빠른 경우에는 유체에서의 와류와 같은 새로운 효과가 개입하기 때문이다. 실제로 기계 시스템에서 피스톤의 움직임은 느린 속력으로 취급하므로 식 (2)와 같이 다룬다.
2.1.3. 질량체
질량체는 관성을 표상하기 위한 도구이다. 앞서 언급한 뉴턴 의 운동 제 2법칙에 의해 질량이 커질수록 물체가 특정 가속도로 움직이 도록 하기 위해서는 더 큰 힘을 가해야 한다.
[그림 2-18] 질량체 기계 시스템을 모델 링 한 때 관성을 표 상하기 위한 도구이 다.
2.1.4. 용수철-댐퍼-질량체 시스템(spring-damper-mass system) 차량 동역학은 차량이 외부로부터 힘을 받았을 때 차량의 물 리적 특성 및 운전자에 의한 입력 조건에 따라 나타내는 반응을 연구하 는 공학 분야이다. 이는 고전 역학을 기반으로 하고 있는데 용수철-댐퍼 -질량체 시스템이 다양한 조건하에 나타내는 변화를 운동 방정식의 해 를 구함으로써 도출할 수 있다. 용수철-댐퍼-질량체 시스템은 1-DOF 시스템으로 자동차 모델링의 기본 단위이며 이것을 여러 개 조합하거나 차체의 회전각 등 다른 변수들을 첨가하여 더 복잡한 모델을 만들 수 있 다. 상황에 따라서는 그림 2-19의 (a)와 같이 댐핑을 생략하여 마찰이 없는 이상적인 모델을 만들기도 한다.
(a) (b)
[그림 2-19] (a) 용수철- 질량체 시스템, (b) 용수철-댐퍼-질량체 시스템 x는 질량체의 변위, k는 용수철의 탄성 계수, c는 댐핑 계수이 다. (R.E.Blake, Basic vibration theory).
(3)용수철-댐퍼-질량체 시스템의 운동 방정식은 뉴턴의 운동 제 2법칙에 기반한다. 합력을 결정하기 위해 고려해야 할 힘은 용수철-댐퍼-질량체 시스템 내부의 힘과 외부에서 작용하는 힘이다. 내부의 힘은 움직임을 감쇠시키는 마찰력 그리고, 용수철에 의한 탄성력이며, 외부의 힘은 고려 하는 상황에 따라 선택하면 된다. 식 (3)은 이러한 힘들을 고려한 운동 방정식의 일반형이다. 힘은 위치(
)의 함수로 나타낼 수 있으므로, 운동 방정식의 해를 구하면 시간에 따라 차량 모델 시스템의 위치가 어떻게변하는지 알 수 있다. 식 (3)은 시스템에 가한 힘
(외력, input)와 질량 체의 변위
(output) 사이의 관계를 기술하는 시간에 대한 2차 미분 방정 식이다. 기계 시스템 모델링의 세 가지 기본 구성 요소와 이 방정식을 이 용하면 다양한 시스템을 모델링하여 외부 힘에 대한 시스템의 반응을 설 명할 수 있다.1) 댐핑이 없는 자유 진동
용수철을 통해 벽에 수평으로 연결된 질량체가 마찰이 없는 바닥 면에 가만히 놓여 있다. 질량체를 잡고 힘을 가해 용수철을 늘린 상태에서 가만히 놓았다. 댐핑이 없는 이상적인 용수철을 가정하면 이는 외력과 댐핑이 없는 시스템이며, 시간에 따른 질량체의 위치 변화를 기 술하기 위한 운동 방정식은 식 (4)와 같다.
(4)질량체의 평형점을
으로 정의했을 때, 일반해의 형태는 다음과 같 다.
sin
cos
(단,
)이 결과는 통상 우리가 조화 진동이라 부르는 운동 패턴이며, 그림 2-20 와 같이 진폭이 일정하게 유지된다. 그러나 이것은 댐핑을 무시한 이상 화된 모델이며 댐핑이 항상 존재하는 실제 기계 시스템에서는 기대하기 어렵다.
[그림 2-20] 조화 진동 댐핑과 외력이 없으므로 진폭에 변화가 없다.
2) 댐핑이 있는 자유 진동
그네를 타는 아이가 지속적으로 주기적인 힘을 가하지 않는 다면 그네의 진동은 이내 멈추게 된다. 마찬가지로, 진동하는 용수철은 이를 지속하기 위한 힘이 없이는 영원히 진동할 수 없으며 언젠가는 정 지 상태로 돌아온다. 이것은 용수철이 처음에 가지고 있던 에너지가 손 실되었음을 의미하며, 기계 시스템의 모델링에서 이러한 에너지 손실을 표상하는 것이 댐퍼이다. 질량-댐퍼 시스템은 그림 2-19의 (b)와 같이 나타낸다.
