次元から分かること

第 9 章 置換の符号と転倒数 ( よりみち ) 69

22.4 次元から分かること

次元を用いて部分空間の分類や,線形単射や線形全射の存在性について考察しよう.

命題 22.4.1. 有限次元線形空間V の部分空間W は有限次元であり, dimW ≤dimV. また,等号成立は W =V ^{のときに限る}.

Proof. dimV = n^とおく. V における線形独立な最大個数はn^{であったから}, W ^{における線形独立な}

最大個数はn^{を越えることはない}. ^{そこでこの数を}m^とし,^{線形独立な組}w1, . . . ,wm ∈W ^を取ろう. A=Wについて命題22.3.2(2)を適用すればw₁, . . . ,w_mはW の基底であり, dimW =m≤n= dimV. また, 等号n = mが成立する場合, 命題22.3.3(2)よりw₁, . . . ,w_mはV の基底となり, W = V を得 る.

例 22.4.2. R^{3の部分空間}W ^{の次元は前命題により}3^{以下であり},^{次のように分類される}.

• dimW = 0^{なる部分空間は}{0}^{のみである}.

• dimW = 1なる部分空間の基底は一つのベクトルu̸=0からなり, W ={ru|r ∈R}^はuと0 を通る直線に一致する.

• dimW = 2^{なる部分空間は}, ^基底u1,u2 ∈W ^を持つ. W ={ru1+su2 |r, s∈R}^であり, ^これ はu₁,u₂,0を通る平面に一致する.

• dimW = 3なる部分空間は前命題によりW =R^{3のみに限る}.

練習 22.4.3 (^発展). (1) t1, . . . , tn+1を相異なる実数とする. ^{任意の実数}r1, . . . , rn+1に対して,p(ti) = ri (i= 1, . . . , n+ 1)^を満たすn^次多項式p∈R[x]nが存在することを示せ.

解答例: I := {t₁, . . . , t_n+1} ⊂ R^とおけば, 命題15.2.6よりR[x]_n ⊂ C(I)とみなせる. 写像 p:I →R^をp(ti) :=ri (i= 1, . . . , n+ 1)^{と定めれば}p∈C(I)^である. p^がR[x]nの元でもあるこ とを示せば主張を得る. C(I) =R^I ≃R^n+1ゆえdimC(I) =n+1^である2. ^また, dimR[x]n=n+1 であるから命題22.4.1^よりC(I) =R[x]nであり,p∈R[x]n.

(2) 上の証明の脚注で触れたf_iを多項式で表せ. すなわち,f_i(t_i) = 1,f_i(t_j) = 0 (j̸=i)を満たすn次 多項式を求めよ(^{この答えを通して}, (1)^{で存在を示した多項式}pの具体的な式を書き下せることが 分かる).

解答例: i= 1のみ記す.

f1(x) := 1

(t1−t2)(t1−t3)· · ·(t1−tn+1)(x−t2)(x−t3)· · ·(x−tn+1).

線形写像と次元の関係について,まずは次の明らかな事実をおさえておこう:

命題 22.4.4. 有限次元線形空間を定義域とする線形写像の像は有限次元である.

Proof. 像が有限個のベクトルで生成されること(命題20.2.3), および命題22.1.3による. 線形単射や線形全射の存在は,次元の大小によって特徴づけられる.

命題 22.4.5. ^{有限次元線形空間}U, V ^{について次が成り立つ}. (1) dimU ≤dimV ^{ならば線形単射}f :U →V ^{が存在する}. (2) dimU ≥dimV ならば線形全射f :U →V が存在する.

2具体的に次のような基底があることからも分かる: fi :I →R^をfi(ti) := 1,fi(tj) := 0 (ただしj ̸= i)と定めれば, f1, . . . , fn+1はC(I)の基底である. 実際,∑_n+1

i=1 aifi(x) =0とすれば両辺にtiを代入することでai= 0を得るゆえ線形独 立である.また,各g∈C(I)はg(x) =∑n+1

i=1 g(ti)fi(x)と書けるゆえC(I)を生成している.

