Pesan Penting yang Dapat Dipetik
7.5 Menambahkan Vektor Momentum Sudut Bersama-sama
A
Bahasa Indonesia: | A ÿ B|
di mana L adalah bilangan kuantum untuk sistem komposit. Untuk setiap nilai L, ada 2L+1 kemungkinan proyeksi yang direpresentasikan oleh bilangan kuantum mL. Hal ini dapat dimengerti dan
membingungkan. Jadi, mari kita uraikan pernyataan ini menggunakan contoh kita = 1 dan B = 3.
Persamaan kuadrat terkecil adalah L = 0,05 .
Jika kita menambahkan dua vektor mekanika kuantum yang besarnya direpresentasikan oleh bilangan kuantum A dan B, momentum sudut total sistem akan direpresentasikan oleh bilangan kuantum baru L dan mL. Matematika menunjukkan ada beberapa besaran yang mungkin bisa didapatkan ketika menambahkan dua vektor momentum sudut bersama-sama. Namun, kerucut baru untuk L dan mL mengikuti aturan yang sama yang telah kita kerjakan: L memberi tahu kita besarnya momentum sudut untuk sistem dan mL memberi tahu kita komponen (atau tinggi kerucut).
Bayangkan Anda memiliki 2 elektron dalam atom Anda. Masing-masing elektron tersebut memiliki momentum sudut orbital. Kita ingin mengajukan pertanyaan, "Berapakah total momentum sudut orbital sistem?" Untuk menjawab pertanyaan itu, kita perlu menambahkan dua vektor mekanika kuantum.
Sebagai contoh, anggaplah kita memiliki elektron dengan besaran vektor momentum sudut orbital yang direpresentasikan oleh A = 1 (Gbr. 7.2 dengan 3 kemungkinan orientasi) dan elektron kedua dengan B
= 3 (Gbr. 7.3 dengan 7 kemungkinan orientasi). Kita ingin menambahkan kedua vektor ini bersama- sama seperti pada Gbr. 7.1, tetapi kita harus berpikir dengan saksama karena dua alasan besar: (1) vektor-vektor itu sebenarnya lebih seperti "kerucut vektor" dan (2) mungkin ada pengamatan yang tidak kompatibel yang harus kita pikirkan.
(7.4) Meskipun perhitungannya sangat rumit, hasilnya cukup bagus:
Bentuk ÿ ( + 1)h¯ dan mh¯ sama untuk jenis momentum sudut lainnya. Yang harus kita lakukan adalah mengganti bilangan kuantum yang mewakili momentum sudut orbital dengan bilangan kuantum yang mewakili jenis momentum sudut yang kita minati. Dalam beberapa bagian berikutnya, kita akan memperluas pembahasan kita untuk membahas tentang spin elektron, momentum sudut elektronik total (orbital + spin), momentum sudut orbital total dari beberapa elektron dalam sebuah atom, dan banyak lagi. Setiap contoh momentum sudut di atas akan memiliki dua bilangan kuantum yang terkait dengannya, satu untuk besaran dan satu untuk komponen z (tinggi kerucut). Misalnya, spin elektron akan memiliki bilangan kuantum s dan ms. Rumus untuk spin elektron adalah ÿs(s + 1h¯ dan msh¯.
Sementara bilangan kuantum untuk momentum sudut orbital adalah bilangan bulat, kita akan menemukan bahwa jenis bilangan kuantum momentum sudut lainnya dapat berupa bilangan bulat atau setengah bilangan bulat. Namun, semuanya menggunakan dua rumus yang sama dan memberi tahu kita informasi yang sama, besaran dan komponen z (tinggi kerucut).
Dari perhitungan matematika, besaran L terbesar yang mungkin diberikan oleh A + B, yang merupakan L = 4 dalam eksperimen pemikiran yang sedang kita kerjakan. Besaran terkecil yang mungkin adalah L
= | A ÿ B|, atau L = 2 untuk contoh yang sedang kita kerjakan.
Soal cepat (jawabannya ada di catatan kaki ): Misalkan A = 1 dan B = 2.
(a) Berapa banyak proyeksi yang ada untuk A = 1? (b) Berapa banyak proyeksi yang ada untuk B = 2? (c) Berapa
banyak kerucut yang mungkin dapat kita tambahkan dari bagian (a) dan bagian (b)?