여기서 에너지 손실은 방식에 따라 변위에 의존하는 형태가 달라진 다. 물체와 접촉하는 표면 사이의 마찰에 의한 에너지 손실의 경우 마찰 력은 속력에 무관한 것으로 취급되기도 한다. 그러나 유체 속의 물체는 상황이 다르다. 유체 속에서 움직이는 물체는 유체의 점성에 의해 에너 지가 손실되는데 이를 점성 댐핑(viscous damping)이라 한다. 자동차의 쇼크 앱소버(shock absorber)는 점성이 큰 유체를 피스톤에 채워 피스톤 의 움직임을 빠르게 감쇠시키는 장치로서 이를 이용한 대표적인 예시이 다. 점성 댐핑의 경우 마찰력은 유체와 물체 사이 상대적인 속력에 비례 하는 것으로 취급한다. 이와 달리 공기 중을 빠르게 낙하하는 물체에 작 용하는 공기 저항은 속력의 제곱에 비례하는 형태로 사용한다. 이는 상 대적으로 점성이 작은 유체 속에서 물체의 속력이 빨라질 때 생기는 추 가적인 효과로 인해 속력에 의존하는 형태가 달라진 것이다. 이러한 외
부적 댐핑 이외에 물체가 변형될 때 물체 내부에서도 에너지 손실이 일 어난다. 이것을 구조적 댐핑(structural damping)이라 하는데, 여기서는 다루지 않는다.
자동차와 같은 기계 시스템에서는 일반적으로 점성 댐핑을 고려한다.
따라서 운동 방정식은 식 (5)와 같이 쓸 수 있다.
(5)
,
(
,
) (6)식 (5)는 식 (6)과 같이 변형할 수 있으며, 이때
는 댐핑 계수이다.식 (6)에 제시된 방정식의 해를
의 형태로 가정하고, 이를 식(6)에 대입하면, 식 (7)-1과 같은 관계를 얻는다. 이때 의 형태는 식 (7)-2와 같다.
(7)-1 ±
(7)-2
3) 바닥 들뜸(Base Excitation)
바닥 들뜸은 시스템이 놓인 바닥이 올라오는 것을 의미한다.
바닥 들뜸은 서스펜션을 고려한 자동차가 방지턱을 넘어가거나 지진에 의해 건물이 세워진 지반이 흔들리는 상황에 대한 모델링에 적합하다.
그림 2-21은 바닥 들뜸 모델과 좌표계를 나타낸 것이다. 정지 상태의 바
닥을 기준으로 바닥이 움직인 변위는
, 질량체의 초기 위치를 기준 으로 질량체의 변위는
이다. 이때 탄성력과 댐핑을 결정하는 상대적 인 변위는
가 되므로 운동 방정식은 식 (11)과 같이 쓸 수 있 다.
[그림 2-21]바닥 들뜸 모델 및 좌표계 설정 (D.S.Epp, 2003)
(11)이때 안정 상태의 해를 가정하면 진폭과 위상차의 형태를 식 13-(1), 13-(2)와 같이 얻을 수 있다. 이 역시 강제 진동의 경우와 비슷하게 진 동수의 비와 댐핑 계수에 의존함을 알 수 있다.
13-(1)
tan
(13-2)
만일 바닥 프로파일 변화의 진동수가 시스템의 고유 진동수와 같다면 질량체의 진동 진폭은 급격히 증가할 것이다. 이것을 고려해야 하는 경 우가 바로 여러 개의 방지턱을 일정 간격으로 배치할 때이다. 방지턱의 설치로 인해 발생하는 바닥 프로파일의 변화 주기가 자동차의 고유 진동 수에 근접할수록 자동차는 더욱 큰 폭으로 흔들리게 될 것이다.
2.1.5. 자동차 모델링 및 수학적 분석의 실제
앞서 살펴본 바와 같이 미분 방정식의 해는 시간에 따라 복 잡한 시스템의 변화가 어떻게 나타나는지를 보여준다. 차량 동역학 분야 의 연구에서는 이러한 이론적 바탕으로 시간에 따라 나타나는 시스템의 변화를 시뮬레이션을 이용해 구현하여 실험 결과와 비교하는 방식으로 좀 더 정교한 설명과 예측을 위해 노력한다. 그림 2-22는 차량 모델링의 실제를 보여준다. 이는 네 개의 서스펜션 시스템 중 1개만을 대상으로 한 2-DOF 1/4 모델로서 m1, m2는 각각 서스펜션의 용수철이 받치고 있 는 차체의 질량(sprung mass)과 용수철 아래 위치한 타이어와 휠의 질 량(unsprung mass)이다. k와 kt는 각각 서스펜션의 용수철과 타이어의 탄성 계수이다. 또한,
는 타이어와 접촉한 지점에서 노면 프로파일 의 변화를 시간에 따라 나타낸 함수이다.
[그림 2-22] 자동차 모델링의 실제(O. Terefe; G. Lemu, 2018). (a)는 요철이 있는 노면을 진행하는 자동차의 1/4 모델을, (b)는 (a)의 힘 다이어그램이다.
이와 같이 차량이 요철이 있는 노면을 지나가는 경우 바닥 들뜸으로 취 급하여 그림 2-22의 (b)와 같이 힘 다이어그램으로 나타낼 수 있으며, 이를 바탕으로 운동 방정식을 작성할 수 있다. 뉴턴의 운동 제 2법칙을 바탕으로 하면 m1과 m2에 대한 운동 방정식은 각각 식 (14), (15)와 같 이 나타낼 수 있다.
(14)
(15)이 두 방정식의 해는 각 질량체의 시간에 따른 변위를 보여준다. 그러 나 이는 간단한 모델을 바탕으로 한 분석이므로, 실제 현상과 모델을 통 한 예측 사이에 정합성을 높이기 위해서 더 정교한 모델을 만들 필요가 있다.