유비적 모델링

Ⅳ. 연구 결과

4.1. 학생들의 모델 기반 탐구의 양상

4.1.1. 모델 구성하기

4.1.1.2. 유비적 모델링

(a) 충돌 후 방지턱과 분리된 RC 카 (b) 발사 모델(모델 4.0) [그림 4-4] 방지턱에서 분리된 이후 RC 카의 운동(a)을 포물선 운동으로

모델링한 모델 4.0(b)

이와 같이 분지 모델을 동원함으로써 학생 1은 방지턱과 충돌한 후 전 후좌우로 복잡하게 진동하는 RC 카의 운동을 간단한 포물선 운동으로 모델링하였다. 이후 학생 1은 포물선 운동 모델이 제공하는 수학적 설명 을 이용하여 방지턱에서 분리된 RC 카가 도달하는 수직 방향 최대 변위 에 관한 실험 결과를 설명하였다.

이러한 특징은 학생들의 모델링이 특정 상황에 분지 모델을 매칭시키는 과정을 통해 이루어진다는 Hestenes(1998)의 지적과 연결된다. 이는 학 생들의 문제 풀이 활동에 한정된 언급이긴 하나 학생 1의 사례는 분지 모델을 중심으로 한 모델링이 낯선 상황을 대상으로 한 탐구 맥락에도 확장하여 적용될 수 있음을 시사한다. 또한, 학생 1은 분지 모델과 그것 이 제공하는 수학적 설명을 그대로 동원하기도 하지만 필요에 따라 분지 모델의 기술적 측면만을 취하거나 이를 약간 변형하여 모델을 구성할 수 있었다. 이러한 학생 1의 수행 양상은 학생들이 분지 모델을 도구로 적 절한 모델링 전략을 구사할 수 있음을 시사한다.

울 수도(near analogy), 또는 멀 수도(distant analogy) 있다. 유비의 거 리가 멀수록 현상과 모델 사이 전형적인 매칭에서 벗어나므로 창의적인 모델링이라 할 수 있을 것이다. 다음 사례는 학생들이 현상을 배운 이론 의 전형적 예시로 취급하는 것이 아니라, 현상의 모델링을 위해 그보다 먼 거리의 유비적 전략을 사용할 수 있음을 보여준다.

#70

교사: 어떻게 생각해?

학1: 이게.. 빗면이 있잖아요. 이거.. vx로 충돌하면.. 이렇게 되잖아요.

교사: 이 세타는 뭐에요?

학1: 대칭시킨거.. 그니까 이렇게 보면 이게 지면인거고. 얘가 여기로 갖다 박고 가면 이렇게 돼서 세타가 될 거 같아요.. 그래서 이렇게 보면 v_x는 결국 이렇게 돼서 변한 vx 가 vx cosθ가 되가지고. Δvx가 vx의 1-cosθ이잖아요.

학2: 유비다 유비! 총알을 경사진 바닥에 쏘는거!

교사: 무슨 얘긴지 모르겠어. 이걸 지면으로 보면은..

학2: 그니까 이거 아니에요?

학1: 중력은 무시하잖아요 교사: 이게 지금 발사각이잖아.

학2: 총을 빗변에다 쏘는 거죠. 그럼 얘가 이렇게 되고 이 세타만큼 반사될 거 아니에요.

위 사례에서 학생 1은 모델 3.0에서 RC 카와 방지턱이 충돌한 순간을 마치 비스듬한 벽에 쏜 총알이 탄성 충돌하는 장면과 비슷하게 생각할 수 있다는 아이디어를 제안한다. 이때 학생 1이 모델링의 대상으로 삼은 구간은 RC 카가 방지턱을 넘는 전체 과정이 아닌 방지턱에 충돌하는 극 히 짧은 순간이다.

