Ⅳ. 연구 결과
4.1. 학생들의 모델 기반 탐구의 양상
4.1.4. 모델에 현상을 반영하기
4.1.4.2. 모델 수정하기
데이터에 비추어 모델의 설명력이 회의적인 것으로 평가된다 면 모델은 설명할 수 없는 현상을 설명하도록 수정되어야 한다. 모델 수 정의 맥락은 학생들이 가장 큰 어려움을 호소했던 과정인 동시에 가장 활발한 논의가 일어났던 과정이기도 하다.
일단, 모델이 데이터에 나타난 경향성의 특정 측면을 설명하지 못하는 것으로 판단되면 학생들은 모델을 비판적인 시각으로 바라보게 된다. 이 러한 입장의 변화는 학생들이 모델 수정의 필요성을 인식하는 계기가 된 다. 모델을 수정하는 목적은 ‘모델이 설명할 수 없는 현상을 설명할 수 있게 하는 것’이다. 그러나 이러한 필요성의 인식과 모델의 수정 사이에 는 논리적 과정으로는 메울 수 없는 불연속성이 존재한다. 이는 모델을 수정하는 것이 비형식적 과정이기 때문이다. 그러나 전문가들은 모델을 수정하여 설명 범위를 확장하거나 새로운 모델로 대체하는 효율적인 방 법을 알고 있으며, 이는 전문가들의 오랜 경험에서 나오는 것으로 알려 져 있다(Veermans, 2006). 따라서 이러한 경험이 없는 학생들에게 모델 수정은 한 번도 경험해보지 못한 어려운 과정일 것이다. 이에 교사는 학 생들이 모델 수정 시 하나의 전략으로 사용할 수 있도록 ‘이상화 해제
(De-Idealization)’ 개념을 모델링 수업에 포함하였다. 이러한 전략은 학 생들이 모델 수정의 초점을 ‘모델에 포함된 이상화 조건을 되돌린다’는 목적에 두게 함으로써 모델 수정을 도울 수 있다고 생각하였기 때문이 다. 따라서 학생들의 모델 수정은 주로 모델에 포함된 이상화 조건을 해 제하는 방식으로 나타났다. 먼저, 관련 논의 사례 19를 제시하겠다.
#19
학4: 선생님 저 궁금한 게 생겼는데요. 속력은 기준점이 여기잖아요. 근데 충돌 하는 건 여기잖아요. 근데 이만큼 오는 동안 계속 속력이 일정하지가 않 은데 속력은 이걸 쓰고.. 이걸로만 해도 돼요. 값을??
교사: 지금 학4이가 말한건 뭐냐면 모델 2.0의 가장 큰 안좋은 점을 지적했어.
내가 아까 사실 그걸 기다리면서 추가할 게 있냐고 물어본 거거든? 박 았지. 박고 쭉 올라가잖아 실제로는. 최대 가속도가 나타난 지점이 박은 지점하고 완전 다르거든? 학4이 그말 한 거죠?
학4: 네
교사: 그러니까 학4가 지금 한 말이 모델 2.0에 애초에 없었어요. 모델 2.0은 애초에 뭘 가정하고 만든 거에요? 불러 보세요.
학2: 속도가 등속도 운동
교사: 학4야, 그러면 여기에 모델 2.0에 원래 가정이 뭐였던 거야?
학4: 속도를 일정하게 둔다. 하나로.
학1: 근데 저거 v가 충돌 직전 속도 아니에요?
교사: 맞아요. 충돌 지점에서 그냥 최대 가속도가 나온다는 걸 가정해 버렸잖아요.
학4: 맞아요
교사:‘쾅’ 충돌하는 순간 최대 가속도가 나온다고 가정했던 거지.
학2: 와 그거 다 보고 있었는데 왜 생각 못했지?
사례 19는 모델 2.0이 실험 데이터를 잘 설명하지 못한다는 판단하에 학생들이 모델 2.0의 수정 방향을 모색하는 과정에서 나타난 논의이다.
이때 학생 4는 ‘속력은 기준점이 여기잖아요. 근데 충돌하는 건 여기잖아 요. 근데 이만큼 오는 동안 계속 속력이 일정하지가 않은데 속력은 이걸 쓰고.. 이걸로만 해도 돼요?’라고 의문을 제기하고 있다.
학생 4는 그림 4-19(a)에 나타난 것과 같이 RC 카의 최대 가속도가 나 타나는 지점이 RC 카와 방지턱의 최초 접촉 지점과 다르다는 사실에 주
목하였다. 즉, ‘바퀴가 방지턱에 충돌하는 순간 최대의 가속도가 나타난 다’는 모델 2.0의 이상화 조건(그림 4-19(b))이 실제 현상과 어긋난다 생 각하고 문제를 제기한 것이다.
