SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.10 OPERASI ALJABAR VEKTOR)

(1)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

(2)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 65 2. 10. Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu.

Vektor

Notasi Vektor

Operasi Aljabar Vektor

⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗ = ( )

� ⃗ = � ⃗ + � ⃗ + � �⃗⃗ = (�� )

komponen pada sumbu X

komponen pada sumbu Y

komponen pada sumbu Z

Panjang Vektor

Akar dari jumlah kuadrat

| ⃗| = √ + +

Vektor Posisi

Titik Koordinat = Kompon�n ��ktor

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ = ( )

Vektor Pada Dua Titik

B�lakang Kurangi D�pan

= ⃗⃗ − ⃗ = ( −−

− )

, , ⃗

O

, ,

, , ⃗⃗

− ⃗

O

Penjumlahan Vektor

Jumlahkan Komponen yang Sama

⃗ + ⃗⃗ = ( ) + ( ) = ( ++

+ )

Pengurangan Vektor

Kurangkan Kompon�n yang Sama

⃗ − ⃗⃗ = ( ) − ( ) = ( −−

− )

Perkalian Skalar

Dua ��ktor Harus S�arah Kalikan Kompon�n yang Sama

⃗ ∙ ⃗⃗ = | ⃗||⃗⃗| cos �

⃗ ∙ ⃗⃗ = + +

Perkalian Vektor

Dua ��ktor Harus T�gak Lurus �utar Kompon�n yang B�da

⃗ × ⃗⃗ = | ⃗||⃗⃗| sin �

⃗ × ⃗⃗ = | ⃗ ⃗ �⃗⃗|

Pembagian Ruas Garis

Hasil Kali Silang Dibagi Jumlahnya

�⃗ = ⃗⃗ + ⃗₊ ⃗

⃗⃗ �⃗

, ,

(3)

Halaman 66 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Sifat Operasi Vektor:

 ⃗ + ⃗⃗ = ⃗⃗ + ⃗

 ( ⃗ + ⃗⃗) + ⃗ = ⃗ + (⃗⃗ + ⃗)  ⃗ + = + ⃗ = ⃗

 ⃗ + − ⃗ =

Sifat Perkalian Skalar (Perkalian Titik/Dot Product) Dua Vektor:

 ⃗ ∙ ⃗⃗ = ⃗⃗ ∙ ⃗

 ⃗ ∙ (⃗⃗ + ⃗) = ⃗ ∙ ⃗⃗ + ⃗ ∙ ⃗  ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗|2

 ⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒ ⃗ ∙ ⃗⃗ =

Sifat Perkalian Vektor (Perkalian Silang/Cross Product) Dua Vektor:

 ⃗ × ⃗ = ⃗ × ⃗ = �⃗⃗ × �⃗⃗ =  ⃗ × ⃗ = �⃗⃗

(4)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 67 TRIK SUPERKILAT:

Jabarkan

Lihat Syarat

Hitung

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal operasi aljabar vektor ini, satu hal yang sering ditanyakan adalah hasil operasi perkalian titik terhadap beberapa operasi aljabar penjumlahan maupun pengurangan vektor dengan syarat ada dua vektor yang tegak lurus.

Misal diketahui ⃗, ⃗⃗, dan ⃗ . Jika ⃗ ⊥ ⃗⃗, maka tentukan hasil dari ( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ⃗ − ⃗ !

Maka jabarkan( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ⃗ − ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ + ⃗⃗ ∙ ⃗ − ⃗

= ⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗ − ⃗ ∙ ⃗ + (⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗) − (⃗⃗ ∙ ⃗) =|⃗⃗⃗|�− ⃗ ∙ ⃗ +�− (⃗⃗ ∙ ⃗)

Tips dan triknya adalah,

Lihat syarat,

 Bahwa kita tidak perlu menghitung hasil perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus. Cukup kalikan pada

komponen yang sama untuk menentukan hasil perkalian skalar (perkalian titik atau dot product).

 Lalu perkalian titik dua vektor yang sama akan menghasilkan nilai yang sama dengan kuadrat panjang vektor

tersebut.

Perhatikan tulisan berwarna merah (⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗). Perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus adalah NOL! Perhatikan warna biru ⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗ . Perkalian titik dari dua vektor yang sama adalah KUADRAT PANJANG VEKTOR! Lalu hitung perkalian titiknya. Masih ingat ⃗ ∙ ⃗ atau (⃗⃗ ∙ ⃗)?