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Proof. (1): dimU = n^とおき, u1, . . . ,unをU ^{の基底とする}. dimV ≥ n^より, n^{個のベクトルから} なる線形独立な組v1, . . . ,vn ∈V ^が取れる. ^このとき,^例21.2.5(1)^よりf(ui) =viを満たす線形同型 f :U → ⟨v1, . . . ,vn⟩^があり, ^とくにf ^{は単射である}. f ^の終域をV ^と解釈し, ^線形単射f :U → V ^を 得る.

(2): dimV = mおよびdimU = m+k (ただしk ≥ 0)とおく. また, v₁, . . . ,v_mをV の基底とし, u₁, . . . ,u_m,u_m+1, . . . ,u_m+kをU の基底とする. 命題20.1.11により

f(ui) =vi (i= 1, . . . , m), f(um+j) =0V (j = 1, . . . , k)

を満たす線形写像f :U → V ^を取れば, Imf =⟨f(u1), . . . , f(um+k)⟩=⟨v1, . . . ,vm,0V, . . . ,0V⟩ =V ゆえf^{は全射である}.

命題 22.4.6. 有限次元線形空間の間の線形写像f :U →V について次が成り立つ.

(1) f が単射ならばdimU ≤dimV. (2) fが全射ならばdimU ≥dimV.

Proof. (1): U^の基底をu1, . . . ,unとすれば命題20.3.6(3)^よりf(u1), . . . , f(un)∈V ^{は線形独立である}. dimV ^は,V における線形独立な最大個数に等しいゆえdimV ≥n= dimU.

(2): V の基底をv₁, . . . ,v_mとすれば, f の全射性よりf(u_i) =v_iを満たすu_i ∈U (i= 1, . . . , m)が 存在する. 命題20.1.7(3)よりu₁, . . . ,u_mは線形独立である. dimUは,Uにおける線形独立な最大個数 に等しいゆえdimU ≥m= dimV.

上の命題の対偶をとると,^命題21.2.7の後に述べたことが得られる. 系 22.4.7. ^{有限次元線形空間}U ^およびV ^{について次が成り立つ}.

(1) dimU >dimV ならば線形単射f :U →V は存在しない. (2) dimU <dimV ^{ならば線形全射}f :U →V ^{は存在しない}.

単射性や全射性は次元からも判断できる.

練習 22.4.8. 有限次元線形空間U, V の間の線形写像f :U →V について,次を示せ. (1) f^{は単射である} ⇐⇒dimU = dim Imf.

解答例. (⇒): u1,· · ·,unをU ^{の基底とすれば}, Imf =⟨f(u1),· · ·, f(un)⟩^である. f ^{の単射性よ} りf(u1),· · · , f(un)^{は線形独立であり},^{したがってこれは}Imf^{の基底である}. ^ゆえにdim Imf = n= dimU.

(⇐): f(u1),· · · , f(un)^をImf^{の基底とすれば},f^{の線形性より}u1,· · ·,unは線形独立である. ^仮 定よりdimU = dim Imf =n^である. ^{これと命題}22.3.3(2)^{を合わせれば}, u1,· · · ,unがU ^の基 底であることが分かる. したがって, 命題21.1.6 よりf :U → Imf は全単射である. とくにf は 単射である.

(2) f^{は全射である} ⇐⇒dimV = dim Imf.

解答例. (⇒): f^{が全射ならば}Imf =V ^よりdim Imf = dimV ^である.

(⇐): Imf ⊂V ^ゆえW = Imf^{について命題}22.4.1 ^{を適用すれば}Imf =V. ^すなわちf^は全射 である.

有限集合X上の写像f :X →Xについてfの単射性と全射性は同値であった(命題19.5.1). この類 似として,有限次元線形空間について次が成り立つ:

命題 22.4.9. 有限次元線形空間UとV の次元が等しいとき,線形写像f :U →V に関する次の3条件 は同値である:

(1) f^{は単射である}, (2)f ^{は全射である}, (3)f^{は線形同型である}. Proof. (1)と(2)の同値性のみを示せば十分である.

