Ⅲ. 연구 방법
3.3. 탐구 수행 과정
3.3.3. 모델의 도출
모델 1.0
이상화 조건
① RC 카는 탄성이 없는 구로 가정한다.
② 충격력은 충돌면과 수직 방향으로만 작용한다.
③ 의 변화에 대하여 충격력의 크기는 일정하다.
④ 바퀴가 방지턱에 충돌하는 순간에 최대의 가속도가 나타난다.
⑤ RC 카가 방지턱에 충돌할 때의 접촉시간(∆)는 모든 경우에 일정하다.
모델이 예측하는 현상
방지턱의 높이가 높아지면 RC 카의 수직 최대 가속도의 크기는 감소할 것이다.
설명할 수 있는
실험 결과 없음
[표 3-7] 모델 1.0의 사양과 설명력
2) 모델 2.0 및 모델 2.0의 수정
모델 2.0은 학생 1인 만든 모델 1.0을 수정한 결과이다. 교사 는 모델 1.0을 수정하기 위해서 충격력을 충돌 조건에 따라 변하는 함수 로 표현해야 한다고 판단하였다. 따라서 표 3-8에 제시된 바와 같이 뉴 턴의 충돌이론을 이용하여 충격력을 충돌 속도(
)와 충돌 각도()에 의 존하도록 정교화하였다. 모델 2.0은 충격력의 형태가 다른 변인을 포함하 면서 정교화된 것이므로, 표 3-8에 나타난 바와 같이 형태상으로는 모델 1.0과 차이가 없다.모델 2.0
이상화 조건
① RC 카는 탄성이 없는 구로 가정한다.
② 충격력은 충돌면과 수직 방향으로만 작용한다.
③ 충돌속도가 같을 때 충격력의 크기는 오로지 에 의존한다.
④ 바퀴가 방지턱에 충돌하는 순간에 최대의 가속도가 나타난다.
⑤ RC 카가 방지턱에 충돌할 때의 접촉시간(∆)는 모든 경우에 일정하다.
모델이 예측하는 현상
∆ ∆
sin 이다.수직 성분을 취하면, sin
이므로,
max ∆
sin 의 결과를 얻는다.
따라서, 충돌속도가 빨라지거나, 방지턱이 높아지면 가속도 의 크기가 증가한다. 또한, 방지턱의 높이가 높아지면 충돌 속도에 따른 가속도 증가율이 증가한다. 그러나 충돌 각도 가 45° 이상이 되면 증가율은 다시 감소한다.
설명할 수 있는 실험 결과
① Ⅰ-1) 충돌속도가 빨라질수록 amax는 증가한다.
② Ⅰ-2) 방지턱이 높아질수록 amax는 증가한다.
[표 3-8] 모델 2.0의 사양과 설명력
모델 2.0은 실험 결과Ⅰ-1) (충돌속도가 빨라질수록 amax는 증가한다.)과
Ⅰ-2)( 방지턱이 높아질수록 amax는 증가한다.)를 설명할 수 있으나, Ⅰ -3), Ⅰ-4), Ⅰ-5)를 설명할 수 없다. 모델 2.0은 충돌각()이 45° 이상일 때 충돌 속도에 대한 amax의 증가율이 감소함을 예측한다. 표 3-9는 너 비 10cm인 방지턱의 높이에 따른 충돌 각도를 계산한 결과이다. 모델 2.0을 적용한다면 충돌각()이 45° 이상인 높이 2.5 cm인 방지턱부터 충 돌 속도에 따른 amax의 증가율은 감소해야 한다. 그러나 실험 결과 Ⅰ -3)(방지턱이 높아질수록 충돌속도에 대한 amax의 증가율이 커진다.)은 이 에 부합하지 않는다. 또한, 실험 결과 Ⅰ-4), Ⅰ-5)는 충돌 속도가 빠른 영역과 느린 영역에서 서로 다른 경향성이 나타남을 보여주므로 모델 2.0으로는 이에 대한 설명이 불가능하다.
모델 2.0의 평가와 수정 활동 직전에 학생들은 수업 2를 통해 메타 모 델링 지식을 전달받았으므로 관련 논의에 적극적으로 참여할 수 있었다.