Perkalian titik dua vektor yang tidak tegak lurus itu KALIKAN KOMPONEN YANG SAMA!

(5)

Halaman 68 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ KESIMPULAN LOGIKA PRAKTIS:

Satu hal yang unik pada operasi aljabar vektor adalah untuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian titik, semua operasi hanya dilakukan pada KOMPONEN VEKTOR YANG SAMA.

 Kalau penjumlahan dua vektor, ya jumlahkan komponen-komponen yang sama.

 Jika pengurangan dua vektor, maka kurangkanlah komponen-komponen yang sama.

 Dan apabila perkalian titik, juga kalikan komponen-komponen yang sama.

PERBEDAAN mendasar hanya ada pada PERKALIAN SILANG, atau dikenal dengan perkalian vektor atau cross product. Triknya adalah sebagai berikut:

⃗

�⃗⃗⃗

+

⃗ × ⃗ = �⃗⃗⃗

Jadi kalau perkaliannya dua komponen vektor yang posisinya searah jarum jam hasilnya POSITIF komponen vektor berikutnya.

⃗ dikalikan silang dengan ⃗ maka hasilnya POSITIF �⃗⃗. ⃗ dikalikan silang dengan �⃗⃗ maka hasilnya POSITIF ⃗. �⃗⃗ dikalikan silang dengan ⃗ maka hasilnya POSITIF ⃗.

Sehingga, apabila dibalik arah perkalian silangnya, hasilnya NEGATIF.

Contohnya yaitu apabila ⃗ dikalikan silang dengan ⃗ maka hasilnya NEGATIF �⃗⃗.

(6)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 69

Tipe Soal yang Sering Muncul

Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Tegak Lurus.

Contoh Soal:

Diketahui vektor ⃗ = (�), ⃗⃗ = (− ) dan ⃗ = ( − )

. Jika vektor ⃗ tegak lurus dengan vektor ⃗⃗, maka

tentukan nilai dari ⃗ ∙ (⃗⃗ − ⃗) =…. a.

b. c. 12 d. 18 e. 24

Penyelesaian:

⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒ ⃗ ∙ ⃗⃗ = ⇔ (�) ∙ (− ) =

⇔ � − + =

⇔ � − =

⇔ � =

Dengan demikian diperoleh:

⃗ = ( )

Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh: ⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒ ⃗ ∙ ⃗⃗ =

⃗ ∙ ⃗ = ( ) ∙ (

− ) = ∙ + ∙ + ( ∙ − ) = + − =

∙ − = ⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗ ∙ ⃗ = ( ⃗ ∙ ⃗⃗) − ⃗ ∙ ⃗

= −

= + =

Jadi nilai ∙ − =

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Lihat bahwa ⃗⃗⃗ tegak lurus ⃗⃗⃗, maka ⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗ = �

Jabarkan perkalian titik pada soal: ⃗ ∙ (⃗⃗ − ⃗) =�(⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗)− ⃗ ∙ ⃗

(7)

Halaman 70 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎

Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Berlawanan.

Contoh Soal:

Diketahui vektor ⃗ = ( − )

, ⃗⃗ = (− ) dan ⃗ = ( −

). Jika vektor ⃗ berlawanan dengan vektor ⃗, maka

tentukan nilai dari ⃗ ∙ ( ⃗ − ⃗⃗) =…. a. −

b. c. 12 d. 48 e. 72

Penyelesaian:

⃗ b�rlawanan arah d�ngan ⃗ ⇒ ⃗ = −� ⃗

⇔ (

− ) = −� ( −

)

Dari persamaan tersebut diperoleh:

= −� − ⇒ � =

Maka,

= −� ⇒ = (− ) = −

Dengan demikian diperoleh:

⃗ = (− − )

Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:

⃗ ∙ ⃗⃗ = (−

− ) ∙ (− ) = ∙ + ( − ∙ − ) + ( − ∙ ) = + − =

⃗ ∙ ⃗ = (− − ) ∙ (

−

) = ( ∙ − ) + ( − ∙ ) + ( − ∙ ) = − − − = −

⃗ ∙ ( ⃗ − ⃗⃗) = ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ ∙ ⃗⃗ = ⃗ ∙ ⃗ − ( ⃗ ∙ ⃗⃗)

= − −

=

Jadi nilai ⃗ ∙ ( ⃗ − ⃗⃗) =

Dua vektor itu berlawanan jika angkanya juga saling berlawanan dan berkelipatan. Perhatikan vektor ⃗ dan vektor ⃗ berikut:

⃗ = (

− ) dan ⃗ = ( −

)

Bandingkan kotak merah dan kotak biru.