(1)⇒(2): fを単射とすれば練習22.4.8(1)よりdimU = dim Imfである. 仮定よりdimU = dimV ゆ えdimV = dim Imf ^であり,^{したがって練習}22.4.8(2)^よりf ^{は全射である}.

(2)⇒(1): f^{を全射とすれば練習}22.4.8(2)^よりdimV = dim Imf^である. ^仮定よりdimU = dimV ^ゆ えdimU = dim Imf^であり,^{したがって練習}22.4.8(1)^よりf^{は単射である}.

U ^{が無限次元の場合},^上の(1)^と(2)の同値性は成り立たない(^例26.1.5).

命題 22.4.10 (発展). 有限次元線形空間における線形写像T :U →V について次が成り立つ. (1) T^{は単射である} ⇐⇒ S◦T = idUを満たす線形写像S:V →U ^{が存在する}.

(2) Tは全射である ⇐⇒ T ◦S= id_V を満たす線形写像S :V →U が存在する.

Proof. (1): (⇒): u1,· · ·,unをU ^{の基底とし}, vi := T(ui) (i = 1,· · ·, n)^とおけば, T ^{の単射性より}

v₁,· · · ,v_nは線形独立な組である(命題20.3.6). そこで,これらにいくつかのベクトルを加えてV の基

底v₁,· · · ,v_mを取る. このとき,

S(vi) =





u_i i≤nのとき, 0 i > n^のとき

を満たす線形写像S :V → U ^が存在し(^命題20.1.11), これが求めるものである. ^実際,^各i= 1,· · ·, n についてS(T(ui)) =S(vi) =uiであり,^基底u1,· · ·,unの行き先はS◦T ^とid_U^{において等しい}. ^ゆ えにS◦T = id_Uである(命題20.1.10(2)).

(⇐): S◦T = id_Uの単射性および命題19.4.2による.

(2): (⇒): v₁,· · ·,v_mをV の基底とすれば, 各i= 1,· · · , mについてT の全射性よりT(u_i) =v_iを 満たすui ∈U ^{が存在する}. ^このときS(vi) =ui (i= 1,· · · , m)^{を満たす線形写像}S :V →U ^が存在し (^命題20.1.11), これが求めるものである. T◦S= idV は上と同様にして示せるゆえ略す.

(⇐): T ◦S= id_V ^{の全射性および命題}19.4.2^による. 系 22.4.11. (m, n)-^行列A^{について次が成り立つ}.

(1) rankA=n ⇐⇒ BA=E_nを満たす(n, m)-行列Bが存在する. (2) rankA=m ⇐⇒ AC =Emを満たす(n, m)-^行列C^{が存在する}. Proof. T_A:Rⁿ→R^{mについて}dim ImT_A= rankAに注意する(例22.1.4(2)).

(1): (⇒): ^{仮定および練習}22.4.8(1)^よりTAは単射であり, ^前命題(1)^よりS ◦TA = id_R^{n を満た} す線形写像S : R^m → R^{nが存在する}. ^定理21.3.4^{で与えた同型}T : Mn,m(R) → Hom(R^m,Rⁿ)^を用 いてB := T⁻¹(S)^とすれば. これが求めるものである. ^実際, TB = T(B) = T(T⁻¹(S)) = S^ゆえ, T_BA=T_B◦T_A=S◦T_A= id_Rⁿ. ゆえにBAは単位行列である.

(⇐): T = T_A, S = T_B として前命題(1)を適用すれば, T_Aの単射性を得る. 練習22.4.8(1)より dim ImT_A= dimRⁿ=n.

(2): (⇒): ^{仮定および練習}22.4.8(2)^よりTAは全射であり,^前命題(2)^よりTA◦S = id_R^{mを満たす線} 形写像S :R^m → R^{nが存在する}. ^上の同型T ^を用いてC :=T⁻¹(S)^とすれば, ^{これが求めるものであ} ることは上と同様にして分かる.