모델 2.0의 수정과 관련하여 학생들은 가장 정당화되기 어려운 가정으로
⑤번 가정인 ‘접촉시간(
∆
)가 일정하다’를 지목하였으며, 그 이유로는 RC 카의 용수철이 충돌 조건에 따라 수축하는 정도가 상당히 크게 차이 가 난다는 점을 들었다. 또한, 학생들은 가정 ④ ‘바퀴가 방지턱에 충돌 하는 순간에 최대의 가속도가 나타난다.’ 역시 같은 맥락에서 정당화하기 어렵다고 지적하였다. 이러한 지적은 이상화 조건 ④와 ⑤가 RC 카에서 용수철의 역할을 무시하고 지나치게 단순화되었다는 학생들의 인식에서 기인한 것으로 보인다.[표 3-9] 너비 10cm인 방지턱의 높이에 따른 충돌각도()
실제로 RC 카는 방지턱에 충돌한 후 관성에 의해 어느 정도 수평 방향 의 진행을 계속 유지하게 되고 그동안 바퀴와 차체 사이의 용수철은 지 속적으로 수축한다. 수축이 멈추고 다시 용수철이 팽창을 시작하는 지점 에서 RC 카가 튀어 오른다. RC 카에 가해지는 충격력은 사실상 용수철
이 차체에 가하는 탄성력이므로 최대의 가속도는 용수철이 최대로 수축 하는 지점에서 나타나야 마땅하다. 이때 용수철이 최대로 수축하는 시점 은 충돌속도나 방지턱에 따라 달라지므로 접촉시간 역시 큰 차이가 나 며, 이는 육안으로도 확인할 수 있다. 이러한 점들을 고려하여 이상화 조 건 ④와 ⑤의 해제를 중심으로 모델 2.0은 3.0으로 수정되었다.
3) 모델 3.0
이 실험에서 사용한 RC 카는 용수철과 타이어를 포함한 장 치이다. 그러나 모델 2.0은 이를 강체로 가정한 단순한 모델이므로 기본 적인 실험 결과만을 설명할 수 있었다. 따라서 모델 3.0은 용수철이 충돌 과정에 중요한 요인임을 고려하여 RC 카를 탄성체로 간주하였다. 모델 3.0에 대한 구체적인 내용은 표 3-10에 제시하였다.
모델 3.0은 다섯 가지의 이상화 조건을 포함한다. 첫 번째는 방지턱의 프로파일을 직선 형태로 가정한 것이다. 이는 시간과 용수철이 수축하는 길이 사이 관계를 선형으로 간주하여 설명의 편의를 도모하기 위한 것이 다. 조건 ②는 RC 카의 수평 방향 속도를 일정한 것으로 단순화하여 RC 카의 수직 방향 운동 분석의 편의를 제공한다. 또한, 조건 ③에서 차 체의 이동 궤적은 지면에 수평인 직선으로 간주된다. 따라서 바퀴가 지 면에서 올라간 수직 높이는 용수철의 수축 길이가 되므로 설명이 좀 더 간단해진다. 용수철이 최대로 수축할 때까지 차체의 경로가 거의 변화하 지 않는다는 점은 실험 데이터를 통해 확인되기도 하였다. 조건 ④는 용 수철의 변형이 수직 방향으로만 일어난다고 가정함으로써 모델에서 용수 철의 수축 길이를 쉽게 다루기 위함이다. 조건 ⑤는 용수철의 수축과정 에서 에너지가 손실되지 않는다는 가정하여 에너지 보존 법칙을 적용하 기 위한 것이다.
모델 3.0에서 용수철의 최대 수축 길이(
)를 결정하는 문제는 현상을 수학적으로 예측하기 위해 핵심적이다. 그림 3-3은 이 문제에 대하여 학 생이 고려한 모델을 나타낸 것이다. 이 모델은 총알이 비스듬한 벽에 충 돌한 후 튀어 나가는 상황과 RC 카의 바퀴가 방지턱에 충돌하는 상황을 연결하여 만들어낸 모델이다. 이 모델에서는 RC 카 바퀴의 병진 운동만 을 고려하므로 RC 카의 바퀴를 점으로 가정하였다.모델 3.0
H: 용수철이 최대로 수축할 때까지 바퀴가 수직으로 올라간 높이 L: 용수철이 최대로 수축할 때까지 차체가 진행한 수평 거리
: 충돌 속도이상화 조건
① 방지턱의 형태는 포물선 대신 높이가 방지턱의 높이인 빗면으로 간주한다. 이때 는 지면과 빗면이 이루는 각도이다.
② RC 카가 빗면을 올라가는 동안 수평 성분 속도()는 일정하다.
③ 서스펜션이 최대로 수축할 때까지 차체(사각형으로 표현)의 운동 경로는 수평을 유지한다.
④ RC 카의 용수철은 항상 지면과 수직인 방향을 유지하며, 수직 방향으로만 수축한다.
⑤ 용수철 수축과정에서 에너지는 손실되지 않는다.