최대 가속도 지점 최초 충돌 지점
(a)
이상화 조건
(b)
[그림 4-19] (a) RC 카의 최대 가속도 지점 (b) 모델 2.0과 이에 포함된 이상화 조건
모델 2.0의 이상화 조건에 관한 학생 4의 지적은 모델 2.0에서 3.0으로
2는 충돌 지점과 최대 가속도 지점의 차이가 왜 나타나는가에 관해 모델 2.0에 용수철이라는 중요한 요소가 반영되어 있지 않다는 점에 주목한다.
실제로 모델 2.0은 RC 카를 탄성이 없는 구로 가정하고 있으므로 최초 충돌 지점에서 최대 가속도가 나타난다는 가정을 포함하게 된다. 만일, RC 카를 탄성이 있는 물체로 본다면 용수철이 최대로 수축했을 때 가속 도가 최대인 지점이 나타나게 될 것이다. 따라서 RC 카가 방지턱과 최 초로 접촉한 지점 즉, 최초 충돌 지점과 최대의 가속도가 나타난 지점은 일치하지 않는다. 다음 제시하는 사례는 이와 관련된 학생들과 교사의 대화이다.
#22
학2: 네, 그러니까 용수철이라고 생각하면, 어차피 리얼로 용수철이니까. 여기서 탄성 퍼텐셜을 힘으로 식을 표현해서 바꿔서..
교사: 지금 학2이가 탄성을 말하는 이유가 뭐에요?
학3: 서스펜션 때문에
교사: 지금 서스펜션 넣고 싶은 거잖아요. 그럼 저 1,2,3,4 에서 뭐랑 관련 있는 거에요.
학1: 힘은 일정하게 작용?
교사: 그렇죠. 모델 2.0은 힘이 일정하게 작용한다고 가정하고 그냥 F 이렇게 했잖아.
학2: 그러니까요
교사: 근데 진짜 일정하냐고?
학2: 안 일정해요.
교사: 안 일정한 이유는 뭐야?
학2: 스프링
위 사례에서 학생 2가 모델 2.0에 용수철을 도입해야 할 필요성을 인식 했다는 점에서 주목할 필요가 있다. 학생 4의 지적과 학생 2의 용수철 도입은 직접적인 논리적 연관성을 갖지는 않는다. 그러나 그림 4-19(b) 의 이상화 조건 ④와 달리 실제 현상에서는 ‘최초 충돌 지점과 가속도 최대 지점이 일치하지 않는다’는 학생 4의 지적은 모델 수정의 문제를
‘모델의 어떤 조건을 왜 바꾸어야 하는가’에 관한 문제로 환원시키는 역 할을 한다. 이에 학생 2는 현재 모델이 고려하고 있지 않은 요인 중 이
상화 조건과 실제 현상의 괴리를 해소할 수 있을 만한 것으로 용수철을 선택하였다. 그림 4-20(a)는 학생 2가 이 과정에서 그린 그림이다. 이는 댐퍼를 반영하지 않았다는 점을 제외하면 그림 4-20(b)에 제시한 전문가 들이 일반적으로 사용하는 자동차의 1/4 모델(Quarter car model)과 비 슷하다.
(a) (b) [그림 4-20] (a) 학생 2가 모델 2.0에 용수철을 도입하여 그린 그림.
(b) 전문가들이 사용하는 1/4 자동차 모델, M.Bruqi(2017).
학생 4와 학생 2는 모두 실험 데이터의 특정 측면을 모델이 설명할 수 없을 때 그것을 설명하기 위해 모델을 변형하려 노력하였다. 학생 4는 실제 현상을 고려하여 모델 2.0에서 특정 이상화 조건이 실제 현상과 어 긋남을 지적하였고, 학생 2는 학생 4가 지적한 이상화 조건을 해제하여 현상을 반영하기 위해 용수철이라는 새로운 요인을 도입하였다. 즉, 학생 4는 모델 수정의 초점을 제공함으로써 모델 수정 맥락의 불확실성을 감 소시키는 역할을 하였다고 볼 수 있다. 또한, 학생 2가 학생 4의 지적을 반영하여 모델을 수정함에 있어 ‘용수철’이라는 새로운 요인을 도입한 것 은 용수철이 실험 데이터의 새로운 측면들을 설명하는 데 중요한 요인이 라고 생각했기 때문일 것이다. 이는 학생 2가 모델이 새로운 요인을 포 함하면서 조금 더 복잡해지고 이를 통해 설명력이 확장됨을 인식했음을
시사한다.