이는 모델 3.0을 이용해 RC 카의 수평 속도 감소량과 관련된 경향성을 설명하려는 시도에서 나온 것이다. 모델 3.0은 RC 카에 가해진 수직 방 향의 충격력을 용수철의 최대 수축 길이 ^에 의해 결정되는 탄성력으로 간주한다. 이와 같이 직접적으로 정의되는 수직 방향의 충격력과는 달리 모델 3.0에서 수평 방향의 충격력은 직접 정의할 수 없다. 따라서 충돌 전후 RC 카의 속도 변화를 통해 힘을 간접적으로 정의해야 하며 이를 위해서는 방지턱에 충돌한 직후 RC 카의 속도를 결정해야 한다. 학생 1

의 아이디어와 같이 RC 카가 방지턱에 충돌하는 순간을 탄성 충돌로 취 급하면 충돌 직후 RC 카의 속도를 결정할 수 있다. 그림 4-5의 (c)는 학 생 1이 사용한 분지 모델인 탄성 충돌 모델이다. 학생 1은 이를 반시계 방향으로 만큼 회전하여 충돌면을 모델 3.0의 방지턱 면으로 간주함으 로써 RC 카의 충돌 상황을 모델링하였다. 그림 4-5의 (b)는 이러한 모 델링 결과를 보여준다. 이때 탄성 충돌 시 충돌 전후 객체의 속력은 변 하지 않으므로 방지턱에 충돌한 직후 RC 카의 속력은 충돌 전과 동일하 다. 또한, 충돌 직후 운동 방향은 지면을 기준으로  방향이다. 따라서 충돌 직후 RC 카의 수직 및 수평 방향 속력을 모두 결정할 수 있다. 그 림 4-5의 (b)에 이러한 방식으로 결정된 수직 방향 속력을 표시하였다.

(a) (b)

(c)

 

방지턱 면

_  _sin

[그림 4-5] RC 카와 방지턱이 충돌하는 순간(a)과 이를 비스듬한 벽에 쏜 총알이 튀어 나가는 것과 비슷하다고 생각한 학생 1의 모델링(b), 이때 사용된 것으로 추측되는 분지 모델(c)

학생 1이 모델링 과정에서 분지 모델을 사용한 것이 처음은 아니다. 그 러나 앞서 이와 관련된 사례 3과 61에서 학생 1은 주어진 상황을 이론의 정형화된 예시로 인식하여 분지 모델을 매칭하였다. 그러나 위 사례에서 비스듬한 벽에 쏜 총알과 방지턱에 충돌하는 RC 카를 유사하다고 생각

한 부분은 모델링에 관한 학생 1의 유비적 전략이 좀 더 강하게 개입한 결과라 할 수 있다.

이와 관련한 학생 1의 사고 과정은 그림 4-6과 같이 나타낼 수 있다.

이 사례에서 원천지식은 탄성 충돌이다. 탄성 충돌에서는 무차원의 점이 순간적으로 충돌하는 것을 가정한다. 따라서 비스듬히 쏜 총알과 탄성 충돌이라는 지식을 연결하는 것은 매우 전형적이다. 그러나 RC 카가 방 지턱을 넘어가는 장면은 낯선 상황이며 시각적으로도 벽에 발사되어 튀 어 나가는 총알과는 차이가 있다. 따라서 이를 탄성 충돌과 연결하는 것 은 학생 입장에서 비교적 급진적인 선택이었을 것이다. 그러나 학생 1은 비스듬히 쏜 총알과 RC 카가 놓인 상황이 유사하다고 보고 RC 카의 상 황을 탄성 충돌로 취급하였다. 이는 다소 먼 거리의 유비적 전략을 통해 현상과 지식을 연결한 것으로 앞서 살펴본 사례 3이나 61과 같은 단순한 모델링과는 차별화된다.

[그림 4-6] 사례 70에 나타난 학생 1의 유비적 모델링

RC 카의 수평 방향 속도 감소량과 관련된 실험 결과는 추후 구성한 모

그러나 학생 1의 모델링을 통해 수학적으로 ^를 결정할 수 있었다. 학 생 1의 생각에 따르면 충돌 속도를 _라 할 때 충돌 직후 RC 카의 수 직 방향 속도의 크기 _는 _sin가 된다. 모델 3.0에서 수직 방향의 속도 성분 _sin에 대한 운동 에너지가 모두 용수철의 탄성 에너지로 저장될 때 높이 ^가 결정됨을 가정하면 그림 4-7에 제시된 바와 같이 핵심적인 수학 관계식을 도출할 수 있으며 이를 통해 주요 실험 결과의 설명이 가능하다.

_  _sin _이므로,



_^  

_sin^  





^

∴







^_ ^{sin 이다.}

[그림 4-7] 모델 3.0에서 학생 1의 총알 모델을 이용한 수학 관계식 도출