예측하는 현상
이며, RC카가 방지턱에 충돌하여 수직 방향으로 생긴 운동 에너지가 모두 탄성 에너지로 전환되는 지점에서의 높이가 이므로 이를 이용하면,
sin 이다. 따라서,
max
sin 이다.
설명할 수 있는 실험 결과
① Ⅰ-1) 충돌 속도가 빨라질수록 amax는 증가한다.
② Ⅰ-2) 방지턱이 높아질수록 amax는 증가한다.
③ Ⅰ-3) 방지턱이 높아질수록 충돌 속도에 대한 amax의 증가율이 커진다.
④Ⅰ-4) 방지턱의 너비가 증가하면 amax는 감소한다. 단, 충돌 속도가 큰 영역에서는 너비가 넓은 방지턱에서 수직 최대 가속도가 너비가 좁은 방지턱에서보다 커지는 현상이 나타난다.
방지턱 면
[그림 3-4] RC 카와 방지턱의 탄성 충돌 모델
그림 3-4에서 충돌면을 방지턱 면을 연장한 점선까지 포함하는 선으로 간주하면 는 바퀴의 입사각이 된다. 충돌 후 바퀴는 충돌면 기준으로 같은 각도인 로 튀어 나갈 것이다. 이때 지면을 기준으로 바퀴가 튀어 나가는 각도는 이다. 이는 순간적인 과정이므로 수평 방향 속도
는 충돌 전후 일정한 것으로 간주한다. 따라서 충돌 후 RC 카 바퀴의 수직 방향의 속도 성분은 그림 3-3에서
에 해당하며 이는 다음과 같이 나 타낼 수 있다. cos
sin
수직 방향의 속도
에 의한 운동 에너지는 이후 용수철에 저장되어 탄 성 에너지의 형태로 바뀐다. 충돌 후 바퀴의 수직 방향 속도로 인한 운동 에너지가 모두 탄성 에너지로 전환되면 바퀴는 더이상 상승하지 않는다.우리는 이때를 용수철이 최대로 수축하는 시점으로 간주하였다. 따라서 다음과 같이 용수철의 최대 수축 길이()를 도출할 수 있다. 이때 은 바퀴의 질량이다.
sin 이므로,
sin
이다.∴
sin 이다.모델 3.0을 바탕으로 도출된 위 수학 관계식을 통해 실험 결과 Ⅰ-1),
Ⅰ-2), Ⅰ-3), Ⅰ-4)를 설명할 수 있다. 단, 실험 결과 Ⅰ-4)에서 충돌 속 도 약 7～8 km/h을 기준으로 그보다 빠른 충돌 속도 영역은 모델 3.0의 예측에서 벗어난다. 이에 대하여 학생들이 제안한 정성적인 설명은 용수 철이 수축할 수 있는 길이에 한계가 있다는 점에 근거한다. 측정 결과, 우리가 사용한 RC 카 내부에 장착된 용수철은 최대 수축 길이가 약 2.4 cm였다. 따라서 용수철이 저장할 수 있는 탄성 에너지에는 한계가 있고 RC 카의 충돌 속도가 충분히 빠른 경우 바퀴의 운동 에너지가 이를 넘 어설 수 있다. 이러한 상황에서 RC 카의 수직 방향 가속도는 탄성력에 의한 것을 넘어서므로 모델 3.0이 예측한 것을 벗어나게 된다. 너비가 좁 이러한 현상이 관찰될 수 있다. 그러나 경사가 급해 충돌 속도가 빠른 경우 RC 카와 방지턱이 빠르게 분리되므로 넓은 방지턱에 비해 실제로 용수철의 수축 한계에 도달할 가능성은 낮다고 판단하였다. 실험 결과
Ⅰ-5)이 모델 3.0의 예측을 벗어나는 이유는 지나치게 낮은 높이 때문이 라 추측된다. 방지턱이 너무 낮으면 충돌 속도에 따른 용수철의 수축 길 이에 큰 차이가 없어져 특정 경향성이 보이지 않을 수 있기 때문이다.
이와 같이 모델 3.0은 실험 결과의 설명을 위한 추론에 유용하다. 그러 나 모델 3.0은 RC 카가 방지턱으로부터 튀어 올라 분리된 이후의 과정 을 대상으로 하지는 않으므로 실험 결과Ⅱ(표 3-5)의 설명은 불가능하 다. 실험 결과Ⅱ를 설명하기 위해서는 모델 3.0의 설명 범위가 RC 카와 방지턱이 분리된 이후의 과정을 포함하도록 확장해야 한다.
모델 3.0에서 수직 방향 속도(