Kriteria bola Herring dapat digunakan untuk menentukan orientasi mana yang hilang bentuk kesetimbangan. Ini mudah untuk dinyatakan tetapi sulit diterapkan. Kriteria yang setara itu jauh lebih mudah untuk diterapkan telah dibahas oleh Frank [42]. Itu bisa didapat dengan mempertimbangkan plot gamma terbalik, yaitu plot kutub
1 (14.74)
atau sederhananya 1 . Dalam Saat inversi melalui titik asal, bola menjadi sebuah bidang. Jadi
sebuah Bola herring yang bersinggungan dengan plot menjadi bidang bersinggungan dengan plot 1 . Setiap bagian dari plot- yang terletak di dalam bola Herring akan berkontribusi pada bidang yang memotong plot 1 . Oleh karena itu, agar semua orientasi muncul pada bentuk ekuilibrium, maka itu perlu dan cukup sehingga 1 -plot menjadi cembung. Selanjutnya, jika 1 -plot tidak cembung, seseorang dapat membentuk cembung dengan cara membungkusnya dengan beberapa bagian sentuhan bidang yang tidak memotong plot. Lihatgambar 14-3b untuk sebuah contoh dalam dua dimensi dimana
garis putus-putus ditambahkan untuk "membuat konveks" plot. Orientasi pada nonconvex 1 / γ -plot yang tidak muncul pada plot cembung adalah yang hilang dari bentuk kesetimbangan. Mereka benar-benar muncul di telinga plot . Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa plot normal ke 1 / γ ( ) adalah dalam arah ( ). Memang, itu Persamaan plot 1 / γ ( ) dapat ditulis dalam bentuk ( ) = 1 dengan = . Lalu kita dapat membiarkan R memainkan peran P dalam Persamaan. (14.31) untuk
mendapatkan
( ) = Δ t t (14.75)
yang jelas dalam arah normal ke plot 1 ( ). Ekspresi ini bisa jadi digunakan untuk menghitung kelengkungan Gauss dari plot 1 ( ) dan menentukan kapan itu berubah tanda, yang mendefinisikan batas-batas konveksitasnya. Ini memberikan kriteria analitis untuk permulaan orientasi yang hilang pada bentuk ekuilibrium tiga dimensi [43]. Harring [44] telah memberikan diskusi ekstensif tentang karakteristik kualitatif plot- dan bentuk kesetimbangan yang dihasilkan, dengan perhatian khusus pada sudut, bagian silinder, dan aspek.
14.4. Menghadapi ke sebuah Planar Besar
Herring [44] juga telah mempertimbangkan kemungkinan bahwa permukaan planar besar dari Kristal bisa memecah menjadi struktur bukit-dan-lembah yang terdiri dari aspek- aspek. Pertimbangan seperti
187
itu penting untuk alasan kinetik karena sejumlah besar pengangkutan akan diperlukan untuk mengkonversi kristal besar ke bentuk keseimbangannya. Oleh karena itu masuk akal untuk mempertimbangkan yang dapat terjadi pada skala waktu yang sangat singkat dibandingkan dengan waktu yang dibutuhkan untuk mengubah seluruh kristal ke bentuk keseimbangannya.
Untuk menganalisis masalah ini, pertimbangkan area kecil 0pada wajah planar dari kristal besar memiliki unit normal dan energy ( ) 0 per satuan luas. Kami kemudian menyelidiki stabilitas area planar ini sehubungan dengan digantikan oleh piramida yang memiliki tiga orientasi noncoplanar 1, 2, dan 3sesuai dengan aspek yang memiliki area masing-masing 1, 2 dan 3 seperti yang diilustrasikan dalam Gambar 14–7. Dari teorema Gauss’s dalam bentuk ∇ 3
2 dalah vektor berubah tetapi konstan, kita dapat menyimpulkan bahwa 2 0. Dengan menerapkan hasil ini ke piramida yang baru saja dijelaskan, kita mendapatkan
0 1 1 2 2 3 3 (14.76)
dimana 1 1 0 adalah area pecahan. Dengan menggunakan vektor timbal balik di definisikan sedemikian rupa sehingga 1 untuk 123 kami menyimpulkan bahwa 1 0. Dengan demikian , tetapi belum tentu seperti yang dipersyaratkan oleh Herring [45], harus memiliki proyeksi positif pada 0 agar diperoleh real piramida dengan positif. Energi bebas yang diasosiasikan dengan tiga sisi piramida, diukur per satuan luas permukaan planar besar, adalah
1 1 2 2 3 3 (14.77)
Jadi
0 (17.78)
GAMBAR 14-7 a) Piramida tipikal untuk faceting suatu permukaan. The adalah unit normals dan adalah area masing-masing permukaan. (b) Permukaan segi dua dalam dua dimensi, menunjukkan segi-segi dengan ukuran berbeda tetapi orientasi sama.
dimana 1 1 2 2 3 3 dapat diartikan secara geometris sebagai vektor asal dari plot ke titik yang ditentukan oleh persimpangan tiga bidang Wulff digambar tegak lurus terhadap 1, 2, dan
3 di titik di mana mereka memotong plot . Ini interpretasi mengikuti karena 1 1 untuk 123 . Kami mengamati bahwa terletak di sepanjang diameter bola yang melewati empat titik,
1 1 2 2 3 3, dan asalnya.