Contoh lain: Misalkan A = 3 dan B = 5. Nilai terbesar untuk L adalah 3 + 5 = 8, dan nilai terkecil adalah |3 ÿ 5| = 2. Oleh karena itu, L dapat memiliki nilai 2, 3, 4, 5, 6, 7, atau 8. Untuk setiap nilai L, akan ada orientasi berbeda yang direpresentasikan oleh bilangan kuantum mL. Jika L = 3, ada 7 kemungkinan kerucut vektor yang direpresentasikan oleh mL = 3, 2, 1, 0, ÿ1, ÿ2, dan ÿ3.
Setelah semua perhitungan, ada 5+7+9 = 21 kerucut yang mungkin. Ini masuk akal karena vektor asli memiliki 3 dan 7 kemungkinan orientasi, dan 3 × 7 = 21. Namun, saya ingin memperingatkan Anda bahwa kerucut baru tidak dibangun hanya dengan mengambil satu kerucut yang dipilih dari A = 1 dan satu kerucut dari B = 3 dan menambahkannya bersama-sama. Ini karena komponen-z dari elektron individu tidak kompatibel dengan komponen-z dari sistem komposit. Jadi, kerucut baru, yang akan kita sebut basis set untuk sistem komposit, adalah superposisi dari semua kerucut dari elektron individu, yang kita sebut basis set elektron individu. Matematika rumit, yang kita lewati dalam buku ini, memberi tahu kita amplitudo atau jumlah yang kita butuhkan dari masing-masing basis set elektron individu untuk membangun basis set sistem komposit baru.
Kita akan membahasnya lebih lanjut di Bab 7.5.1.
Dengan kata lain, ada tiga orientasi berbeda untuk A dan tujuh orientasi berbeda untuk B. Bergantung pada orientasinya, menambahkan kedua vektor momentum sudut tersebut menghasilkan besaran yang mungkin berbeda. Mengolah semua kemungkinan kombinasi menghasilkan tiga besaran yang mungkin.
Untuk setiap besaran yang mungkin, ada orientasi yang berbeda (ketinggian kerucut). Dalam contoh ini, vektor momentum sudut orbital individual dapat ditambahkan bersama untuk membuat L = 2 (5 kerucut yang mungkin dengan vektor panjang yang sama ÿ2(2 + 1)h¯ = ÿ6h¯), L = 3 (7 kerucut yang mungkin dengan vektor panjang yang sama ÿ3(3 + 1)h¯ = ÿ12h¯), dan L = 4 (9 kerucut yang mungkin dengan vektor panjang yang sama ÿ4(4 + 1)h¯ = ÿ20h¯).
temukan semua nilai L yang mungkin, kita buat daftar yang dimulai dengan nilai terkecil dan terus tambahkan 1 hingga kita mencapai nilai terbesar. Dalam kasus ini L bisa sama dengan 2, 3, atau 4.
Jawaban untuk (c) harus sesuai dengan jawaban pada (f).
(d) Berapa nilai L yang mungkin? (e) Untuk
setiap nilai L, berapa banyak proyeksi yang ada? (f) Jumlahkan semua proyeksi yang mungkin dari bagian (e).
Dengan kata lain, berapa ukuran set basis elektron individu?
a(a) 3; (b) 5; (c) 3 × 5 = 15; (d) 1, 2, atau 3; (e) 3, 5, atau 7; (f) 15.
dan B, sedangkan komponen z-nya direpresentasikan oleh mA dan mB. Kita ingin menambahkan A dan B bersama-sama untuk mendapatkan C. Nilai-nilai yang mungkin untuk bilangan kuantum yang mewakili besarnya C adalah:
(7.5) Akan tetapi, komponen z komposit mL tidak kompatibel dengan komponen z elektron individual, m ,A dan m ,B. Oleh karena itu, kita dapat mengetahui komponen z sistem atau komponen z elektron individual, tetapi tidak ketiganya pada saat yang sama. Komponen z dari dua elektron individual kompatibel satu sama lain. Jadi, jika kita mengetahui komponen z sistem dan ingin mengetahui apa yang mungkin kita ukur jika kita mengukur komponen z elektron individual, kita harus menulis keadaan sistem komposit sebagai superposisi keadaan dari keadaan dasar elektron individual. Konsepnya tetap sama; kita hanya perlu melakukan perhitungan untuk menemukan amplitudo.
Persamaan kuadrat terkecil adalah A dan B. Persamaan kuadrat terkecil adalah A dan B.
