13 Termodinamika Cairan - Fluid Interfaces
Solusi 13.3. Dari gambar tersebut, kita melihat bahwa jari-jari kelengkungan antarmuka bola diberikan
13.4 Bentuk Permukaan Cair dalam Gravitasi
13.4.1 contoh dalan dua dimensi
Untuk soal dua dimensi, hanya ada satu jari-jari kelengkungan terbatas dan Persamaan. (13,92) dapat disederhanakan menjadi formulir
1 2 3 2
2
2 (13.93)
dimana 2 2 Dalam Persamaan. (13.93), tanda istilah kelengkungan telah dipilih sehingga untuk 0 seseorang harus memiliki 0, yang akan menjadi kasus gas pada dasarnya tekanan konstan pg di sisi cekung atas dari antarmuka dengan cairan di bagian bawah sisi yang tekanan
menurun dengan meningkatnya . Atau bisa juga 䔈 0 䔈 0 , yang akan menjadi kasus untuk gas pada tekanan konstan pg pada sisi cembung atas dari antarmuka dengan cairan di sisi bawah yang tekanannya meningkat dengan penurunan . Kami mengganti dan mencatat
bahwa untuk mendapatkan.
1 2 3 2 2
2 , (13.94)
yang dapat diintegrasikan untuk menghasilkan. 1 2 12
2
2 1 2 2, (13.95)
18Untuk cairan, kompresibilitasnya sangat kecil. Untuk gas ideal,
adalah ordo besarnya 10 m. Biasanya sehingga kita bisa mengabaikan tetapi kita mempertahankannya dalam rumus yang masih akan menjadi valid jika gas diganti dengan cairan yang hampir tidak dapat dimampatkan.
19 Dalam medan gravitasi, γ dapat bergantung secara eksplisit pada (lihat Persamaan (613-614) dari Gibbs [3, p. 281]) tetapi ketergantungan yang lemah ini biasanya dapat diabaikan.
168
Hitung tinggi zmaks dari meniskus pada garis kontak untuk piring kaca besar dibentamkan secara vertikal dalam genangan cairan dengan kepadatan untuk sudut kontak 0 2 . Situasi ini digambarkan pada Gambar 13–6 (kotak pelat vertikal). Hitung depresinya
jika2
Solusi 13.4
Karena pelatnya besar, kami mengabaikan efek akhir dan memperlakukan masalahnya sebagai dua dimensi. Pertama kita perlakukan kasus 0 2.. Pada garis kontak dengan kaca, cot 0 1 2 12 sin 0 Jadi, Persamaan. (13.95) hasil
1 2 1 , (13.96)
Untuk 2 cos 0 pada garis kontak. Untuk sudut kontak ini, 0 tetapi 쳌 0. Persamaan (13.95) masih berlaku dan dapat diselesaikan untuk 2 tetapi sekarang kita harus mengambil akar kuadrat negatif untuk diperoleh
1 2 1 (13.97)
Untuk nilai yang sama, bentuk antarmuka untuk sudut kontak lancip dan tumpul adalah cermin gambar satu sama lain di bidang 0.
Sayangnya, Persamaan sisi kanan. (13.95) mengubah tanda pada jadi tidak bisa tahan untuk 2 2dan 2 䔈 2. Ini bisa ditangani dengan memasukkan sudut ψ di mana
쳌 dimana s adalah panjang busur. Kemudian Persamaan. (13.93) mengambil formulir
2
2 , (13.98)
Dalam representasi parametrik ini, akan terus meningkat jika z dan s meningkat, begitu juga dengan kelengkungan akan tetap positif saat z meningkat dari nol, atau tetap negatif saat z menurun dari nol. Sekarang kita dapat menskalakan semua panjang dengan a dengan mendefinisikan
untuk mendapatkan himpunan persamaan parametrik berikut.
Gambar 13.6 Bentuk meniskus fluida yang disusun oleh pelat vertikal pada jarak tertentu X0 sepanjang sumbu X. Dari Tentu saja kurva
aktual berhenti di X0 di mana ia membuat sudut kontak yang sesuai θ dengan pelat. Maksimal tinggi, 1 sin , terjadi pada garis kontak. Dengan melepas pelat vertikal, kurva yang sama dapat digunakan untuk memperlakukan pelat yang membuat sudut φ dengan sumbu X. Jika sudut kontak tumpul, seseorang menggunakan kemiringan ke bawahkurva yang merupakan pantulan cermin Z → −Z. ψ adalah sudut yang dibuat oleh garis singgung kurva dan sumbu X.
2 (13.99)
cos (13.100)
sin (13.101)
Satu dapat mengintegrasikan Persamaan himpunan. (13,99) - (13,101) dengan memulai dari beberapa
sudut kontak dimana 쳌 쳌 1 1 2 , tetapi
pendekatan yang lebih berguna adalah memulai dari nilai yang sangat kecil pada
169
pada setiap nilai X yang sesuai dengan sudut kontak yang benar. Namun, untuk memulai, seseorang memerlukan nilai awal yang kompatibel ψ. Ini dapat diperoleh dengan menggabungkan Persamaan. (13,99) dan (13,101) untuk mendapatkan 2 yang dapat segera diintegrasikan menghasilkan 쳌 1 2 Jadi, nilai awal untuk ψ memuaskan 쳌 1 2 dan
2 2 1 2 Hasil integrasi numerik ditunjukkan dalam Gambar 13–6.
