簡約行列の性質 ( よりみち )

第 4 章 連立 1 次方程式 29

4.8 簡約行列の性質 ( よりみち )

次章以降で用いる簡約行列の性質をまとめておく. 本節に挙げた命題は,読者にとっていずれも明らか なことから, 1年次生向けの線形代数学の授業では証明を略すことが多い. つまり, 本節の証明は「より みち」とみなしてもよい.

本節の証明で述べる条件(I)^から(IV)^は,^定義4.5.1に挙げた条件のこととする. 命題 4.8.1. 簡約行列Aについて,次の三つの数はすべて一致する:

(1) 零ベクトルでない行の数, (2) 主成分の個数,

(3) ^{主成分を含む列の数}.

Proof. (1)^と(2)^は,簡約形とは限らない行列についても一致し,その理由は主成分の定義から明らかで

ある. また, Aが簡約行列であるとき,各列が含む主成分の個数は高々一つであるから,主成分を含む列 の数は主成分の個数に等しい. つまり(3)と(2)も等しい.

命題 4.8.2. A= [aij]^を(m, n)-^行列とし, 1≤k≤m^および1≤ℓ≤n^とする. ^このとき,A^{の下側と右} 側を取り除いた(k, ℓ)-行列B = [a_ij]について次が成り立つ.

6ここでの未定義語は索引から調べることができる.

(1) A^が条件(II)^から(IV)^{のいずれかを満たせば},B^{もその条件を満たす}. (2) Aが簡約形ならば,Bも簡約形である.

【備考】Aが(I)を満たしてもBが(I)を満たすとは限らない. 例えば練習4.5.2(4)に挙げた行列は(I)を満たす が, 3列目以降を取り除くと(I)を満たさない.

Proof. (1): Bの主成分はAの主成分でもある. したがって,Aが条件(II)を満たせばBも(II)を満たす ことは明らかである.

次に,Aが条件(III)を満たすとして,Bも(III)を満たすことを背理法で示そう. 仮にBが(III)を満 たさないとすれば,Bにおいて「主成分は下の行ほど右側にある」が成り立たない. ^つまり,B^のある二 つの行において,下の行の主成分が上の行の主成分と同じ列か,あるいは左側にあることになる. ^これら 二つの主成分はAの主成分でもあることから,^{この状況は}A^が(III)を満たすことに矛盾する. ^したがっ てBも(III)を満たす.

最後に,Aが条件(IV)を満たすとする. (i, j)-成分がBの主成分であるとき,これはAの主成分でもあ るから,条件(IV)よりAの第j列成分はi行目を除いてすべて0である. したがってBの第j列成分も i^{行目を除いてすべて}0^である. ^つまりB^も(IV)^を満たす.

(2): B^が条件(II)^から(IV)^{を満たすことは}(1)^{より分かる}. B^が条件(I)を満たすことを背理法によ り示そう. ^仮にB^が(I)^{を満たさないとすると},Bの零ベクトルとなる行のうちの一つが,^{そうでない行} よりも上にある. そこで,Bのi₀行目が零ベクトルであるとし, (i₀+ 1)行目が零ベクトルでないとする. また, (i₀+ 1)行目の主成分がj₁列目にあるとする(1≤j₁ ≤ℓ). Bの(i₀+ 1)行目が零ベクトルでない ことから,Aの(i₀+ 1)行目も零ベクトルでない. また,Aは条件(I)を満たすゆえ,Aのi₀行目も零ベク トルでない. ^そこでA^のi0行目の主成分が第j0列にあるとする(1≤j0 ≤n). ^さて,B^のi0行目が零ベ クトルであることから, A^のi0行目は,^第ℓ^{列目まですべて}0^であり,主成分はこれ以降の列にある. ^す なわちℓ < j0であり, ^これとj1 ≤ℓ^{を合わせれば}j1 < j0. ^これはA^が条件(III)^{を満たすことに矛盾す} る. 以上よりBは条件(I)を満たす.

系 4.8.3. (m, n)-^行列A, X^および(m, ℓ)-^行列B, Y ^について, (m, n+ℓ)-^行列[A|B]^{の簡約化が}[X|Y] ならば,X^はA^{の簡約化である}.