Semua besaran kompatibel dengan segalanya. Jika kita mengetahui A = 1, = 3, dan L = 2, kita dapat mengukur semua pengamatan yang diwakili oleh enam bilangan kuantum tanpa mengganggu hasil pengukuran besaran di masa mendatang.
Generalisasi dan Ringkasan
Pembahasan di atas berlaku ketika menambahkan dua vektor momentum sudut mekanika kuantum bersama-sama. Misalkan kita memiliki dua vektor momentum sudut A dan B.
Besarnya direpresentasikan oleh bilangan kuantum A
Setiap bilangan kuantum berhubungan dengan sesuatu yang dapat kita ukur. Untuk kedua elektron ini, kita memiliki enam bilangan kuantum: A, m , A, B, m , B, L, dan mL. Manakah dari bilangan- bilangan ini yang mewakili observasi yang kompatibel? Apakah ada sesuatu yang dapat kita ukur yang akan mengganggu nilai observasi lain? Sebagai pembelajar mekanika kuantum, hal ini penting untuk diperhatikan.
Untuk dua elektron ini saja, kita memiliki sekumpulan bilangan kuantum yang beredar.
Untuk setiap nilai C, mC = ÿC,... ,C dalam langkah integer. Kompatibilitas dari hasil pengamatan adalah sebagai berikut:
satu sama lain.
• Komponen z dari momentum sudut individu kompatibel dengan
• Komponen z dari momentum sudut yang dijumlahkan tidak sesuai dengan komponen z dari momentum sudut individual.
• Besaran-besarannya selalu sesuai dengan segala hal.
7.5.1 Kompatibel atau Tidak Kompatibel?
B
M
2. Jadi, j = dalam langkah bilangan bulat. Mengetahui bilangan kuantum j , , dan s memberi tahu kita besarnya vektor momentum sudut. Mengetahui mj , dan ms memberi tahu kita orientasi masing-masing vektor momentum sudutnya. Akan tetapi, mj tidak kompatibel dengan ms dan m Berikut adalah tabel yang merangkum
semua jenis momentum sudut saat ini untuk satu elektron dalam sebuah atom (QN berarti bilangan kuantum):
Bahasa Indonesia:
Solusi: Nilai-nilai yang mungkin untuk j adalah j = ( + s), . . . , | ÿ s| dalam langkah-langkah integer.
Nilai terbesar adalah 3 + atau j =
Penyelesaian: Besarnya adalah ÿs(s + 1)h¯ = /3 4h¯ ÿ 0,87h¯
2 .
Jika elektron berada dalam atom, maka ia juga dapat memiliki momentum sudut orbital. Kita dapat menambahkan momentum sudut orbital dan spin bersama-sama dan mengajukan pertanyaan,
"Berapakah momentum sudut total elektron tersebut?" Momentum sudut total elektron yang baru ini direpresentasikan oleh bilangan kuantum j dan mj . Dengan menggunakan aturan baru kita (Persamaan 7.5), besaran total yang mungkin direpresentasikan oleh j = l+s,... , |lÿs|
dan nilai terkecilnya adalah |3 ÿ
dalam langkah integer. Jadi, jika = 1 dan s = 1/2, j bisa menjadi 3/2 atau 1/2. Seperti sebelumnya, m bisa berupa nilai apa pun antara ÿ dan + dalam langkah integer, ms bisa berupa nilai apa pun antara ÿs dan +s dalam langkah integer, dan mj bisa berupa nilai apa pun antara ÿj dan +j
(c) Berapakah besarnya momentum sudut elektronik total yang mungkin?
Penyelesaian: Besarnya adalah ÿ ( + 1)h¯ = ÿ12h¯ ÿ 3,46h¯
Untuk elektron, s = 1/2 selalu, jadi kemungkinan orientasinya selalu ms = ÿ1/2
Bahasa Indonesia:
(b) Berapakah besarnya spin elektron?
=
atau ms = +1/2. Secara tradisi, kita menyebut ms = +1/2 sebagai “spin up” dan ms = ÿ1/2 “spin down”.
.
Contoh Sebuah elektron dalam sebuah atom memiliki bilangan kuantum = 3 dan s = 1/2.
Elektron, baik yang berada di dalam atom maupun bebas, selalu memiliki spin. Bilangan kuantum untuk spin adalah s dan ms untuk besaran dan orientasi (ketinggian kerucut), masing-masing.
(a) Berapakah besarnya momentum sudut orbital elektronik?