Persamaan (13.96) dan (13.97) dapat digeneralisasikan untuk pelat besar yang membentuk sudut
φ dengan permukaan fluida curah, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 13–6. Kami masih punya
solusinya 2 1 쳌 Untuk sudut kontak akut θ, kita punya 0 jadi
bukan Persamaan. (13.96) kita punya
1 cos (13.102)
Dalam Persamaan. (13.102), nilai φ terbatas karena kita membutuhkan 0 yang membutuhkan Faktanya, ketika 0 dan antarmuka tetap datar. Batas kebalikannya adalah φ = 0, yang menghasilkan 1 cos θ . Seperti yang terlihat dari Gambar 13–6, nilai φ sangat dekat nol sesuai dengan kasus di mana koordinat X dari perpotongan pelat dengan 0 cenderung ke Dengan kata lain, menggerakkan pelat menuju φ = 0 “meremas” fluida diatas 0 ke arah X negatif. Untuk sudut kontak tumpul 2 hubungan yang sesuai pada garis
kontak adalah 0 . Jadi 1 cos . Untuk
dan , kita
memiliki dimana yang terakhir diberikan oleh Persamaan. (13.102).
Bentuk detail meniskus untuk soal dua dimensi dapat diekspresikan analitis dalam hal integral eliptik tidak lengkap tetapi solusi seperti itu tidak terlalu mencerahkan karena integral tersebut akhirnya harus dievaluasi secara numerik. Dengan ketersediaan komputer cepat dan perangkat lunak seperti NDSolve di MathematicaTM, itu adalah a masalah sederhana untuk mengintegrasikan sistem urutan pertama seperti Persamaan. (13.99) - (13.101) secara numerik lalu gunakan rutin plotting parametrik untuk menampilkan hasilnya. Sejumlah hal menarik solusi dapat diperoleh dengan memilih
pada titik asal 0, di mana 0 Mengingat Persamaan. (13,99), kelengkungan adalah nol pada 0 dan perubahan tanda di sepanjang kurva itu melewati 0, di mana kurva memiliki infleksi. Mungkin titik belok seperti itu tidak muncul pada kurva kepentingan fisik, tetapi bagian dari sisa kurva mungkin menjadi relevan. Karena persamaannya nonlinier, perilaku sebagai perubahan α sangat beragam seperti yang diilustrasikan dalam beberapa gambar berikut.
Gambar 13.7 Antarmuka dua dimensi diperoleh dengan integrasi numerik dari Persamaan sistem. (13.99) - (13.101) untuk
α = 0,25 (kiri) dan α = 0,86 (kanan). Pada sekitar α = 0,86, loop atas dan bawah bertemu di titik asal. Untuk keduanya nilai α, loop atas bisa mewakili gelembung dua dimensi dan loop bawah bisa mewakili dua penurunan dimensi. Salah satu dari ini dapat dipotong oleh permukaan horizontal pada sudut kontak yang sesuai. Seporsi kurva untuk α = 0,25 dapat mewakili
170
antarmuka antara dua pelat vertikal, pelat kanan dibasahi (con-sudut istimewa) dan pelat kiri tidak dibasahi (sudut kontak tumpul) dan infleksi di suatu tempat di antara pelat.
Gambar 13.8 Antarmuka dua dimensi diperoleh dengan integrasi numerik dari Persamaan sistem. (13.99) - (13.101) untuk
α = 1,09 (kiri) dan α = 1,20 (kanan). Loop yang hampir menyatu untuk α = 0,86 terpisah. Untuk α = 1,20, porsi kurva dapat digunakan untuk mewakili gelembung dua dimensi atau penurunan dua dimensi dengan leher. Untuk α = 1,09, lehernya hampir hilang.
Gambar 13–7 menunjukkan beberapa hasil untuk nilai kecil dan menengah α. Alam kurva berubah sekitar α = 0,86 di mana loop bergabung. Hanya sebagian saja kurva akan dibutuhkan untuk memenuhi kondisi pembasahan pada permukaan berbatas. Bagian atas loop bisa mewakili gelembung dua dimensi dan bagian dari loop bawah bisa mewakili a penurunan dua dimensi. Saat α meningkat, karakter larutan berubah, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 13–8. Bagian kurva bisa mewakili gelembung dua dimensi atau dua penurunan dimensi dengan leher. Kurva untuk nilai α yang lebih besar digambarkan pada Gambar 13–9. Dengan menggunakan sudut tumpul α, variabel dapat diganti untuk mendapatkan persamaan yang sama bentuk sebagai Persamaan. (13,99) - (13,101) kecuali untuk tanda minus relatif di Persamaan. (13,99). Bagian dari kurva ini bisa mewakili meniskus terbalik (cairan di atas) antara basah dan pelat vertikal yang tidak dibasahi dengan infleksi yang terjadi di antara pelat.
GAMBAR 13–9 Antarmuka dua dimensi diperoleh dengan integrasi numerik dari Persamaan sistem. (13,99) - (13,101)
untuk α = π / 2 = 1,5708 (kiri) dan α = 3π / 4 = 2,3562 (kanan). Leher terlihat untuk α = 1,20 menghilang pada α = π / 2 di mana kurva memiliki titik belok vertikal. Untuk α = 3π / 4 infleksi tidak lagi vertikal dan amplitudo menurun. Amplitudo akan turun menjadi nol pada α = π. Porsi kurva yang mengandung infleksi bisa mewakili meniskus terbalik (cairan di atas) antara pelat vertikal yang dibasahi dan yang tidak dibasahi dengan terjadi infleksi di antara piring. Bagian lain yang tidak mengandung infleksi dapat mewakili gelembung dua dimensi atau tetes.