요컨대, 모델 2.0에서 3.0으로의 수정은 이상화 조건의 해제를 위해 모 델에 포함된 객체의 구조를 정교화함으로써 이루어졌다. 더불어, 학생 4 의 지적이 RC 카가 방지턱을 넘어가는 장면을 면밀히 관찰한 결과였음 을 고려할 때 현상이 일어나는 과정을 객체 수준에서 직접 관찰할 수 있 었다는 사실은 중요한 역할을 한 것으로 생각된다. 이상화 조건 중 어떤 것을 해제할 것인가를 고민하는 과정은 ‘모델의 조건 중 어느 부분이 실 제와 다른가’ 또한, ‘그러한 차이가 실험 데이터를 설명하지 못하는 중요 한 원인을 제공하는가’에 관한 판단과 직결된다. 현상이 일어나는 장면을 직접 관찰할 수 있다는 점은 이러한 판단에 단초를 제공하여 학생들이 모델을 수정하는 데 도움을 줄 수 있다고 생각된다.
용수철이라는 요인을 모델 2.0에 도입하게 되면서 모델 2.0에 전제된 기 존 이상화 조건들은 표 4-4와 같이 수정되었다. 이는 RC 카를 강체가 아닌 탄성체로 취급하게 되면서 기존 이상화 조건에 변화가 생겼기 때문 이다. 그러나 기존 모델에 용수철을 도입하여 3.0으로 수정했다 해서 모 델 2.0에 관한 비판점이 바로 해소되는 것은 아니다. 앞서 모델 2.0이 비 판받았던 이유는 접촉시간이 짧은 경우 실험 데이터를 설명할 수 없으 며, 너비가 넓은 방지턱에서 충돌 속도가 큰 경우 가속도의 이상 증가 현상을 설명할 수 없기 때문이었다. 이러한 상황에서 표 4-4의 다섯 번 째에 제시된 ‘접촉시간 일정’ 조건은 모델 2.0의 설명력을 감소시키는 주
[표 4-4] 모델 2.0과 모델 3.0의 이상화 조건
모델 2.0의 이상화 조건 모델 3.0에 의한 이상화 조건의 변화 1 RC 카는 탄성이 없는 구로 가정한다 RC 카는 탄성이 있는 물체이다
2 충격력은 충돌면에 수직이다 충격력의 방향은 지면에 수직이다
3 충격력은 일정하게 작용한다 충격력은 일정하지 않다
4 바퀴가 방지턱에 충돌하는 지점에서 최대의 가속도가 나타난다
충돌 지점과 최대 가속도 지점은 일치하지 않는다
5 RC 카와 방지턱의 접촉 시간은 모두
같다 RC 카와 방지턱의 접촉 시간은 다를 수 있다
요한 원인으로 지적되어 왔다. 이와 관련된 주장은 학생 2에 의해 지속 적으로 제기되어 왔는데 이는 트래커 데이터를 정리하는 역할을 맡았던 학생 2가 매 충돌마다 접촉시간에 상당한 차이가 있음을 인식하고 있었 기 때문이다. 다음 대화는 이러한 상황을 잘 보여준다.
교사: 설명할 수 있는 부분만 한번 찾아봐요. 칠판에 모델 2.0을 다시 잘 그려 놓을 테니까. 혹시 아까 너희가 말한 두 가지 가정 말고 다른 가정 없어요?
학3: 접촉 시간이 동일하다
학2: 샘 근데요. 속도가 변하면 접촉시간이 비슷할 수가 없지 않아요?
교사: 그렇죠. 근데 설명을 하기 위해서 비슷하다고 가정을 한 거죠. 사실 비슷 하진 않아요. 그거 때문에 설명이 뭔가가 안되겠죠.
학2: 맘에 안들어요
교사: 그죠 맘에 안들죠. 그래서 설명이 안되는 부분이 있죠.
그러나 학생 2는 모델 2.0에서 접촉시간에 관한 이상화 조건을 어떻게 해제해야 할지 갈피를 잡지 못하고 있었다. 사실 모델 2.0은 RC 카를 강 체로 취급하고 있으므로 충돌 시간을 직접 정의할 수 있는 하위 변인 자 체가 존재하지 않는다. 다시 말해, 충돌 시간을 다른 변인의 함수로 나타 낼 수 없는 상황이다. 그러나 모델 2.0에 용수철을 도입하여 3.0으로 수 정 하면 RC 카와 방지턱의 충돌 시간은 그림 4-21(b)와 같이 용수철이 방지턱에 접촉한 이후 최대로 수축할 때까지 걸리는 시간으로 정의할 수 있다.
(a) 접촉 시간(△t)을 일정한 것으로 본 모델 2.0 (b) 접촉 시간(△t) =
[그림 4-21] 모델 2.0(a)과 모델 3.0에서 접촉 시간의 정의(b)