13 Termodinamika Cairan - Fluid Interfaces
Solusi 13.1. Persamaan (13.20) menjadi
13.2 Antarmuka Lengkung dalam Fluid
Untuk menangani antarmuka melengkung dalam fluida, kami kembali ke sistem perbandingan berbasis Gibbs di permukaan pemisah. Alasan utama kami melakukan ini adalah karena area antarmuka bisa didefinisikan dengan jelas; Namun, untuk model lapisan, seseorang harus memutuskan area apa menggunakan. Salah satu sisi permukaan pemisah dalam sistem perbandingan diasumsikan terisi oleh fasa homogen α dan sisi lain oleh fasa homogen β. Seperti di kasus antarmuka planar, suhu T dan potensi kimia μi seragam di seluruh sistem. Ini dapat dibuat dengan mempertimbangkan lapisan yang meluas ke fase homogen, mirip dengan kasus planar, dan variasi pembelajaran yang ada tidak ada perubahan pada posisi lapisan. Kemudian seseorang memanggil persamaan (13.1) untuk mendefinisikan
160
T dan μi dalam lapisan tetap ini dan kemudian mengikuti prosedur yang sama seperti untuk antarmuka planar ke menetapkan keseragaman T dan μi di seluruh sistem. Berbeda dengan kasus planar antarmuka, bagaimanapun, fase homogen dapat memiliki tekanan yang berbeda, pαdan pβ.
Sehubungan dengan permukaan pemisah, seseorang dapat menentukan jumlah yang sangat banyak berlebih dengan persamaan yang sama, Persamaan. (13.2) - (13.6), seperti dalam kasus planar. Persamaan (13.8) untuk Kramers potensial juga berlaku, tapi sekarang Kα= −pαVαdan Kβ= −pβVβ jadi Persamaan. (13.9) menjadi
(13.63) Dapat di definisikan
(13.64) Berbeda dengan kasus antarmuka planar, untuk antarmuka melengkung bergantung pada pilihan lokasi permukaan pemisah.
Kita dapat mengilustrasikan secara sederhana untuk kasus di mana fasa β adalah a bola jari-jari r dikelilingi oleh fasa α. Maka A = 4πr2dan Vβ= (4/3) πr3jadi
π 1
r2 3 , (13.65)
di mana koefisien 1 / r2dan r adalah konstanta untuk sistem fisik tertentu. Gambar 13–2 menunjukkan sketsa sebagai fungsi dari r. Perhatikan bahwa memiliki nilai minimum10 t di beberapa nilai rt. Kami mengalikan Persamaan. (13.65) oleh r2 dan mengambil variasinya sehubungan dengan r untuk suatu tetap sistem fisik, sehingga K + pαV dan pβ- pαtidak memiliki variasi dengan r. Ini menghasilkan
2 . (13.66)
Sekarang kita dapat memilih r = rt di mana ∂ / ∂r = 0 dan = t, nilai minimumnya. Kemudian Persamaan. (13.66) dikurangi menjadi
2 t
t , (13.67)
Gambar 13–2 Plot versus r menurut Persamaan. (13.65) dalam unit arbitrer (kurva atas). Kurva bawah dan garis lurus mewakili istilah individu. Minimum terjadi pada permukaan tegangan di mana r = rtdan = t dan mengarah ke Persamaan. (13.67) sebagai ganti Persamaan. (13.66).
10Dari pertimbangan stabilitas, harus positif. Jika tidak, sistem dapat menurunkan energi bebasnya tanpa batas dengan menciptakan luas yang tak terbatas. Untuk diskusi ekstensif tentang stabilitas, lihat Gibbs [3, hlm. 237-252]
Pilihan khusus ini disebut tegangan permukaan yang diperkenalkan oleh Gibbs mengikuti kursus penalaran lain yang kami jelaskan di bawah ini.
Sebelum melakukannya, bagaimanapun, kami menurunkan mitra ke Persamaan. (13.67) untuk gambaran yang lebih umum permukaan yang memiliki kelengkungan utama c1= 1 / R1dan c2 = 1 / R2, di mana R1 dan R2 adalah pokok jari-jari kelengkungan. Kami kembali ke Persamaan. (13.64) dan
161
mengidentifikasi satu set permukaan pemisah dengan sarana parameter λ. Salah satu permukaan tersebut dipilih sangat dekat dengan wilayah fisik dari diskontinuitas dan serupa terletak sehubungan dengan itu, sementara yang lain diperoleh menggeser jarak konstan δλ sepanjang normals ke permukaan yang dipilih.
