Ⅳ. 연구 결과
4.1. 학생들의 모델 기반 탐구의 양상
4.1.2. 모델을 이론적 지식과 연결하기
4.1.2.2. 모델을 수식으로 나타내기
을 표현하는 방식을 아예 새롭게 해 버렸다’와 같은 발언들을 통해 이제 충격력을 간접적으로 다룰 필요가 없다는 자신의 의견을 반복적으로 주 장하고 있다. 표 4-3(b)에는 이러한 두 학생의 입장 차가 정리되어 있다.
결과적으로 교사는 탄성력을 충격력으로 직접 정의하자는 학생 1의 의 견에 따라 탐구가 진행되도록 논의를 중재하였다. 모델 2.0에 충돌이론을 적용했던 이유는 충격력을 직접 구할 수 없으므로 RC 카가 방지턱을 타 고 넘어가는 것을 순간적인 충돌로 간주하고 이때 나타나는 운동량의 변 화를 바탕으로 충격력을 가늠하기 위함이었다. 그러나 모델 3.0에 용수철 이 도입되면 용수철이 차체에 가하는 직접적인 탄성력이 충격력이 되므 로 모델 3.0에 충돌이론을 적용하는 것은 효율적이지 못한 선택이 된다.
그럼에도 불구하고 학생 2가 이러한 필요성을 인식하지 못한 것은 모델 과 이론적 지식의 연결을 선택의 문제로 바라보지 못했기 때문으로 보인 다.
반면, 학생 1은 모델 2.0에서 충돌이론을 주어진 상황에서 ‘힘을 정의하 기에 적절한 방법’으로 이해하고 있는 듯 보인다. 특히, ‘힘을 표현하는 방식을 새롭게 한다’는 학생 1의 발언은 시사하는 바가 크다. 이는 학생 1이 충돌이론이나 탄성이론의 내용을 아는 것을 넘어 그러한 이론들을 사용하는 목적이 결국 힘을 표현하기 위한 것임을 이해하고 있음을 암시 하기 때문이다. 따라서 학생 1이 적용할 이론적 지식의 변화를 주장한 것은 해당 이론이 고안된 목적을 인식하고 모델-이론의 연결에 관한 합 리성을 판단한 결과라 할 수 있다.
이 논문에서 진행한 모델 기반 탐구는 RC 카와 방지턱 사이의 충돌에 관한 것으로 관련되는 이론적 지식은 뉴턴의 운동 법칙, 탄성력, 역학적 에너지 보존 법칙 그리고 간단한 운동학 정도이다. 이는 일반 고등학생 이 어렵지 않게 다룰 수 있는 수준이다. 그럼에도 불구하고 모델에 이론 적 지식을 적용하여 수학 관계식을 끌어내는 활동은 대부분 학생 1과 교 사에 의해 이루어졌다. 다음 제시하는 사례 27과 62에는 학생 1과 교사 가 구성된 모델에 이론을 적용하여 수학 관계식을 구하는 내용이 나타나 있다.
#27
교사: 근데 여기에서의 가정에 의해서, 이 모델에 근거해서. 이 모델이 PJ1.0 이 예측하는거
학1: 오케이. 아, F... FΔt = Δmv. 근데 여기서 y방향만 볼 껀데, 처음에 0이 었다가 팡 하고 올라 가니깐 v. 그니까 처음속력 0, v= FΔt/m. 근데, 올 라간 게 ymax야. 이 때 운동 에너지, 퍼텐셜 에너지 있을 거고. 이때 운동 에너지 0. 이때는 퍼텐셜 0. 이때는 운동에너지 많아.
교사: 근데 운동량으로 시작해서 에너지로 가면 복잡하지 않어?
학1: 그런가? 쨌든 쨌든. 1/2 mv2 = mgh. v=
, 얘가 자.. 얘 운동에너지 교사: 지금 팡 하고 올라오는 속도가 v라는 거지?학1: 네네네. 자 여기서 올라가요. 이때 퍼텐셜 에너지랑 운동에너지가 있는데 이때가 올라가고 최고점. 이때가 시작점. 이때 여기를 기준점으로 잡으면 퍼텐설 에너지0. 1/2mv2 . 최고점에서 속력0. h가 ymax. 역학적 에너지 보존에 의해서 얘(처음 운동에너지)랑 얘랑(ymax에서의 중력퍼텐셜)같다.
학2: 같아야돼, 같아야돼.
학1: m 사라지고. 보면 ymax는 v2/2g. 이걸 때려넣어!! (넣은 식 정리중)...
요고가 ymax
교사: 델타t를 일정하다고 보면 저기(학1이 정리한 식)에서 변수는 F밖에 없네?
학1: 어 상수 상수
교사: 다 약분되면 결국에는 a하고
max하고 비례란 얘기네?학1: 어!
교사: F를 a라고 봐도 되잖아. 변수만 따지면, 그러면 a=?
학1: ay는
max에 비례한다.#62
교사: y로 지금 튀어 올라가는게.. 용수철 때문이잖아요. 그럼 위로 튀어올라가 는 속도는 어떻게 결정될까요?
학1: 더 많이 수축 될수록.. 후아아아아
교사: H랑 비교한다면? H하고 위로 올라가는 속도하고는 무슨 상관이 있죠?
학1: H가 커질수록 힘이 커지니까. H가 커지면 vy도 커지겠죠?
교사: 일차비례 인가요?
학1: 그렇지 않아요? F = kH 니까..
교사: 어.. 에너지로 따져보면요?
학1: 1/2 kH 제곱..
교사: k는 용수철 특성이니까 생각 안해도 되고 이거는 용수철이 압축 길이거든?
학4: 네
교사: 그러면 결국 이거가 푱~ 올라갈 때 이게 모두 운동에너지가 됐을 때 v잖 아. 결국에는 이거랑 이거를 봐바. 우리 이거 H잖아. x라고 쓰기는 했지 만 결국 H아닌가요? 그러면은 H랑 v는 그냥 일차비례죠
학1: 그러네요
사례 27에서 학생 1은 모델 3.8에서 RC 카의 수직 방향 가속도와 수직 방향 변위의 최댓값(ymax) 사이의 관계를 구하였으며, 사례 62에서는 학 생 1과 교사가 모델 4.0에서 용수철의 수축 길이와 수직 방향 발사 속력 의 관계를 도출하였다. 두 사례 모두 에너지 보존 법칙을 모델에 적용하 였으며, 이는 문제 풀이 경험이 풍부한 학생 1의 입장에서 매우 수월한 과정이었다. 학생 1은 모델을 만들 때 수학적 분석이라는 모델의 목표를 인식하고 완결된 수학적 설명을 추구했으며 그 방법으로 주로 교과서나 문제 풀이를 통해 이미 알고 있는 분지 모델을 이용해 모델을 구성하였 다. 이렇게 구성된 모델에서 이론 적용과정은 교과서나 교재에서 쉽게 접할 수 있는 구조화된 문제 풀이 상황으로 환원된다. 따라서 학생 1은 모델에 이론을 적용하여 수학으로 쓰는 것을 어렵지 않은 물리학 문제를 해결하는 것과 비슷하게 느꼈을 것이다. 이는 학생 1이 모델을 구성할 때 이를 수학으로 나타내는 과정을 미리 고려한 필연적 결과라 할 수 있 다. 다시 말해, 학생 1은 분지 모델을 모델링 과정에 동원함으로써 수식 표현에 관한 로드맵을 이미 구축한 것이다. 이는 모델링이 수학적 분석 을 위한 것이라는 인식이 모델 기반 탐구에서 매우 중요함을 의미한다.