Dari pertimbangan di atas, dapat disimpulkan bahwa muka planar besar akan stabil terhadap faceting jika 0, yang berarti titik 0 0 1 0 akan berada di luar plot . Di sisi lain, jika titik 0 terletak di dalam plot γ, wajah planar besar akan tidak stabil sehubungan dengan jenis faceting ini. Namun, jika orientasi 0 terjadi dalam bentuk kesetimbangan, tidak mungkin untuk titik 0 untuk terletak di dalam plot karena pada setidaknya satu dari bidang Wulff yang sesuai dengan 1, 2, dan 3akan memotongnya. Ini menghasilkan Teorema Herring [44]:
Jika permukaan makroskopik kristal tertentu tidak memiliki orientasi yang sama bagian dari batas bentuk kesetimbangan, akan selalu ada bukit-dan lembah struktur yang memiliki energi bebas lebih rendah dari permukaan datar, sedangkan jika diberikan permukaan memang terjadi dalam bentuk kesetimbangan, tidak ada struktur bukit dan lembah yang bisa lebih stabil.
188
Dengan wawasan geometris yang tajam, Frank [42] mengamati bahwa kriteria faceting yang dimiliki Herring interpretasi yang sangat sederhana dalam hal plot terbalik. Secara khusus, ujung file vektor terbalik terletak pada bidang yang melewati titik-titik 1, 2 dan 3. Untuk itu, misalkan 풑 adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang itu dan mengarah menjauhi asal. Maka jarak dari titik asal ke bidang tersebut diberikan oleh 풑
1 풑
2 풑 3 dari mana kita
menyimpulkan bahwa 풑 1 2 3 . Jadi 풑 , membenarkan pengamatan
Frank. Oleh karena itu, kita dapat membandingkan dengan dan menyimpulkan bahwa energi bebas akan diturunkan dengan faceting hanya jika terletak di dalam bidang (lebih dekat ke asal) yang melewati 1, 2 dan 3. Analisis ini juga menjelaskan bahwa orientasi yang tidak stabil sehubungan dengan faceting adalah yang terletak di telinga -plot, yang dihasilkan dari bagian nonconvex dari 1 -plot. Memang, gagasan tentang nilai untuk orientasi tidak stabil membutuhkan konsep ekuilibrium terbatas keadaan di mana faceting dicegah.
Analisis Herring diperluas oleh Mullins dan Sekerka [45] dengan menggunakan pemrograman linier teori untuk menganalisis faceting menjadi bentuk yang memiliki sejumlah orientasi acak. Itu menunjukkan bahwa nilai minimum selalu dapat diperoleh dengan menggunakan tidak lebih dari tiga orientasi; Namun, kemunduran dapat terjadi sehingga lebih dari tiga orientasi dapat terjadi mengarah ke nilai minimum yang sama dari . Apalagi nilai minimal yang bisa dicapai dengan faceting sesuai dengan jarak Γ( ) dari asal ke apa yang disebut bidang kontak dari bentuk Gibbs-Wulff, yang terakhir adalah bidang yang tegak lurus dan menyentuh tetapi tidak memotong bentuk itu. Faktanya, Γ( ) adalah plot gamma minimum (terkandung di semuanya) yang memberikan bentuk Gibbs-Wulff yang sama dengan ( ) Gambar 14–8
GAMBAR 14-8 Sebuah plot- (kurva luar) dan sebuah plot- (kurva dalam) dalam dua dimensi untuk
1 2 2 2 0 0 dalam satuan yang dapat berubah-ubah. Titik Kesetimbangan Gibbs-Wulff adalah bentuk cembung yang diperoleh dengan memotong plot- . Kurva tengah adalah Γ -plot, yang merupakan kurva terkecil yang akan mengarah ke bentuk Gibbs-Wulff yang sama. Jarak sepanjang antara ( ) dan ( ) mewakili pengurangan energi maksimum yang mungkin dilakukan dengan faceting. Orientasi yang perbedaannya nol ini muncul pada bentuk Gibbs-Wulff.
mengilustrasikan , Γ dan ( ) dalam dua dimensi. Untuk orientasi seperti bidang kontak sebenarnya bersinggungan dengan bentuk Gibbs-Wulff, orientasi itu muncul pada bentuk dan bidang terkait yang tidak stabil sehubungan dengan faceting. Plot terbalik Γ hanyalah plot cembung yang diperoleh dengan menggunakan plot ( ) seperti yang diilustrasikan pada Gambar 14–3b. Porsi bidang terbalik menjadi porsi bola di ) yang sesuai dengan orientasi yang bidang kontaknya tidak bersinggungan dengan Bentuk Gibbs- wulff.
Penting untuk diketahui bahwa analisis faceting ini tidak memberikan skala ukuran untuk aspek; itu hanya berhubungan dengan orientasi mereka. Dengan kata lain, permukaan dengan faset besar memiliki energi bebas yang sama dengan mereka yang memiliki faset kecil. Namun, orang berharap akan ada a campuran ukuran faset pada permukaan tertentu (misalnya, koloni faset besar dan faset kecil, seperti disarankan oleh Gambar 14–7b dalam dua dimensi) dan entropi konfigurasi yang dihasilkan selanjutnya akan menurunkan energi bebas dari permukaan faceted. Modifikasi teori untuk
189
memungkinkan untuk energi berlebih di tepi dan sudut akan mengubah invariansi ke skala ukuran. Dan tentu saja itu juga membutuhkan modifikasi konsep kita tentang bentuk kesetimbangan, yang hanya berlaku untuk kristal yang cukup besar sehingga energi berlebih di tepian dan sudut dapat diabaikan.
190