(⇐): T = T_A, S = T_C として前命題(2)を適用すれば, T_Aの全射性を得る. 練習22.4.8(2)より dim ImT_A= dimR^m =m.

上の命題におけるB^をA^{の左逆行列},C^をA^{の右逆行列と呼ぶ}. A^{が正方行列でない場合}, ^その右逆 行列や左逆行列が存在するならば,^{それらは無数にある}. ^上の行列B, Cの具体的な求め方は次の通りで ある. これは標準基底について,命題22.4.10の証明の通りに構成したものである.

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(1) A^の列の数n^{と階数が等しいから}A の各列は線形独立であり, ^また m ≥ n^である. ^ここで k := m − n ≥ 0, A = [v1,· · · ,vn]^とおく. R^{m の標準基底を}e1,· · · ,em とし, [A|Em] = [v1,· · · ,vn|e1,· · ·,em]^{の簡約化を}[e1,· · · ,en|b1,· · · ,bm]^とする. ^このとき(m, m)-^行列Q :=

[b₁,· · · ,b_m]のn+ 1行目以降を消し去った(n, m)-行列B が求めるものである. その理由は次の 通り:

上の簡約化を言い換えれば,m^{次可逆行列}X^を用いてX[A|Em] = [e1,· · · ,en|b1,· · · ,bm]^と表せ る. ^このときXEm = [b1,· · ·,bm] = Q, ^つまりX = Q^である. ^またQA =XA = [e1,· · ·,en] より, T_Q : R^m → R^mはv₁,· · ·,v_nをe₁,· · · ,e_nに写す. さてe₁,· · · ,e_n ∈ R^mをR^{nの標準基} 底に写す線形写像の一つに, (n, m)-行列P := [E_n|O_n,k]によるT_P :R^m→ R^nがある. このとき, B:=P Qとすれば,

BA=P Q[v₁,· · ·,v_n] = [P Qv₁,· · ·, P Qv_n] = [Pe₁,· · ·, Pe_n] =E_n.

このBがQのn+ 1行目以降を消し去った行列に一致することは,行列の積の各成分を計算すれ ばすぐに分かる. ^実際,Q=

[ Q_n,m Q_k,m

]

とおくと,

P Q= [

En O_n,k

] [ Qn,m

Qk,m

]

=E_nQ_n,m+O_n,kQ_k,m=Q_n,m.

【補足】b₁,· · ·,bmのうち, ⟨e1,· · · ,en⟩ ⊂ R^m に属さないものを順にとって, これをbn₁,· · ·,bn_k とす れば, [e₁,· · ·,en|b1,· · · ,bm]が簡約行列であることから, bn_j = en+j (j = 1,· · · , k)である. このと き, X[v1,· · ·,vn|en₁,· · · ,en_k] = [e1,· · · ,en|bn₁,· · ·,bn_k] =Emであるから, 線形変換TX =TQは基底 v1,· · ·,vn,en₁,· · ·,en_kを標準基底e1,· · ·,emに写す. さらにTPは,標準基底をe1,· · · ,en,0,· · ·,0∈Rⁿ に写す. したがって, S=TP ◦TQ=TBは,命題22.4.10の証明で与えたSと同じものである.

(2) ^【方法1^{】 各}i= 1,· · · , m^{について連立}1^次方程式Ax=eiの解の一つを取り,^これをui ∈Rⁿ とする(^{仮定より解は存在する}). ^このとき,C := [u1,· · ·,um]^{が求める行列である}. ^ここで,^連立 1^{次方程式を}n^{回解く必要があり},^これは[A|e1|e2| · · · |en]を簡約化することで同時に計算できる. また,各方程式の解は一つ取ればよいので,^{任意定数が}0のものを取ると計算が楽になる.

【方法2】 実はrankA= rank^tAであることが知られている(系27.4.3). そこで, (n, m)-行列^tA の左逆行列B^を(1)^{の方法で取れば},C:= ^tB^はA^{の右逆行列である}. ^実際,B^tA=Emの両辺の 転置を取れば,A^tB =Emを得る.