Jadi, A, Vβ, dan γ menjadi fungsi dari λ. Persamaan Multiply. (13.64) oleh A dan mengambil variasinya dengan hormat ke λ, kami dapatkan
λ λ , (13.68)
Dimana dari geometri diferensial11
λ c1 c2 λ, (13.69)
Di dapat
c1 c2 λ, (13.70)
Jika kita memilih permukaan pemisah agar sesuai dengan permukaan umum tegangan di mana ∂ / ∂λ = 0, Persamaan. (13.70) menjadi12
t 1
1t
1
2t , (13.71)
Dalam kasus khusus permukaan bola, R1t = R2t = rt dan kami memulihkan Persamaan. (13.67). Persamaan dari bentuk Persamaan. (13.71) (tanpa subskrip t) diatribusikan ke Laplace dan berkaitan dengan membran dengan ketebalan nol yang memiliki properti berikut: Jika dτ adalah vektor sangat kecil apa pun dalam membran itu, membran di satu sisinya menggunakan gaya tarik per satuan panjang di sisi lain yang tegak lurus terhadap dτ dan tangensial ke permukaan. Persamaan (13.71) menunjukkan bahwa hubungan tersebut dihasilkan dari termodinamika pertimbangan, asalkan kami mengevaluasi kelebihan energi bebas permukaan γ di permukaan ketegangan. Seperti yang akan kita lihat di bawah, Gibbs mendapatkan persamaan yang sama sebagai pendekatan berdasarkan gagasan bahwa ketergantungan eksplisit pada kelengkungan permukaan pemisah dapat diabaikan untuk permukaan pemisah yang sangat dekat dengan wilayah transisi, asalkan bahwa ketebalan daerah transisi relatif kecil terhadap salah satu jari-jari utamanya kelengkungan. Dalam praktiknya, diukur secara eksperimental dengan mengasumsikannya sama dengan tγt dalam Persamaan. (13.71) dan dengan asumsi bahwa jari-jari utama kelengkungan diukur oleh beberapa teknik, biasanya optik, pada dasarnya sama dengan R1tdan R2t.
11Ini adalah kasus khusus dari rumus integral δVβ= δλ dA dan δA = c1 c2 δλ dA yang berlaku untuk sebuah pergeseran normal δλ yaitu fungsi posisi di permukaan.
12Jumlah yang melipatgandakan tdalam Persamaan. (13.71) disebut kelengkungan tema, dengan konvensi tanda bahwa jari-jari positif untuk bola fase β, atau untuk permukaan yang lebih umum jika fase β berada di sisi antarmuka yang memiliki cekung bersih.
Contoh Soal 13.3. Perkirakan kenaikan kapiler air dan penurunan kapiler merkuri dalam tabung kapiler
kaca vertikal dengan diameter dalam 2r0= 1.0mm pada suhu dari 20◦C. Ambil γ = 0,073 J / m2untuk air dan 0,47 J / m2untuk merkuri. Asumsikan bahwa kepadatan adalah 1 g / cm3untuk air dan 13,55 g / cm3
untuk merkuri. Lihat Gambar 13–3 untuk ilustrasi dari geometri dan sudut kontak θ tempat air bertemu dengan kaca. Untuk saat ini, asumsikan bahwa sudut kontak adalah parameter empiris; nanti di Bagian 13.3 kami memberikan beberapa dasar teoritis untuk itu. Air membasahi kaca dengan sudut kontak hampir nol derajat. Merkuri tidak basahi kaca dan memiliki sudut kontak tumpul 140◦. Asumsikan itu berbentuk gas-cair antarmuka kira-kira sebagian dari bola (tidak terdistorsi oleh gravitasi) dan sistem terbuka ke atmosfer pada tekanan pA. Juga asumsikan bahwa cairan ini ada di dalam kesetimbangan
162
dengan uapnya tetapi laju penguapan, kelarutan udara dalam cairan dan kepadatan udara dapat diabaikan. Ambil percepatan gravitasi menjadi 9.8m / s2. Apa akan menjadi hasil yang sesuai jika cairan berada di antara pelat vertikal paralel besar dipisahkan oleh jarak kecil 2x0?