Proof. 仮定より,行基本変形を繰り返して[A|B]を[X|Y]に変形できる. この変形においてAの部分だ けを見れば,A^はX^{に変形される}. ^また,^仮定より[X|Y]^{は簡約形であり},^{前命題より}X^{も簡約形であ} る. ^{以上により}X^はA^{の簡約化である}.

次の証明では「(i, j)-成分が主成分である」と書くべきところを「a_ijが主成分である」と記した. こ れは正確な表現ではないが,煩雑さを避けてこのように言い回した⁷.

命題 4.8.4. (m, n)-行列A= [a_ij]が簡約形かつ,すべての列が主成分を含むならば,n≤mであり,Aは 次の形になる:

A=







 1

. ..

1







.

Proof. ^{主成分を含む列の数が}n^{であるから},^命題4.8.1より零ベクトルでない行の数もn^である. ^後者は

Aの行数m以下であるからn≤mを得る. また,Aのすべての列が主成分を持つこと,および条件(IV) により,

(*) Aの各成分は,主成分である場合に限り1であり,そうでない成分は0である.

7本来aijは(i, j)-成分の値にすぎず,成分の位置情報は含まない.

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各i = 1,· · ·, n^についてaiiがi行目の主成分であることを, iに関する帰納法で示そう. ^はじめに, a11 = 1^{を背理法で示す}. ^そこでa11= 0^{を仮定する}. ^第1列が主成分を持つことから,^それをa_k1^とす る(k≥2). ^ここで, A^の1行目は零ベクトルかそうでないかのいずれかであるが,^{どちらにしても矛盾} が生じてしまう. 実際, 1行目が零ベクトルならば,その下に零ベクトルでないk行目があることになり, これはAが条件(I)を満たすことに矛盾する. 一方で, 1行目が零ベクトルでなければ, 1行目は2列目以 降に主成分を持つことになり, 1行目とk行目についてAが条件(III)を満たすことに矛盾する. つまり, いずれの場合も矛盾が生じてしまうから,a11= 0^ではない. ^ゆえにa11は1^{行目の主成分である}.

次に,a11, a22,· · · , ai−1,i−1がそれぞれ1^行目から(i−1)行目までの主成分であると仮定する. ^このと き,^第i^列の1^行目から(i−1)^{行目までは},^{この仮定により}A^{の主成分ではない}. ^{したがって}(*)^より

a1i=a2i=· · ·=ai−1,i= 0. (4.8.1)

また, 1行目から(i−1)行目までの主成分a₁₁, a₂₂,· · · , a_i−1,i−1について,条件(IV)を適用すれば, (ai1, ai2,· · ·ai,i−1) = (0,0,· · ·,0). (4.8.2) 以上の状況の下で, a_iiがi行目の主成分であることを背理法で示そう. そこでa_ii = 0を仮定する. 第i 列が主成分を持つことから,それをa_kiとする. 式(4.8.1)およびa_ii= 0より,k≥i+ 1である. ここで, A^のi行目は零ベクトルかそうでないかのいずれかであるが,どちらにしても矛盾が生じてしまう. ^実際, i行目が零ベクトルならば,その下に零ベクトルでないk^{行目があることになり}, ^これはA^が条件(I)^を 満たすことに矛盾する. ^一方で,i行目が零ベクトルでなければ,^式(4.8.2)^およびa_ii= 0^より,i^行目は (i+ 1)列目以降に主成分を持つ. これは,i行目とk行目についてAが条件(III)を満たすことに矛盾す る. つまり,いずれの場合も矛盾が生じてしまうから,a_ii= 0ではない. これと式(4.8.2)を合わせれば, a_iiはi行目の主成分である.

以上により,A^は(i, i)-^成分(i= 1,· · ·, n)^が1^で,^{他の成分がすべて}0^{の行列である}. 命題 4.8.5. 簡約な正方行列Aについて次が成り立つ.

(1) すべての列が主成分を含むならば,A^{は単位行列である}. (2) すべての行が主成分を含むならば,Aは単位行列である.

Proof. (1): これは前命題の特別な場合ゆえ明らか.

(2): Aのサイズをnとする. 仮定より,Aはn個の主成分を持ち,命題4.8.1よりAの主成分をもつ列 の数はnである. したがってAのすべての列は主成分を持ち, (1)よりAは単位行列である.