(8)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 71

Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Sama Panjang.

Contoh Soal:

Diketahui vektor ⃗ = ( � − )

, ⃗⃗ = (− ) dan ⃗ = ( −

). Jika panjang vektor ⃗ sama dengan panjang vektor ⃗⃗, dan _{� <} , maka tentukan nilai dari ( ⃗ + ⃗⃗) ∙ (⃗⃗ − ⃗) =….

a. − b. − c. 3 d. 9 e. 15

Penyelesaian:

| ⃗|=|⃗⃗| ⇒ √ + � + − = √ + − +

⇔ + � + − = + − +

⇔ + � + = + +

⇔ � + =

⇔ � + − =

⇔ � − =

p�mbuat nol

⇔ � + � − =

⇔ � + = atau � − = ⇔ � = − atau � = Karena syarat � > , maka � = .

Dengan demikian diperoleh ⃗ = ( − )

Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:

⃗ ∙ ⃗⃗ = (

− ) ∙ (− ) = ∙ + ( ∙ − ) + ( − ∙ ) = − − = −

⃗ ∙ ⃗ = (

− ) ∙ ( −

) = ( ∙ − ) + ∙ + ( − ∙ ) = − + − = −

⃗⃗ ∙ ⃗ = (− ) ∙ (− ) = ( ∙ − ) + ( − ∙ ) + ∙ = − − + = −

|⃗⃗| = + − + = + + =

( ⃗ + ⃗⃗) ∙ (⃗⃗ − ⃗) = ⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗ ∙ ⃗ + ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗ ∙ ⃗ + |⃗⃗| − ⃗⃗ ∙ ⃗

= − − − + − −

= − + + +

=

Jadi nilai ( ⃗ + ⃗⃗) ∙ (⃗⃗ − ⃗) =

Dua vektor itu sama panjang jika kuadrat dari komponennya juga sama. Nah perhatikan vektor ⃗ dan ⃗⃗

⃗ = (

− ) dan ⃗⃗ = (− )

Ingat pada bilangan kuadrat itu tidak masalah bilangannya positif atau negatif. Karena bilangan positif maupun negatif kalau dikuadratkan hasilnya sama. Bukti: − = = .

Sekarang bandingkan bilangan pada vektor ⃗ dan ⃗⃗. Pada vektor ⃗⃗ memuat bilangan 2, 3, dan 1.

(9)

Halaman 72 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (}_{http://pak-anang.blogspot.com}₎ Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Diketahui vektor

















1

2

p

a



;

















6

3

4

b



; dan

.

3

1

2

















c



Jika a tegak lurus

b maka hasil dari

,



a2b

  

.3c

adalah ....

A.

171

B.

63

C.

−63

D.

−111

E.

−171

2.

Diketahui vektor

a



i



x j



3

k

,

b



2

i



j



k

, dan

c



i



3

j



2

k

Jika a tegak lurus

b

,

maka hasil dari

2

a

.

 

b



c

adalah ....

A.

−20

B.

−12

C.

−10

D.

−8

E.

−1

3.

Diketahui vektor

a



i



2

j



x

k

,

b



3

i



2

j



k

,

dan

c



2

i



j



2

k

.

Jika a tegak lurus

c

,

maka



a



b

 

.

a



c



adalah ....

A.

−4

B.

−2

C.

0

D.

2

E.

4

Jika adik-

adik butuh ’bocoran’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

Karena ⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒ ⃗ ∙ ⃗⃗ =

⇔ � − ∙ (− ) = ⇔ � − − = ⇔ � = ( ⃗ − ⃗⃗) ∙ ⃗ = ( − −− − − ) ∙ (− ) = (− − ) ∙ (− ) = − − − = −

Karena ⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒ ⃗ ∙ ⃗⃗ =

⇔ (− ) ∙ ( − ) = ⇔ − − = ⇔ = − ⃗ ∙ (⃗⃗ − ⃗) = ( ) ∙ ( −− − − ) = ( ) ∙ (− − ) = − − = −

Karena ⃗ ⊥ ⃗ ⇒ ⃗ ∙ ⃗ =